Номер 18, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Постройте треугольник $\triangle ABC$ по двум данным сторонам и углу между ними.

Для построения треугольника по двум данным сторонам и углу между ними используются классические инструменты геометрии: циркуль и линейка без делений.

Дано:

Два отрезка, длины которых мы обозначим $b$ и $c$, и угол $\alpha$.

Построить:

Треугольник $ABC$ такой, что длины его сторон $AB$ и $AC$ равны $c$ и $b$ соответственно, а угол между ними $\angle BAC$ равен данному углу $\alpha$.

Построение:

1. На плоскости проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$. Эта точка будет одной из вершин будущего треугольника.

2. Построим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Для этого выполним следующие шаги:
а) Возьмем данный угол $\alpha$ с вершиной в точке $O$. Проведем дугу окружности произвольного радиуса $r$ с центром в $O$. Эта дуга пересечет стороны угла в точках $K$ и $L$.
б) Проведем дугу окружности того же радиуса $r$ с центром в нашей точке $A$. Она пересечет нашу прямую в точке, которую назовем $D$.
в) Циркулем измерим расстояние между точками $K$ и $L$.
г) Проведем дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом, равным расстоянию $KL$. Эта дуга пересечет первую дугу (с центром в $A$) в точке, которую назовем $E$.
д) Проведем луч $AE$ через точки $A$ и $E$. Построенный угол $\angle EAD$ равен данному углу $\alpha$.

3. На сторонах построенного угла $\angle EAD$ отложим отрезки, равные по длине данным отрезкам.
- На луче $AE$ от точки $A$ отложим отрезок $AB$ длиной $c$. Для этого измерим циркулем длину отрезка $c$ и, установив острие циркуля в точку $A$, сделаем засечку на луче $AE$. Получим точку $B$.
- На луче $AD$ от точки $A$ отложим отрезок $AC$ длиной $b$. Аналогично, измерим циркулем длину отрезка $b$ и сделаем засечку на луче $AD$, получив точку $C$.

4. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком прямой с помощью линейки.

Доказательство:

Полученный треугольник $ABC$ является искомым. По построению, сторона $AB$ имеет длину $c$, сторона $AC$ имеет длину $b$, а угол $\angle BAC$ между ними равен данному углу $\alpha$, что полностью соответствует условию задачи.

Исследование:

Задача всегда имеет решение, если длины заданных сторон $b$ и $c$ больше нуля, а угол $\alpha$ является неразвернутым (то есть $\alpha > 0^\circ$ и $\alpha < 180^\circ$). Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), все треугольники, удовлетворяющие условиям, равны между собой. Таким образом, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Треугольник $ABC$, удовлетворяющий заданным условиям, построен согласно приведенному алгоритму.