Номер 13, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки A и B.

Пусть $O$ — центр некоторой окружности, которая проходит через две данные точки $A$ и $B$. Пусть $R$ — радиус этой окружности.

По определению окружности, все ее точки равноудалены от центра. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на данной окружности, расстояние от центра $O$ до точки $A$ и расстояние от центра $O$ до точки $B$ равны радиусу $R$.

Таким образом, мы можем записать равенство: $OA = OB = R$.

Это равенство означает, что любая точка $O$, которая может быть центром такой окружности, является точкой, равноудаленной от точек $A$ и $B$.

Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, является прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку.

Докажем, что это действительно искомое геометрическое место:

1. Возьмем любую точку $C$ на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, она равноудалена от концов отрезка, то есть $CA = CB$. Если мы построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R = CA$, то она обязательно пройдет и через точку $B$, так как $CB$ также равно $R$. Следовательно, любая точка серединного перпендикуляра является центром окружности, проходящей через $A$ и $B$.

2. Теперь докажем обратное: пусть точка $D$ является центром окружности, проходящей через $A$ и $B$. Тогда $DA = DB$ (как радиусы одной окружности). Это означает, что точка $D$ равноудалена от концов отрезка $AB$, а значит, по определению, она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Таким образом, множество всех центров окружностей, проходящих через две данные точки $A$ и $B$, в точности совпадает с множеством точек серединного перпендикуляра к отрезку $AB$.

Ответ: Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки А и В, — это серединный перпендикуляр к отрезку АВ.