Номер 20, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$. Проведём медиану $AM$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим её длину как $m_a$. Полупериметр треугольника $p$ равен $p = \frac{a + b + c}{2}$. Нам необходимо доказать, что $m_a < p$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на её собственную длину до точки $D$, так что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с вершинами $B$ и $C$.

Рассмотрим получившийся четырёхугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению $AM = MD$. Так как $AM$ является медианой, точка $M$ — середина стороны $BC$, то есть $BM = MC$. Поскольку диагонали четырёхугольника $ABDC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырёхугольник является параллелограммом.

Одно из свойств параллелограмма гласит, что его противолежащие стороны равны. Следовательно, $CD = AB = c$. Также отметим, что длина отрезка $AD$ равна удвоенной длине медианы: $AD = AM + MD = m_a + m_a = 2m_a$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По неравенству треугольника, сумма длин любых двух его сторон больше длины третьей стороны. Запишем это неравенство для сторон $AC$, $CD$ и $AD$:
$AC + CD > AD$

Подставим в это неравенство длины сторон, выраженные через стороны исходного треугольника и его медиану:
$b + c > 2m_a$

Разделим обе части неравенства на 2:
$\frac{b+c}{2} > m_a$

Мы доказали, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, исходящих из той же вершины. Теперь сравним эту величину с полупериметром. Так как длина стороны $a$ всегда положительна ($a > 0$), очевидно, что:
$\frac{b+c}{2} < \frac{b+c+a}{2}$

Таким образом, мы имеем цепочку неравенств:
$m_a < \frac{b+c}{2}$ и $\frac{b+c}{2} < \frac{a+b+c}{2}$
Отсюда следует, что:
$m_a < \frac{a+b+c}{2}$

Это доказывает, что медиана треугольника меньше его полупериметра. Рассуждение справедливо для любой медианы треугольника.

Ответ: Доказано, что любая медиана треугольника меньше его полупериметра.