Номер 19, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Постройте треугольник $ABC$ по данной стороне и двум данным прилежащим к ней углам.

Данная задача является одной из классических задач на построение с помощью циркуля и линейки. Она основана на втором признаке равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Нам известна длина стороны, пусть это будет $BC$, и величины двух прилежащих к ней углов: $\angle ABC$ и $\angle BCA$. Вершина $A$ является точкой пересечения двух лучей: одного, исходящего из точки $B$ под углом $\angle ABC$ к стороне $BC$, и другого, исходящего из точки $C$ под углом $\angle BCA$ к стороне $BC$.
Для того чтобы такой треугольник существовал, необходимо, чтобы сумма данных углов была меньше $180^\circ$. Если $\angle ABC + \angle BCA \ge 180^\circ$, то лучи, образующие эти углы и лежащие в одной полуплоскости относительно прямой $BC$, не пересекутся, и треугольник построить будет невозможно. В условии задачи предполагается, что это требование выполнено.

Построение

Пусть нам дан отрезок $P_1Q_1$, задающий длину стороны, и два угла $\angle 1$ и $\angle 2$, задающие величины прилежащих углов.

1. Начертим произвольную прямую $l$ и отметим на ней точку $B$.
2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $P_1Q_1$. Установив ножку циркуля в точку $B$, отложим на прямой $l$ отрезок $BC$, равный $P_1Q_1$.
3. От луча $BC$ в выбранной полуплоскости построим угол, равный данному углу $\angle 1$, с вершиной в точке $B$. Для этого выполним стандартную процедуру копирования угла:
   • Проведем дугу произвольного радиуса $r$ с центром в вершине угла $\angle 1$.
   • Проведем дугу того же радиуса $r$ с центром в точке $B$ так, чтобы она пересекла луч $BC$ (например, в точке $M$).
   • Измерим циркулем расстояние между точками пересечения первой дуги со сторонами угла $\angle 1$.
   • Отложим это расстояние на второй дуге от точки $M$, получив точку $D$.
   • Проведем луч $BD$. Полученный угол $\angle DBC$ равен углу $\angle 1$.
4. Аналогичным образом от луча $CB$ в той же полуплоскости построим угол, равный данному углу $\angle 2$, с вершиной в точке $C$. Для этого проведем луч $CG$ так, чтобы $\angle GCB$ был равен $\angle 2$.
5. Точка пересечения построенных лучей $BD$ и $CG$ является третьей вершиной искомого треугольника. Обозначим эту точку буквой $A$.

В результате мы получили треугольник $ABC$.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению:
1. Сторона $BC$ равна данному отрезку $P_1Q_1$.
2. Угол $\angle ABC$ равен данному углу $\angle 1$.
3. Угол $\angle BCA$ равен данному углу $\angle 2$.
Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда сумма двух данных углов меньше $180^\circ$.
Если $\angle 1 + \angle 2 < 180^\circ$, то согласно аксиоме о параллельных прямых (или ее следствиям), лучи $BD$ и $CG$ пересекутся, причем в единственной точке. Следовательно, задача будет иметь единственное решение (все построенные таким образом треугольники будут равны между собой).
Если $\angle 1 + \angle 2 \ge 180^\circ$, лучи $BD$ и $CG$ не пересекутся, и построение треугольника невозможно.

Ответ: для построения треугольника необходимо начертить прямую, отложить на ней отрезок, равный данной стороне (например, $BC$). Затем от концов этого отрезка в одной и той же полуплоскости отложить углы, равные данным. Точка пересечения лучей, являющихся сторонами этих углов, будет третьей вершиной ($A$) искомого треугольника. Задача имеет единственное решение при условии, что сумма данных углов меньше $180^\circ$.