Страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Расстояние между центрами двух окружностей равно $d$ и больше суммы их радиусов $R_1$ и $R_2$. Найдите наименьшее и наибольшее расстояние между точками, расположенными на данных окружностях.

Наименьшее расстояние
Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы. Расстояние между центрами $O_1O_2$ равно $d$. По условию, $d > R_1 + R_2$, что означает, что окружности не пересекаются и одна не лежит внутри другой.
Чтобы найти наименьшее расстояние между точками, расположенными на этих окружностях, рассмотрим прямую, проходящую через центры $O_1$ и $O_2$. Эта прямая пересекает первую окружность в двух точках, а вторую — также в двух. Выберем те точки пересечения, которые лежат на отрезке $O_1O_2$. Обозначим их $A_1$ на первой окружности и $A_2$ на второй.
Точка $A_1$ находится на расстоянии $R_1$ от центра $O_1$, а точка $A_2$ — на расстоянии $R_2$ от центра $O_2$. Расстояние между точками $A_1$ и $A_2$ будет равно расстоянию между центрами $d$ минус радиусы обеих окружностей. Любая другая пара точек на окружностях будет находиться на большем расстоянии (согласно неравенству треугольника).
Следовательно, наименьшее расстояние равно:$L_{min} = d - R_1 - R_2$
Ответ: $d - R_1 - R_2$.

Наибольшее расстояние
Наибольшее расстояние также будет достигаться на точках, лежащих на прямой, которая проходит через центры окружностей $O_1$ и $O_2$. Однако на этот раз нужно выбрать точки пересечения $B_1$ и $B_2$, которые лежат на этой прямой по разные стороны от отрезка $O_1O_2$.
Точка $B_1$ на первой окружности и центр $O_1$ лежат по разные стороны от центра $O_2$. Аналогично, точка $B_2$ на второй окружности и центр $O_2$ лежат по разные стороны от центра $O_1$.
Расстояние между такими точками $B_1$ и $B_2$ будет складываться из трех отрезков: радиуса первой окружности $R_1$ (расстояние $B_1O_1$), расстояния между центрами $d$ (расстояние $O_1O_2$) и радиуса второй окружности $R_2$ (расстояние $O_2B_2$).
Следовательно, наибольшее расстояние равно:$L_{max} = R_1 + d + R_2$
Ответ: $d + R_1 + R_2$.

12. Пусть А и В — точки плоскости. Укажите геометрическое место точек С, для которых:

а) $AC = BC$;

б) $AC > BC$;

в) $AC < AB$.

а) Условие $AC = BC$ означает, что точка $C$ находится на одинаковом расстоянии от точек $A$ и $B$.

По определению, геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Такая прямая называется срединным перпендикуляром к отрезку.

Ответ: Срединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

б) Условие $AC > BC$ означает, что точка $C$ находится дальше от точки $A$, чем от точки $B$, или, что то же самое, точка $C$ ближе к точке $B$, чем к точке $A$.

Срединный перпендикуляр к отрезку $AB$ (множество точек, где $AC=BC$) делит плоскость на две открытые полуплоскости. В одной из них выполняется неравенство $AC < BC$ (это полуплоскость, содержащая точку $A$), а в другой — неравенство $AC > BC$ (это полуплоскость, содержащая точку $B$). Поскольку нас интересуют точки, более близкие к $B$, искомым геометрическим местом является полуплоскость, содержащая точку $B$. Граница полуплоскости (сам срединный перпендикуляр) не включается, так как неравенство строгое.

Ответ: Открытая полуплоскость, ограниченная срединным перпендикуляром к отрезку $AB$ и содержащая точку $B$.

в) Условие $AC < AB$ означает, что расстояние от точки $C$ до точки $A$ меньше фиксированного расстояния между точками $A$ и $B$.

Пусть $R = AB$ — длина отрезка $AB$. Тогда условие можно записать как $AC < R$. Множество точек, расстояние от которых до центра $A$ меньше радиуса $R$, представляет собой внутреннюю область круга. Центром этого круга является точка $A$, а его радиус равен длине отрезка $AB$. Граница круга, то есть окружность с центром в $A$ и радиусом $R=AB$, не включается в искомое множество, так как неравенство строгое.

Ответ: Внутренняя область круга (или открытый круг) с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.

13. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки A и B.

Пусть $O$ — центр некоторой окружности, которая проходит через две данные точки $A$ и $B$. Пусть $R$ — радиус этой окружности.

По определению окружности, все ее точки равноудалены от центра. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на данной окружности, расстояние от центра $O$ до точки $A$ и расстояние от центра $O$ до точки $B$ равны радиусу $R$.

Таким образом, мы можем записать равенство: $OA = OB = R$.

Это равенство означает, что любая точка $O$, которая может быть центром такой окружности, является точкой, равноудаленной от точек $A$ и $B$.

Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, является прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку.

Докажем, что это действительно искомое геометрическое место:

1. Возьмем любую точку $C$ на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, она равноудалена от концов отрезка, то есть $CA = CB$. Если мы построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R = CA$, то она обязательно пройдет и через точку $B$, так как $CB$ также равно $R$. Следовательно, любая точка серединного перпендикуляра является центром окружности, проходящей через $A$ и $B$.

2. Теперь докажем обратное: пусть точка $D$ является центром окружности, проходящей через $A$ и $B$. Тогда $DA = DB$ (как радиусы одной окружности). Это означает, что точка $D$ равноудалена от концов отрезка $AB$, а значит, по определению, она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Таким образом, множество всех центров окружностей, проходящих через две данные точки $A$ и $B$, в точности совпадает с множеством точек серединного перпендикуляра к отрезку $AB$.

Ответ: Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки А и В, — это серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

14. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных пересекающихся прямых $a$ и $b$.

Пусть даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Обозначим точку их пересечения как $M$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), которые являются центрами окружностей, касающихся обеих этих прямых.

Пусть точка $O$ — центр некоторой окружности, а $r$ — её радиус. По определению, если окружность касается прямой, то расстояние от её центра до этой прямой равно радиусу.

Поскольку окружность с центром в точке $O$ касается прямой $a$, расстояние от точки $O$ до прямой $a$ должно быть равно радиусу $r$. Обозначим это расстояние как $\rho(O, a)$. Таким образом, $\rho(O, a) = r$.

Аналогично, так как эта же окружность касается прямой $b$, расстояние от точки $O$ до прямой $b$ также должно быть равно радиусу $r$. То есть, $\rho(O, b) = r$.

Из этих двух равенств следует, что любая точка $O$, являющаяся центром искомой окружности, удовлетворяет условию:$\rho(O, a) = \rho(O, b)$.Это означает, что центр любой такой окружности должен быть равноудален от прямых $a$ и $b$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных при пересечении исходных прямых.

Докажем это. Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла (две пары вертикальных углов). Известно, что ГМТ, равноудаленных от сторон угла, является его биссектриса. Таким образом, для каждой из четырёх областей (углов), на которые прямые $a$ и $b$ делят плоскость, множество центров искомых окружностей будет лежать на биссектрисе соответствующего угла.

Объединяя биссектрисы всех четырех углов, мы получаем две прямые, проходящие через точку пересечения $M$ прямых $a$ и $b$. Эти две прямые (биссектрисы) взаимно перпендикулярны.

Обратно, любая точка $O$, взятая на одной из этих биссектрис, равноудалена от прямых $a$ и $b$. Если это расстояние равно $r_0$ ($r_0 > 0$), то можно построить окружность с центром в $O$ и радиусом $r_0$, которая будет касаться обеих прямых $a$ и $b$. Если же точка $O$ совпадает с точкой пересечения $M$, то расстояние равно нулю, что соответствует окружности нулевого радиуса (точке), которая также формально касается обеих прямых.

Следовательно, искомое геометрическое место точек представляет собой совокупность всех точек этих двух биссектрис.

Ответ: Геометрическим местом центров окружностей, касающихся двух данных пересекающихся прямых, является пара биссектрис углов, образованных этими прямыми.

15. Постройте середину заданного отрезка.

Задача построения середины отрезка является одной из классических задач на построение с помощью циркуля и линейки. Для ее решения необходимо выполнить последовательность шагов, основанных на свойствах равнобедренных треугольников и окружностей.

Дано:

Задан произвольный отрезок $AB$.

Построить:

Точку $M$, которая является серединой отрезка $AB$, то есть $AM = MB$.

Построение:

1. Устанавливаем раствор циркуля на произвольный радиус $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$. Точная длина радиуса не важна, главное, чтобы выполнялось условие $R > \frac{1}{2}AB$.

2. Помещаем острие циркуля в точку $A$ и проводим дугу окружности радиусом $R$.

3. Не меняя раствора циркуля, помещаем его острие в точку $B$ и проводим вторую дугу окружности тем же радиусом $R$.

4. Две построенные дуги пересекутся в двух точках, расположенных по разные стороны от отрезка $AB$. Обозначим эти точки пересечения как $P$ и $Q$.

5. С помощью линейки соединяем точки $P$ и $Q$ прямой линией.

6. Точка, в которой прямая $PQ$ пересекает отрезок $AB$, и будет его серединой. Обозначим эту точку как $M$.

Доказательство:

Чтобы доказать, что точка $M$ действительно является серединой отрезка $AB$, рассмотрим треугольники, образовавшиеся в результате построения.

Рассмотрим треугольники $\triangle APQ$ и $\triangle BPQ$.
- Сторона $AP$ равна стороне $BP$ ($AP = BP = R$), так как обе являются радиусами окружностей, построенных с одинаковым раствором циркуля.
- Сторона $AQ$ равна стороне $BQ$ ($AQ = BQ = R$) по той же причине.
- Сторона $PQ$ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle APQ = \triangle BPQ$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle APQ = \angle BPQ$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $PQ$, то $\angle APM = \angle BPM$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle APM$ и $\triangle BPM$.
- Сторона $AP$ равна стороне $BP$ ($AP = BP = R$) по построению.
- Сторона $PM$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle APM$ равен углу $\angle BPM$, как было доказано выше.
Следовательно, $\triangle APM = \triangle BPM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle APM$ и $\triangle BPM$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AM = BM$. Это означает, что точка $M$ делит отрезок $AB$ на две равные части, то есть является его серединой. Построение выполнено верно.

Ответ: Точка $M$, полученная как пересечение отрезка $AB$ и прямой, проходящей через точки пересечения двух вспомогательных окружностей, является искомой серединой отрезка $AB$.

16. Постройте биссектрису данного угла.

Для построения биссектрисы данного угла с помощью циркуля и линейки (без делений) выполняется следующая последовательность шагов. Пусть дан угол с вершиной в точке O.

1. Устанавливаем острие циркуля в вершину угла O и проводим дугу окружности произвольного радиуса $R_1$, которая пересекает обе стороны угла. Точки пересечения обозначаем как A и B.

2. Из точек A и B, как из центров, проводим две новые дуги одинакового радиуса $R_2$ внутри угла. Радиус $R_2$ должен быть достаточно большим, чтобы эти дуги пересеклись (например, больше половины расстояния между точками A и B).

3. Точку пересечения этих двух дуг обозначаем как C.

4. С помощью линейки проводим луч, исходящий из вершины O и проходящий через точку C. Луч OC и является искомой биссектрисой.

Доказательство корректности построения:

Рассмотрим треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$, образовавшиеся в результате построения.
- Сторона $OA$ равна стороне $OB$, так как они являются радиусами одной и той же окружности, проведенной из центра O на первом шаге ($OA = OB = R_1$).
- Сторона $AC$ равна стороне $BC$, так как они были построены как дуги с одинаковым радиусом $R_2$ из центров A и B соответственно ($AC = BC = R_2$).
- Сторона $OC$ является общей для обоих треугольников.
Таким образом, треугольник $\triangle OAC$ равен треугольнику $\triangle OBC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. В частности, $\angle AOC = \angle BOC$.
Следовательно, луч OC делит исходный угол на два равных угла, что по определению означает, что OC является его биссектрисой.

Ответ: Биссектриса строится путем проведения луча из вершины угла через точку пересечения двух вспомогательных дуг, построенных с одинаковым радиусом из точек, равноудаленных от вершины на сторонах угла.

17. Постройте треугольник по трем данным сторонам.

Решение задачи на построение треугольника по трем сторонам с помощью циркуля и линейки традиционно включает четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Пусть даны три отрезка с длинами $a$, $b$ и $c$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен, и его стороны равны заданным отрезкам: $AB = c$, $BC = a$ и $AC = b$. Если зафиксировать сторону $AB$ на плоскости, то вершина $C$ должна одновременно удовлетворять двум условиям: находиться на расстоянии $b$ от точки $A$ и на расстоянии $a$ от точки $B$. Геометрическое место точек, удаленных от $A$ на расстояние $b$, — это окружность с центром $A$ и радиусом $b$. Аналогично, геометрическое место точек, удаленных от $B$ на расстояние $a$, — это окружность с центром $B$ и радиусом $a$. Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения этих двух окружностей.

Построение

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $A$.

2. Раствором циркуля, равным длине отрезка $c$, откладываем на прямой от точки $A$ отрезок $AB$.

3. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $b$.

4. Из точки $B$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $a$.

5. Точку пересечения построенных дуг обозначаем буквой $C$.

6. Соединяем отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению, длина стороны $AB$ равна $c$. Точка $C$ находится на окружности с центром в $A$ и радиусом $b$, поэтому $AC = b$. Также точка $C$ находится на окружности с центром в $B$ и радиусом $a$, поэтому $BC = a$. Таким образом, стороны треугольника $ABC$ равны заданным длинам $a, b, c$. Построение выполнено верно.

Исследование

Задача имеет решение только в том случае, если построенные дуги окружностей пересекаются. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны.

Это выражается системой неравенств:
$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$

Возможны следующие случаи:
1. Если неравенство треугольника выполняется: дуги пересекаются в двух точках ($C$ и $C'$), симметричных относительно прямой $AB$. Полученные треугольники $ABC$ и $ABC'$ равны, поэтому решение считается единственным (с точностью до конгруэнтности).

2. Если сумма длин двух сторон равна третьей (например, $a + b = c$): дуги касаются в одной точке, лежащей на отрезке $AB$. В этом случае треугольник является вырожденным, так как все его вершины лежат на одной прямой.

3. Если сумма длин двух сторон меньше третьей (например, $a + b < c$): дуги не пересекаются, и построение треугольника невозможно. Задача не имеет решения.

Ответ: Треугольник можно построить тогда и только тогда, когда для данных длин сторон $a, b, c$ выполняется неравенство треугольника: длина каждой стороны меньше суммы длин двух других. Если это условие выполнено, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение.

18. Постройте треугольник $\triangle ABC$ по двум данным сторонам и углу между ними.

Для построения треугольника по двум данным сторонам и углу между ними используются классические инструменты геометрии: циркуль и линейка без делений.

Дано:

Два отрезка, длины которых мы обозначим $b$ и $c$, и угол $\alpha$.

Построить:

Треугольник $ABC$ такой, что длины его сторон $AB$ и $AC$ равны $c$ и $b$ соответственно, а угол между ними $\angle BAC$ равен данному углу $\alpha$.

Построение:

1. На плоскости проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$. Эта точка будет одной из вершин будущего треугольника.

2. Построим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Для этого выполним следующие шаги:
а) Возьмем данный угол $\alpha$ с вершиной в точке $O$. Проведем дугу окружности произвольного радиуса $r$ с центром в $O$. Эта дуга пересечет стороны угла в точках $K$ и $L$.
б) Проведем дугу окружности того же радиуса $r$ с центром в нашей точке $A$. Она пересечет нашу прямую в точке, которую назовем $D$.
в) Циркулем измерим расстояние между точками $K$ и $L$.
г) Проведем дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом, равным расстоянию $KL$. Эта дуга пересечет первую дугу (с центром в $A$) в точке, которую назовем $E$.
д) Проведем луч $AE$ через точки $A$ и $E$. Построенный угол $\angle EAD$ равен данному углу $\alpha$.

3. На сторонах построенного угла $\angle EAD$ отложим отрезки, равные по длине данным отрезкам.
- На луче $AE$ от точки $A$ отложим отрезок $AB$ длиной $c$. Для этого измерим циркулем длину отрезка $c$ и, установив острие циркуля в точку $A$, сделаем засечку на луче $AE$. Получим точку $B$.
- На луче $AD$ от точки $A$ отложим отрезок $AC$ длиной $b$. Аналогично, измерим циркулем длину отрезка $b$ и сделаем засечку на луче $AD$, получив точку $C$.

4. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком прямой с помощью линейки.

Доказательство:

Полученный треугольник $ABC$ является искомым. По построению, сторона $AB$ имеет длину $c$, сторона $AC$ имеет длину $b$, а угол $\angle BAC$ между ними равен данному углу $\alpha$, что полностью соответствует условию задачи.

Исследование:

Задача всегда имеет решение, если длины заданных сторон $b$ и $c$ больше нуля, а угол $\alpha$ является неразвернутым (то есть $\alpha > 0^\circ$ и $\alpha < 180^\circ$). Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), все треугольники, удовлетворяющие условиям, равны между собой. Таким образом, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Треугольник $ABC$, удовлетворяющий заданным условиям, построен согласно приведенному алгоритму.

19. Постройте треугольник $ABC$ по данной стороне и двум данным прилежащим к ней углам.

Данная задача является одной из классических задач на построение с помощью циркуля и линейки. Она основана на втором признаке равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Нам известна длина стороны, пусть это будет $BC$, и величины двух прилежащих к ней углов: $\angle ABC$ и $\angle BCA$. Вершина $A$ является точкой пересечения двух лучей: одного, исходящего из точки $B$ под углом $\angle ABC$ к стороне $BC$, и другого, исходящего из точки $C$ под углом $\angle BCA$ к стороне $BC$.
Для того чтобы такой треугольник существовал, необходимо, чтобы сумма данных углов была меньше $180^\circ$. Если $\angle ABC + \angle BCA \ge 180^\circ$, то лучи, образующие эти углы и лежащие в одной полуплоскости относительно прямой $BC$, не пересекутся, и треугольник построить будет невозможно. В условии задачи предполагается, что это требование выполнено.

Построение

Пусть нам дан отрезок $P_1Q_1$, задающий длину стороны, и два угла $\angle 1$ и $\angle 2$, задающие величины прилежащих углов.

1. Начертим произвольную прямую $l$ и отметим на ней точку $B$.
2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $P_1Q_1$. Установив ножку циркуля в точку $B$, отложим на прямой $l$ отрезок $BC$, равный $P_1Q_1$.
3. От луча $BC$ в выбранной полуплоскости построим угол, равный данному углу $\angle 1$, с вершиной в точке $B$. Для этого выполним стандартную процедуру копирования угла:
   • Проведем дугу произвольного радиуса $r$ с центром в вершине угла $\angle 1$.
   • Проведем дугу того же радиуса $r$ с центром в точке $B$ так, чтобы она пересекла луч $BC$ (например, в точке $M$).
   • Измерим циркулем расстояние между точками пересечения первой дуги со сторонами угла $\angle 1$.
   • Отложим это расстояние на второй дуге от точки $M$, получив точку $D$.
   • Проведем луч $BD$. Полученный угол $\angle DBC$ равен углу $\angle 1$.
4. Аналогичным образом от луча $CB$ в той же полуплоскости построим угол, равный данному углу $\angle 2$, с вершиной в точке $C$. Для этого проведем луч $CG$ так, чтобы $\angle GCB$ был равен $\angle 2$.
5. Точка пересечения построенных лучей $BD$ и $CG$ является третьей вершиной искомого треугольника. Обозначим эту точку буквой $A$.

В результате мы получили треугольник $ABC$.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению:
1. Сторона $BC$ равна данному отрезку $P_1Q_1$.
2. Угол $\angle ABC$ равен данному углу $\angle 1$.
3. Угол $\angle BCA$ равен данному углу $\angle 2$.
Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда сумма двух данных углов меньше $180^\circ$.
Если $\angle 1 + \angle 2 < 180^\circ$, то согласно аксиоме о параллельных прямых (или ее следствиям), лучи $BD$ и $CG$ пересекутся, причем в единственной точке. Следовательно, задача будет иметь единственное решение (все построенные таким образом треугольники будут равны между собой).
Если $\angle 1 + \angle 2 \ge 180^\circ$, лучи $BD$ и $CG$ не пересекутся, и построение треугольника невозможно.

Ответ: для построения треугольника необходимо начертить прямую, отложить на ней отрезок, равный данной стороне (например, $BC$). Затем от концов этого отрезка в одной и той же полуплоскости отложить углы, равные данным. Точка пересечения лучей, являющихся сторонами этих углов, будет третьей вершиной ($A$) искомого треугольника. Задача имеет единственное решение при условии, что сумма данных углов меньше $180^\circ$.