Номер 8, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Каково взаимное расположение прямой и окружности, если радиус окружности равен 3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно:

а) 2 см;

б) 3 см;

в) 4 см?

Для определения взаимного расположения прямой и окружности необходимо сравнить радиус окружности, который обозначим как $r$, и расстояние от центра окружности до прямой, которое обозначим как $d$. По условию задачи, радиус окружности $r = 3$ см.

Существует три основных варианта взаимного расположения, которые зависят от соотношения между $d$ и $r$:

1. Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < r$), то прямая пересекает окружность в двух различных точках. Такая прямая называется секущей.

2. Если расстояние от центра до прямой равно радиусу ($d = r$), то прямая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Такая прямая называется касательной.

3. Если расстояние от центра до прямой больше радиуса ($d > r$), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Рассмотрим каждый из предложенных случаев:

а) Дано расстояние от центра окружности до прямой $d = 2$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d = 2$ см, а $r = 3$ см. Поскольку $2 \text{ см} < 3 \text{ см}$, выполняется неравенство $d < r$. Это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.
Ответ: прямая и окружность пересекаются в двух точках.

б) Дано расстояние от центра окружности до прямой $d = 3$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d = 3$ см, и $r = 3$ см. В этом случае $d = r$. Это означает, что прямая касается окружности в одной точке.
Ответ: прямая и окружность касаются (имеют одну общую точку).

в) Дано расстояние от центра окружности до прямой $d = 4$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d = 4$ см, а $r = 3$ см. Поскольку $4 \text{ см} > 3 \text{ см}$, выполняется неравенство $d > r$. Это означает, что прямая и окружность не имеют общих точек.
Ответ: прямая и окружность не имеют общих точек.