Страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Дано:
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$.
Боковые стороны равны: $AB = BC$.
$AD$ — биссектриса угла $\angle A$, проведенная к стороне $BC$.
$CE$ — биссектриса угла $\angle C$, проведенная к стороне $AB$.

Доказать:
$AD = CE$.

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$. По определению биссектрисы, $AD$ делит угол $\angle BAC$ пополам, а $CE$ делит угол $\angle BCA$ пополам. Отсюда получаем: $\angle DAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ и $\angle ECA = \frac{1}{2}\angle BCA$. Так как $\angle BAC = \angle BCA$, то и их половины равны, то есть $\angle DAC = \angle ECA$. Теперь сравним треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$. У них: 1. Сторона $AC$ — общая. 2. Угол $\angle DCA$ (он же $\angle BCA$) равен углу $\angle EAC$ (он же $\angle BAC$) как углы при основании равнобедренного треугольника. 3. Угол $\angle DAC$ равен углу $\angle ECA$, что было доказано выше. Следовательно, треугольник $\triangle ADC$ равен треугольнику $\triangle CEA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AD$ в $\triangle ADC$ лежит напротив угла $\angle DCA$, а сторона $CE$ в $\triangle CEA$ лежит напротив угла $\angle EAC$. Поскольку $\angle DCA = \angle EAC$, то соответствующие стороны $AD$ и $CE$ равны. Таким образом, $AD = CE$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство биссектрис, проведенных к боковым сторонам равнобедренного треугольника, доказано через равенство треугольников $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

14. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, если у них равны стороны $AB$ и $A_1B_1$, $AC$ и $A_1C_1$, медианы $CM$ и $C_1M_1$.

Дано:
Даны два треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.
По условию, у них равны стороны $ AB = A_1B_1 $ и $ AC = A_1C_1 $.
$ CM $ и $ C_1M_1 $ – медианы этих треугольников, проведенные к сторонам $ AB $ и $ A_1B_1 $ соответственно.
Также по условию, медианы равны: $ CM = C_1M_1 $.

Доказать:
$ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Первым шагом рассмотрим треугольники, образованные медианами: $ \triangle AMC $ и $ \triangle A_1M_1C_1 $.
По определению медианы, точка $ M $ является серединой стороны $ AB $, поэтому $ AM = \frac{1}{2}AB $. Аналогично, точка $ M_1 $ является серединой стороны $ A_1B_1 $, поэтому $ A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1 $.
Поскольку по условию задачи $ AB = A_1B_1 $, то их половины также равны: $ AM = A_1M_1 $.

2. Теперь сравним треугольники $ \triangle AMC $ и $ \triangle A_1M_1C_1 $ по трем сторонам:
- $ AC = A_1C_1 $ (по условию).
- $ CM = C_1M_1 $ (по условию).
- $ AM = A_1M_1 $ (как было показано выше).
Следовательно, $ \triangle AMC \cong \triangle A_1M_1C_1 $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

3. Из равенства треугольников $ \triangle AMC $ и $ \triangle A_1M_1C_1 $ следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $ A $ треугольника $ ABC $ равен углу $ A_1 $ треугольника $ A_1B_1C_1 $ ($ \angle A = \angle A_1 $).

4. Наконец, рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Для них мы имеем:
- $ AB = A_1B_1 $ (по условию).
- $ AC = A_1C_1 $ (по условию).
- $ \angle A = \angle A_1 $ (как было доказано выше).
Таким образом, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ доказано на основании равенства двух сторон и медианы, проведенной к одной из этих сторон.

15. Сравните углы треугольника $ABC$, если $AB = 7$ см, $BC = 10$ см и $AC = 5$ см.

Для того чтобы сравнить углы треугольника, зная длины его сторон, необходимо воспользоваться теоремой о соотношении между сторонами и углами треугольника. Эта теорема гласит, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей стороны — меньший угол.

Даны стороны треугольника $ABC$:
$AB = 7$ см
$BC = 10$ см
$AC = 5$ см

Сравним длины этих сторон и расположим их в порядке возрастания:
$5$ см $ < 7$ см $ < 10$ см
Следовательно, $AC < AB < BC$.

Теперь определим, какие углы лежат напротив каждой из сторон:
- Угол, противолежащий стороне $AC$, — это угол $B$ ($\angle B$).
- Угол, противолежащий стороне $AB$, — это угол $C$ ($\angle C$).
- Угол, противолежащий стороне $BC$, — это угол $A$ ($\angle A$).

Согласно теореме, так как $AC$ — наименьшая сторона, то противолежащий ей угол $B$ — наименьший. Так как $BC$ — наибольшая сторона, то противолежащий ей угол $A$ — наибольший. Сторона $AB$ имеет среднюю длину, значит, и противолежащий ей угол $C$ будет средним по величине.

Таким образом, из соотношения сторон $AC < AB < BC$ следует соответствующее соотношение для противолежащих углов: $\angle B < \angle C < \angle A$.
Ответ: $\angle B < \angle C < \angle A$.

16. Сравните стороны треугольника ABC, если $\angle A > \angle B > \angle C$.

Для сравнения сторон треугольника ABC воспользуемся fundamentalной теоремой геометрии о соотношении сторон и углов треугольника. Теорема гласит: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.

По условию задачи нам дано неравенство для углов треугольника ABC: $\angle A > \angle B > \angle C$.

Теперь определим, какие стороны лежат напротив каждого из этих углов:
- Напротив угла $\angle A$ лежит сторона BC.
- Напротив угла $\angle B$ лежит сторона AC.
- Напротив угла $\angle C$ лежит сторона AB.

Применим теорему к заданному соотношению углов:
1. Так как $\angle A > \angle B$, то сторона, лежащая напротив угла A, больше стороны, лежащей напротив угла B. Следовательно, $BC > AC$.
2. Так как $\angle B > \angle C$, то сторона, лежащая напротив угла B, больше стороны, лежащей напротив угла C. Следовательно, $AC > AB$.

Объединив эти два неравенства, получаем итоговое соотношение длин сторон треугольника: $BC > AC > AB$.

Ответ: $BC > AC > AB$.

17. Докажите, что в прямоугольном треугольнике имеется два острых угла.

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник. По определению, один из его углов является прямым, то есть равен $90^\circ$. Обозначим углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, и пусть $\gamma = 90^\circ$.

Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех трех внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Запишем это для нашего треугольника:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Теперь подставим в это равенство известное значение прямого угла $\gamma$:
$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$

Из этого уравнения найдем сумму двух оставшихся углов, $\alpha$ и $\beta$:
$\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ$
$\alpha + \beta = 90^\circ$

Так как любой угол в треугольнике должен быть больше $0^\circ$, то мы имеем условия $\alpha > 0^\circ$ и $\beta > 0^\circ$. Если сумма двух положительных углов равна $90^\circ$, то каждый из этих углов обязательно должен быть меньше $90^\circ$. Если предположить обратное, например, что $\alpha \ge 90^\circ$, то поскольку $\beta > 0^\circ$, их сумма $\alpha + \beta$ будет строго больше $90^\circ$, что противоречит полученному равенству $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Следовательно, оба угла, $\alpha$ и $\beta$, удовлетворяют неравенствам $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ и $0^\circ < \beta < 90^\circ$.

Углы, которые больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$, по определению называются острыми. Таким образом, мы доказали, что в любом прямоугольном треугольнике два угла являются острыми.

Ответ: Что и требовалось доказать.

18. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два основных подхода.

Способ 1: На основе теоремы Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где длины катетов равны a и b, а длина гипотенузы равна c.

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $c^2 = a^2 + b^2$

Поскольку длины сторон треугольника являются положительными величинами, то $a > 0$ и $b > 0$. Следовательно, их квадраты также строго положительны: $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$.

Давайте сравним квадрат гипотенузы $c^2$ с квадратом катета $a^2$. Из формулы $c^2 = a^2 + b^2$ и условия $b^2 > 0$ следует, что $c^2 > a^2$.

Так как длины a и c положительны, из неравенства $c^2 > a^2$ мы можем заключить, что $c > a$.

Аналогично, сравнивая $c^2$ с $b^2$, из $c^2 = a^2 + b^2$ и $a^2 > 0$ следует, что $c^2 > b^2$.

Поскольку b и c — положительные величины, из $c^2 > b^2$ следует, что $c > b$.

Таким образом, мы доказали, что гипотенуза c длиннее каждого из катетов, a и b.

Способ 2: На основе соотношений между сторонами и углами треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник. По определению, один из его углов является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Обозначим углы нашего треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, где $\gamma = 90^\circ$ — прямой угол.

Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, имеем: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Подставив значение прямого угла, получаем: $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, откуда следует, что $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Так как в любом невырожденном треугольнике углы положительны, то $\alpha > 0^\circ$ и $\beta > 0^\circ$. Это означает, что каждый из этих углов строго меньше $90^\circ$: $\alpha < 90^\circ$ и $\beta < 90^\circ$.

Таким образом, прямой угол $\gamma = 90^\circ$ является наибольшим углом в прямоугольном треугольнике.

В геометрии существует теорема, которая гласит: в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

В нашем случае гипотенуза является стороной, лежащей напротив прямого (наибольшего) угла $\gamma$. Катеты, в свою очередь, лежат напротив острых (меньших) углов $\alpha$ и $\beta$.

Следовательно, длина гипотенузы больше длины каждого из катетов.

Ответ: Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше каждого из его катетов.

1. Может ли медиана треугольника быть больше высоты, проведенной из той же вершины треугольника?

1. Да, медиана треугольника может быть больше высоты, проведенной из той же вершины. Более того, медиана всегда не меньше этой высоты ($m \ge h$).

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем из вершины $B$ медиану $BM$ (где $M$ — середина стороны $AC$) и высоту $BH$ (где $H$ — основание перпендикуляра из $B$ на прямую $AC$).

Рассмотрим треугольник $BHM$. По определению высоты, угол $\angle BHM$ является прямым ($\angle BHM = 90^\circ$), следовательно, треугольник $BHM$ — прямоугольный.

В этом прямоугольном треугольнике:
• Высота $BH$ является катетом.
• Медиана $BM$ является гипотенузой.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Отсюда следует, что $BM \ge BH$.

Равенство $BM = BH$ достигается только в том случае, когда точки $M$ и $H$ совпадают, то есть когда катет $HM$ равен нулю. Это происходит, когда медиана и высота, проведенные из вершины $B$, являются одним и тем же отрезком. Такое возможно в равнобедренном треугольнике, если $AB=BC$, или в равностороннем треугольнике.

Во всех остальных случаях, когда треугольник не является равнобедренным относительно вершины $B$, точки $M$ и $H$ не совпадут. В этом случае $BM$ как гипотенуза будет строго больше катета $BH$, то есть $BM > BH$.

Таким образом, медиана треугольника может быть больше высоты, проведенной из той же вершины.

Ответ: Да, может.

2. Может ли биссектриса треугольника быть больше высоты, проведенной из той же вершины треугольника?

Да, биссектриса треугольника, проведенная из некоторой вершины, может быть больше высоты, проведенной из той же вершины. Более того, биссектриса почти всегда больше высоты, за исключением одного частного случая.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем из вершины $B$ к стороне $AC$ высоту $BH$ и биссектрису $BL$.

По определению высоты, отрезок $BH$ перпендикулярен прямой $AC$. Это означает, что угол $\angle BHC$ (или $\angle BHA$, в зависимости от того, где лежит точка $H$) является прямым, то есть $\angle BHC = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный точками $B$, $H$ и $L$ — это треугольник $\triangle BHL$. В этом треугольнике угол при вершине $H$ ($\angle BHL$) является прямым. Следовательно, $\triangle BHL$ — это прямоугольный треугольник.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, то есть она длиннее любого из катетов. В нашем прямоугольном треугольнике $\triangle BHL$ гипотенузой является сторона $BL$ (биссектриса), так как она лежит напротив прямого угла. Высота $BH$ является одним из катетов этого треугольника.

Из этого следует, что длина гипотенузы $BL$ всегда не меньше длины катета $BH$. Математически это записывается как $BL \ge BH$.

Равенство $BL = BH$ возможно только в том случае, когда точки $L$ и $H$ совпадают, то есть когда второй катет $HL$ имеет нулевую длину. Это происходит, когда биссектриса и высота, проведенные из вершины $B$, являются одним и тем же отрезком. Такое свойство имеет равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны, прилегающие к вершине $B$, равны ($AB = BC$).

В любом другом случае, когда треугольник не является равнобедренным относительно вершины $B$ ($AB \neq BC$), точки $L$ и $H$ не совпадают. Тогда $HL > 0$, и по теореме Пифагора для $\triangle BHL$ мы имеем $BL^2 = BH^2 + HL^2$. Так как $HL^2 > 0$, то $BL^2 > BH^2$, и, следовательно, $BL > BH$.

Таким образом, биссектриса треугольника всегда больше высоты, проведенной из той же вершины, если только треугольник не является равнобедренным относительно этой вершины, — в этом случае они равны.

Ответ: Да, может.

3. Из точки $A$ к прямой $b$ проведены перпендикуляр $AB$ и наклонные $AB_1, AB_2$. Какая из двух наклонных меньше, если:

а) $B_1$ лежит между $B$ и $B_2$;

б) $B$ лежит между $B_1, B_2$ и $BB_1 < BB_2$?

В данной задаче мы используем свойство наклонных, проведенных из одной точки к прямой: из двух наклонных больше та, у которой проекция больше, и наоборот, меньше та, у которой проекция меньше. Это свойство является прямым следствием теоремы Пифагора.
Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные перпендикуляром $AB$, наклонными ($AB_1$ и $AB_2$) и их проекциями на прямую $b$ ($BB_1$ и $BB_2$). Для любой наклонной $AX$ с проекцией $BX$ на прямую $b$ по теореме Пифагора выполняется равенство: $AX^2 = AB^2 + BX^2$. Отсюда видно, что длина наклонной $AX$ зависит от длины её проекции $BX$.

а) $B_1$ лежит между $B$ и $B_2$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta ABB_1$ и $\Delta ABB_2$.
По теореме Пифагора для них справедливы равенства:
$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$
$AB_2^2 = AB^2 + BB_2^2$
По условию, точка $B_1$ лежит на прямой $b$ между основанием перпендикуляра $B$ и точкой $B_2$. Это означает, что расстояние от $B$ до $B_1$ меньше расстояния от $B$ до $B_2$. Таким образом, длина проекции $BB_1$ меньше длины проекции $BB_2$:
$BB_1 < BB_2$
Возведем обе части неравенства в квадрат (так как длины положительны, знак неравенства сохранится):
$BB_1^2 < BB_2^2$
Прибавим к обеим частям одинаковую величину $AB^2$:
$AB^2 + BB_1^2 < AB^2 + BB_2^2$
Заменяя левую и правую части согласно равенствам из теоремы Пифагора, получаем:
$AB_1^2 < AB_2^2$
Так как длины наклонных – положительные числа, из этого следует, что $AB_1 < AB_2$.
Ответ: наклонная $AB_1$ меньше.

б) $B$ лежит между $B_1$ и $B_2$, и $BB_1 < BB_2$
В этом случае точки $B_1$ и $B_2$ лежат по разные стороны от основания перпендикуляра $B$. Мы снова рассматриваем прямоугольные треугольники $\Delta ABB_1$ и $\Delta ABB_2$.
Длины наклонных по-прежнему определяются теоремой Пифагора:
$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$
$AB_2^2 = AB^2 + BB_2^2$
В условии задачи нам напрямую дано сравнение длин проекций: $BB_1 < BB_2$.
Используя ту же логику, что и в пункте а), из неравенства $BB_1 < BB_2$ следует:
$BB_1^2 < BB_2^2$
$AB^2 + BB_1^2 < AB^2 + BB_2^2$
$AB_1^2 < AB_2^2$
$AB_1 < AB_2$
Таким образом, и в этом случае наклонная $AB_1$ меньше, так как её проекция $BB_1$ меньше проекции $BB_2$.
Ответ: наклонная $AB_1$ меньше.

4. Докажите, что из двух наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, проекция которой больше.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим геометрическую конструкцию.

Пусть дана прямая a и точка A, не лежащая на этой прямой. Проведем из точки A перпендикуляр AH к прямой a (где H — основание перпендикуляра). Также проведем из точки A две наклонные, AB и AC, где B и C — точки на прямой a. Отрезки HB и HC являются проекциями наклонных AB и AC на прямую a соответственно.

Дано:
A — точка вне прямой a.
AH ⊥ a.
AB, AC — наклонные к прямой a.
HB, HC — проекции наклонных AB и AC.
Предположим, что проекция одной наклонной больше проекции другой: $HC > HB$.

Доказать:
$AC > AB$.

Доказательство:
Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ΔAHB$ и $ΔAHC$. Они оба являются прямоугольными, так как AH — перпендикуляр к прямой a, а значит, и к отрезкам HB и HC, лежащим на этой прямой. Следовательно, углы $∠AHB$ и $∠AHC$ равны $90°$.

Применим теорему Пифагора к каждому из этих треугольников:

1. Для треугольника $ΔAHB$: квадрат гипотенузы AB равен сумме квадратов катетов AH и HB.
$AB^2 = AH^2 + HB^2$

2. Для треугольника $ΔAHC$: квадрат гипотенузы AC равен сумме квадратов катетов AH и HC.
$AC^2 = AH^2 + HC^2$

По условию нам дано, что $HC > HB$. Так как длины отрезков являются положительными величинами, то и квадраты их длин будут находиться в том же соотношении: $HC^2 > HB^2$.

Теперь сравним выражения для $AC^2$ и $AB^2$. Слагаемое $AH^2$ является общим для обоих выражений. Поскольку $HC^2 > HB^2$, то и сумма $AH^2 + HC^2$ будет больше суммы $AH^2 + HB^2$.

$AH^2 + HC^2 > AH^2 + HB^2$

Подставив в это неравенство выражения из теоремы Пифагора, получаем:

$AC^2 > AB^2$

Так как длины наклонных AC и AB являются положительными числами, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин:

$AC > AB$

Таким образом, мы доказали, что из двух наклонных, проведенных из одной точки к прямой, больше та, у которой проекция больше. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основании теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников $ΔAHB$ и $ΔAHC$ имеем $AB^2 = AH^2 + HB^2$ и $AC^2 = AH^2 + HC^2$. Из условия, что проекция $HC$ больше проекции $HB$ ($HC > HB$), следует, что $HC^2 > HB^2$. Тогда $AH^2 + HC^2 > AH^2 + HB^2$, что означает $AC^2 > AB^2$. Поскольку длины наклонных — положительные числа, из этого следует, что $AC > AB$.

5. Найдите углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

а) один из углов равен 150°;

б) один из углов на 70° больше другого.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется 8 углов. Среди этих углов есть только два различных по величине значения, так как все острые углы равны между собой, и все тупые углы также равны между собой. Любой острый угол и любой тупой угол являются смежными или односторонними, поэтому их сумма всегда равна $180^\circ$.

а) один из углов равен 150°
Пусть один из образовавшихся углов равен $150^\circ$. Этот угол является тупым. Обозначим его как $\beta$. Все тупые углы, образованные при пересечении, будут равны $150^\circ$. Таких углов всего четыре.
Острые углы, обозначим их как $\alpha$, являются смежными к тупым углам, поэтому их сумма с тупым углом равна $180^\circ$.
$ \alpha + \beta = 180^\circ $
$ \alpha + 150^\circ = 180^\circ $
$ \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $
Все острые углы равны $30^\circ$. Таких углов также четыре.
Таким образом, при пересечении образуются четыре угла по $150^\circ$ и четыре угла по $30^\circ$.
Ответ: четыре угла равны $150^\circ$ и четыре угла равны $30^\circ$.

б) один из углов на 70° больше другого
Пусть один угол равен $x$, тогда другой, согласно условию, равен $x + 70^\circ$.
Эти два угла не могут быть равными (например, вертикальными или накрест лежащими), так как в этом случае мы получили бы уравнение $x = x + 70^\circ$, что не имеет решений.
Следовательно, эти углы должны быть смежными или односторонними, и их сумма равна $180^\circ$.
Составим уравнение:
$ x + (x + 70^\circ) = 180^\circ $
$ 2x + 70^\circ = 180^\circ $
$ 2x = 180^\circ - 70^\circ $
$ 2x = 110^\circ $
$ x = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ $
Итак, один из углов равен $55^\circ$.
Второй угол равен $x + 70^\circ = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$.
Таким образом, все острые углы равны $55^\circ$ (их четыре), а все тупые углы равны $125^\circ$ (их тоже четыре).
Ответ: четыре угла равны $55^\circ$ и четыре угла равны $125^\circ$.

6. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $c$. Обозначим точки пересечения как $A$ (на прямой $a$) и $B$ (на прямой $b$).

При пересечении образуются две пары внутренних накрест лежащих углов. Рассмотрим одну из них, обозначим эти углы как $\angle 1$ и $\angle 2$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то по свойству параллельных прямых внутренние накрест лежащие углы равны:

$\angle 1 = \angle 2$

Проведем биссектрисы $m$ и $n$ для углов $\angle 1$ и $\angle 2$ соответственно. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла. Пусть биссектриса $m$ образует с секущей $c$ угол $\angle 3$, а биссектриса $n$ образует с секущей $c$ угол $\angle 4$. Тогда:

$\angle 3 = \frac{1}{2} \angle 1$

$\angle 4 = \frac{1}{2} \angle 2$

Так как исходные углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны, то и их половины равны между собой:

$\angle 3 = \angle 4$

Теперь рассмотрим прямые $m$ и $n$ и их секущую $c$. Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ являются внутренними накрест лежащими для этих прямых. Согласно признаку параллельности прямых, если внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то эти прямые параллельны.

Поскольку мы доказали, что $\angle 3 = \angle 4$, мы можем сделать вывод, что прямые $m$ и $n$ параллельны:

$m \parallel n$

Таким образом, биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, лежат на параллельных прямых.

7. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ (записывается как $a \parallel b$) и третья прямая $c$, которая пересекает прямую $a$ в некоторой точке $M$. Нам требуется доказать, что прямая $c$ пересекает и прямую $b$.

Сделаем предположение, которое противоречит доказываемому утверждению: пусть прямая $c$ не пересекает прямую $b$.

По определению, две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Следовательно, из нашего предположения следует, что прямая $c$ параллельна прямой $b$, то есть $c \parallel b$.

Таким образом, мы получили следующую ситуацию:
1. Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$) — по исходному условию.
2. Прямая $c$ параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$) — по нашему предположению.

Из аксиомы параллельных прямых (пятого постулата Евклида) следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. В нашем случае точка $M$ принадлежит прямой $a$ и прямой $c$. Так как прямая $a$ параллельна прямой $b$, точка $M$ не может лежать на прямой $b$. Получается, что через точку $M$, не лежащую на прямой $b$, проходят две различные прямые ($a$ и $c$), которые обе параллельны прямой $b$.

Это является прямым противоречием аксиоме о параллельных прямых.

Поскольку наше первоначальное предположение привело к противоречию, оно является ложным. Следовательно, верным является исходное утверждение: прямая $c$ должна пересекать прямую $b$.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что прямая не пересекает вторую из параллельных прямых, то она должна быть ей параллельна. Это приводит к ситуации, когда через одну точку проходят две разные прямые, параллельные третьей, что противоречит аксиоме параллельности.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $40^\circ$, $AC = BC$. Найдите угол $C$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$.

Основное свойство равнобедренного треугольника заключается в том, что углы при его основании равны. В нашем случае это углы $A$ и $B$. Таким образом, $ \angle A = \angle B $.

Из условия известно, что $ \angle A = 40^\circ $. Значит, и $ \angle B $ также равен $40^\circ$.

Сумма углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это можно записать в виде формулы: $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $

Теперь мы можем найти угол $C$, подставив известные значения углов $A$ и $B$ в эту формулу: $ 40^\circ + 40^\circ + \angle C = 180^\circ $ $ 80^\circ + \angle C = 180^\circ $

Выразим $ \angle C $: $ \angle C = 180^\circ - 80^\circ $ $ \angle C = 100^\circ $

Ответ: $100^\circ$

9. В треугольнике ABC угол C равен $120^\circ$, $AC = BC$. Найдите угол A.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, то данный треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, угол $A$ равен углу $B$: $\angle A = \angle B$.

Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это можно записать в виде формулы: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Подставим в эту формулу известные значения. По условию $\angle C = 120^\circ$, а так как $\angle A = \angle B$, мы можем заменить $\angle B$ на $\angle A$:

$\angle A + \angle A + 120^\circ = 180^\circ$

Теперь решим полученное уравнение:

$2 \cdot \angle A + 120^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle A = 180^\circ - 120^\circ$

$2 \cdot \angle A = 60^\circ$

$\angle A = \frac{60^\circ}{2}$

$\angle A = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.

10. Один из углов равнобедренного треугольника равен $98'$. Найдите два других угла.

В равнобедренном треугольнике по определению две стороны равны, а углы при основании (при третьей стороне) равны между собой. Сумма всех углов любого треугольника составляет $180^\circ$.

В задаче дан один угол, равный $98^\circ$. Рассмотрим два возможных варианта.

1. Предположим, что $98^\circ$ — это угол при основании. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то второй угол при основании также должен быть равен $98^\circ$. В этом случае сумма двух углов уже будет равна $98^\circ + 98^\circ = 196^\circ$. Это противоречит теореме о сумме углов треугольника ($180^\circ$), поэтому такой вариант невозможен.

2. Следовательно, угол $98^\circ$ — это угол при вершине, который находится напротив основания. Два других угла являются углами при основании, и они равны. Пусть величина каждого из этих углов равна $\alpha$.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:
$98^\circ + \alpha + \alpha = 180^\circ$
$98^\circ + 2\alpha = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение относительно $\alpha$:
$2\alpha = 180^\circ - 98^\circ$
$2\alpha = 82^\circ$
$\alpha = \frac{82^\circ}{2}$
$\alpha = 41^\circ$

Таким образом, два других угла треугольника равны по $41^\circ$.

Ответ: два других угла равны $41^\circ$ и $41^\circ$.

11. В равнобедренном треугольнике один угол на $90^\circ$ меньше другого угла. Найдите больший угол.

В равнобедренном треугольнике как минимум два угла равны. Эти углы называются углами при основании. Пусть их величина равна $x$. Третий угол, противолежащий основанию, называется углом при вершине, и пусть его величина равна $y$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому для нашего равнобедренного треугольника справедливо следующее уравнение:

$2x + y = 180^\circ$

Согласно условию, один угол на $90^\circ$ меньше другого. Так как в равнобедренном треугольнике могут быть только две различные величины углов ($x$ и $y$), мы должны рассмотреть два возможных варианта их соотношения.

Случай 1: Угол при основании ($x$) на 90° меньше угла при вершине ($y$).

В этом случае мы можем записать равенство: $x = y - 90^\circ$. Подставим это выражение в уравнение суммы углов треугольника:

$2(y - 90^\circ) + y = 180^\circ$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$2y - 180^\circ + y = 180^\circ$

$3y = 180^\circ + 180^\circ$

$3y = 360^\circ$

$y = 120^\circ$

Теперь найдем величину угла при основании $x$:

$x = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$

Получаем углы треугольника: $30^\circ, 30^\circ, 120^\circ$. Проверим сумму: $30^\circ + 30^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Все углы имеют положительную величину. Следовательно, такой треугольник существует.

Случай 2: Угол при вершине ($y$) на 90° меньше угла при основании ($x$).

В этом случае равенство будет таким: $y = x - 90^\circ$. Подставим это выражение в уравнение суммы углов:

$2x + (x - 90^\circ) = 180^\circ$

Решим уравнение относительно $x$:

$3x - 90^\circ = 180^\circ$

$3x = 180^\circ + 90^\circ$

$3x = 270^\circ$

$x = 90^\circ$

Теперь найдем величину угла при вершине $y$:

$y = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$

Угол в треугольнике не может быть равен $0^\circ$, поэтому данный случай невозможен.

Таким образом, единственным решением является первый случай, где углы треугольника равны $30^\circ, 30^\circ$ и $120^\circ$. Больший из этих углов — $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

12. Углы треугольника относятся как 1:2:3. Найдите меньший из них.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда, согласно условию, углы треугольника можно выразить как $1x$, $2x$ и $3x$.

Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$. Составим уравнение на основе этого свойства:

$1x + 2x + 3x = 180^\circ$

Сложим все части с $x$:

$6x = 180^\circ$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 6:

$x = \frac{180^\circ}{6}$

$x = 30^\circ$

Мы нашли коэффициент пропорциональности. Теперь найдем величины каждого угла:

Первый угол (меньший): $1x = 1 \cdot 30^\circ = 30^\circ$

Второй угол: $2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Третий угол (больший): $3x = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

Требуется найти меньший из углов. Сравнивая полученные значения $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$, видим, что наименьший угол равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

13. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $64^\circ$, внешний угол при вершине $B$ равен $104^\circ$. Найдите угол $A$.

Для решения этой задачи можно использовать два основных подхода, основанных на свойствах углов треугольника. Рассмотрим оба.

Способ 1: Использование свойства внешнего угла треугольника

Свойство гласит, что внешний угол треугольника при любой вершине равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

В данном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $B$ равен сумме углов $A$ и $C$.

Запишем это в виде формулы:

$ \text{Внешний } \angle B = \angle A + \angle C $

По условию нам известно, что внешний угол при вершине $B$ равен $104^\circ$, а угол $C$ равен $64^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$ 104^\circ = \angle A + 64^\circ $

Чтобы найти угол $A$, выразим его из уравнения:

$ \angle A = 104^\circ - 64^\circ $

$ \angle A = 40^\circ $

Ответ: $40^\circ$.

Способ 2: Через нахождение внутреннего угла B и использование теоремы о сумме углов треугольника

1. Внутренний угол треугольника при вершине $B$ и внешний угол при той же вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Найдем внутренний угол $B$:

$ \angle B = 180^\circ - \text{Внешний } \angle B $

$ \angle B = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ $

2. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ справедливо равенство:

$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $

3. Мы знаем угол $B = 76^\circ$ и угол $C = 64^\circ$. Подставим эти значения и найдем угол $A$:

$ \angle A + 76^\circ + 64^\circ = 180^\circ $

$ \angle A + 140^\circ = 180^\circ $

$ \angle A = 180^\circ - 140^\circ $

$ \angle A = 40^\circ $

Ответ: $40^\circ$.

14. В треугольнике ABC $AB = BC$. Внешний угол при вершине B равен $138^\circ$. Найдите угол C.

Согласно условию, в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$. Это означает, что треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle A = \angle C$.

Существует два способа решения задачи.

Способ 1:
Внешний угол при вершине $B$ и внутренний угол треугольника при той же вершине ($\angle ABC$) являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Найдем внутренний угол $B$:
$\angle ABC = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$.
Сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
Так как $\angle A = \angle C$ и $\angle B = 42^\circ$, получаем:
$\angle C + 42^\circ + \angle C = 180^\circ$
$2 \cdot \angle C = 180^\circ - 42^\circ$
$2 \cdot \angle C = 138^\circ$
$\angle C = \frac{138^\circ}{2} = 69^\circ$.

Способ 2:
По свойству внешнего угла треугольника, внешний угол при одной из вершин равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае внешний угол при вершине $B$ равен сумме углов $A$ и $C$:
Внешний угол $B = \angle A + \angle C$.
Подставляем известные значения:
$138^\circ = \angle A + \angle C$.
Так как треугольник равнобедренный и $\angle A = \angle C$, можно записать:
$138^\circ = \angle C + \angle C$
$138^\circ = 2 \cdot \angle C$
$\angle C = \frac{138^\circ}{2} = 69^\circ$.

Ответ: 69.