Страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какая фигура называется ломаной?

2. Что называется:

а) сторонами;

б) вершинами ломаной?

3. Как обозначается ломаная?

4. Что называется длиной ломаной?

5. Какая ломаная называется:

а) простой;

б) замкнутой?

1. Ломаная — это геометрическая фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединенных друг с другом своими концами. Важным условием является то, что никакие два соседних (смежных) отрезка не должны лежать на одной прямой.
Ответ: Ломаной называется геометрическая фигура, состоящая из последовательности отрезков, где конец предыдущего отрезка является началом следующего, при этом смежные отрезки не лежат на одной прямой.

2. а) сторонами ломаной называют отрезки, из которых она состоит. Эти отрезки также называют звеньями ломаной.
Ответ: Стороны ломаной — это отрезки, образующие ломаную.
б) вершинами ломаной называют концы ее сторон (звеньев). Точки, в которых соединяются стороны, а также начало первой стороны и конец последней, являются вершинами ломаной.
Ответ: Вершины ломаной — это точки, являющиеся концами ее сторон.

3. Ломаную линию принято обозначать, последовательно перечисляя заглавными латинскими буквами все ее вершины. Например, ломаная с вершинами в точках $A$, $B$, $C$ и $D$ будет обозначаться как $ABCD$.
Ответ: Ломаная обозначается путем последовательного перечисления ее вершин.

4. Длиной ломаной называется сумма длин всех ее сторон. Если ломаная, например, $A_1A_2...A_n$, состоит из $n-1$ звеньев, то ее длина $L$ вычисляется по формуле: $L = |A_1A_2| + |A_2A_3| + ... + |A_{n-1}A_n|$.
Ответ: Длина ломаной — это сумма длин всех ее сторон.

5. а) простой ломаная называется, если она не имеет самопересечений. Это означает, что любые ее звенья, не имеющие общей вершины (несмежные), не пересекаются. Пересекаться могут только соседние звенья в их общей вершине.
Ответ: Простая ломаная — это ломаная без самопересечений.
б) замкнутой называется ломаная, у которой начальная и конечная вершины совпадают. Иными словами, это ломаная, у которой начало первого звена совпадает с концом последнего. Такая ломаная образует контур многоугольника.
Ответ: Замкнутая ломаная — это ломаная, у которой ее концы (начало и конец) совпадают.

1. Изобразите замкнутую ломаную с пятью вершинами.

Ломаная — это геометрическая фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединенных в точках, называемых вершинами. Сами отрезки называются звеньями ломаной.

Замкнутая ломаная — это такая ломаная, у которой конечная точка последнего звена совпадает с начальной точкой первого звена. По сути, это многоугольник.

Для того чтобы изобразить замкнутую ломаную с пятью вершинами, необходимо нарисовать фигуру с пятью вершинами и пятью звеньями, где начало и конец линии совпадают. Такая фигура называется пятиугольником. Пятиугольник может быть простым (без самопересечений) или сложным (самопересекающимся).

Пример 1: Простой пятиугольник
Это выпуклый или невыпуклый многоугольник, стороны которого не пересекают друг друга. Самый известный пример — правильный пятиугольник. Обозначим вершины буквами А, Б, В, Г, Д. Звенья будут соединять вершины в последовательности: А-Б, Б-В, В-Г, Г-Д, Д-А.

Пример 2: Сложный (самопересекающийся) пятиугольник
Это ломаная с пятью вершинами, звенья которой пересекаются. Классический пример — пентаграмма или пятиконечная звезда. Вершины те же (А, Б, В, Г, Д), но соединяются они в другом порядке, например: А-В, В-Д, Д-Б, Б-Г, Г-А.

Ответ: Замкнутая ломаная с пятью вершинами представляет собой пятиугольник. Он может быть как простым (без самопересечений), так и сложным, самопересекающимся (в виде звезды), как показано на рисунках выше.

2. Изобразите простую замкнутую ломаную с шестью сторонами.

Простая замкнутая ломаная линия с шестью сторонами — это геометрическая фигура, которая удовлетворяет нескольким условиям. Ломаная линия — фигура, состоящая из последовательно соединенных отрезков, которые называются сторонами. У данной ломаной шесть сторон и, соответственно, шесть вершин. Она замкнутая, то есть ее начальная точка совпадает с конечной, образуя замкнутый контур. Наконец, она простая, что означает отсутствие самопересечений (несоседние стороны не пересекаются).

Фигура, отвечающая всем этим требованиям, является простым шестиугольником. Он может быть как выпуклым, так и невыпуклым (вогнутым).

Чтобы изобразить такую фигуру, нужно отметить на плоскости шесть вершин, например, $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$, и соединить их последовательно отрезками: $[A_1A_2], [A_2A_3], [A_3A_4], [A_4A_5], [A_5A_6]$ и, наконец, замкнуть ломаную отрезком $[A_6A_1]$.

Ниже приведен пример такой ломаной в виде выпуклого шестиугольника.

Также примером может служить невыпуклый (вогнутый) простой шестиугольник.

Ответ: Изображением простой замкнутой ломаной с шестью сторонами является любой простой шестиугольник (выпуклый или невыпуклый), как показано на рисунках выше.

3. Простая ломаная имеет 10 вершин. Сколько у нее сторон?

Ломаная линия (или просто ломаная) — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, соединенных последовательно в точках, называемых вершинами. Сами отрезки являются сторонами (или звеньями) ломаной. В условии указана "простая ломаная", что обычно означает незамкнутую ломаную, у которой начальная и конечная вершины не совпадают и которая не имеет самопересечений.

Для любой простой незамкнутой ломаной существует прямая зависимость между количеством вершин и количеством сторон. Каждая сторона соединяет две соседние вершины. Если мы пронумеруем вершины от 1 до $n$, то первая сторона соединит 1-ю и 2-ю вершины, вторая — 2-ю и 3-ю, и так далее, до последней стороны, которая соединит $(n-1)$-ю и $n$-ю вершины. Таким образом, количество сторон всегда будет на единицу меньше количества вершин.

Обозначим количество вершин как $V$, а количество сторон как $S$. Тогда для простой незамкнутой ломаной справедлива формула: $S = V - 1$.

В условии задачи дано, что ломаная имеет 10 вершин, то есть $V = 10$. Применим формулу для нахождения количества сторон:

$S = 10 - 1 = 9$

Следовательно, у простой ломаной с 10 вершинами будет 9 сторон.

Ответ: 9.

4. Простая замкнутая ломаная имеет 20 сторон. Сколько у нее вершин?

Простая замкнутая ломаная линия — это геометрическая фигура, которая является границей простого многоугольника. По определению, у любого многоугольника количество вершин всегда равно количеству сторон.

Давайте рассмотрим это на общем примере. Пусть у нас есть замкнутая ломаная с $n$ вершинами, которые мы можем обозначить как $V_1, V_2, V_3, \ldots, V_n$.

Стороны ломаной — это отрезки, соединяющие последовательные вершины. Таким образом, у нас есть следующие стороны:

• отрезок, соединяющий $V_1$ и $V_2$ (1-я сторона)
• отрезок, соединяющий $V_2$ и $V_3$ (2-я сторона)
• ...
• отрезок, соединяющий $V_{n-1}$ и $V_n$ ($(n-1)$-я сторона)

Поскольку ломаная является замкнутой, её конечная точка совпадает с начальной. Это означает, что последняя вершина $V_n$ соединена с первой вершиной $V_1$, образуя последнюю, $n$-ю сторону.

Таким образом, для ломаной с $n$ вершинами мы насчитали ровно $n$ сторон. Следовательно, количество вершин равно количеству сторон.

В условии задачи сказано, что у простой замкнутой ломаной 20 сторон. Если количество сторон равно 20, то и количество вершин также будет 20.

Ответ: 20.

5. Укажите, какие фигуры, изображенные на рисунке 1.4, являются простыми ломаными.

Рис. 1.4

Для решения задачи необходимо использовать определение простой ломаной. Ломаная — это фигура, состоящая из последовательно соединенных отрезков (звеньев). Простой называется такая ломаная, которая не имеет самопересечений. Это означает, что ее звенья могут пересекаться только в вершинах, причем в каждой вершине сходится не более двух звеньев. Несоседние звенья не должны иметь общих точек.

Проанализируем каждую фигуру на рисунке 1.4:

Фигура 1: Состоит из двух звеньев, соединенных в одной вершине. Самопересечений нет. Это простая ломаная.

Фигура 2: Состоит из трех последовательно соединенных звеньев. Самопересечений нет. Это простая ломаная.

Фигура 3: Состоит из четырех последовательно соединенных звеньев. Самопересечений нет. Это простая ломаная.

Фигура 4: Эта фигура имеет самопересечение. Вертикальное звено пересекает горизонтальное в точке, которая не является общей вершиной для этих звеньев. Следовательно, это не простая ломаная.

Фигура 5: Эта фигура имеет самопересечение. Горизонтальное звено в середине пересекает правое вертикальное звено. Следовательно, это не простая ломаная.

Фигура 6: Эта фигура имеет самопересечение. Верхнее наклонное звено пересекает нижнее горизонтальное звено. Следовательно, это не простая ломаная.

Фигура 7: Состоит из трех последовательно соединенных звеньев. Самопересечений нет. Это простая ломаная.

Фигура 8: Эта фигура имеет самопересечения. Среднее горизонтальное звено пересекает два вертикальных звена. Следовательно, это не простая ломаная.

Фигура 9: Эта фигура имеет самопересечение. Нижнее наклонное звено пересекает левое вертикальное звено. Следовательно, это не простая ломаная.

Ответ: Простыми ломаными являются фигуры 1, 2, 3, 7.

6. Изобразите замкнутую пятистороннюю ломаную, которая имеет:

а) две точки самопересечения;

б) три точки самопересечения;

в) пять точек самопересечения.

а) Замкнутая пятисторонняя ломаная — это многоугольник с пятью вершинами и пятью сторонами, который может сам себя пересекать. Чтобы получить ломаную с двумя точками самопересечения, можно расположить пять вершин и соединить их в такой последовательности, чтобы одна из сторон пересекла две другие, не смежные с ней. На рисунке ниже изображен пример такой ломаной. Вершины ломаной обозначены черными точками, а точки самопересечения — красными.

Ответ: Изображение представлено выше.

б) Для получения трех точек самопересечения необходимо подобрать такое расположение вершин и порядок их соединения, чтобы образовалось три пересечения несмежных сторон. Это можно представить как треугольник, из вершин которого выходят два "луча", пересекающие друг друга и стороны треугольника. На рисунке показан один из возможных вариантов.

Ответ: Изображение представлено выше.

в) Максимальное число точек самопересечения для пятисторонней ломаной равно пяти. Такая фигура называется пентаграммой или пятиконечной звездой. Она образуется, если соединять вершины правильного пятиугольника через одну. В этом случае каждая сторона ломаной пересекает две другие несмежные стороны. Пять точек пересечения образуют в центре маленький правильный пятиугольник.

Ответ: Изображение представлено выше.

7. Найдите длины ломаных с концами $A$, $B$, изображенных на рисунке 1.5. Стороны клеток равны $1$.

а)

б)

Рис. 1.5

а) Длина ломаной линии равна сумме длин всех ее сегментов. Согласно условию, сторона каждой клетки равна 1. Чтобы найти длину ломаной, изображенной на рисунке а), мы должны посчитать общее количество сторон клеток, по которым проходит линия от точки А до точки B.

Проследим путь от А до B и сложим длины каждого сегмента:

1. Первый вертикальный сегмент вверх: 4 единицы.

2. Горизонтальный сегмент вправо: 4 единицы.

3. Вертикальный сегмент вниз: 3 единицы.

4. Горизонтальный сегмент влево: 3 единицы.

5. Вертикальный сегмент вверх: 2 единицы.

6. Горизонтальный сегмент вправо: 2 единицы.

7. Вертикальный сегмент вниз: 1 единица.

8. Горизонтальный сегмент влево: 1 единица.

Теперь сложим длины всех сегментов: $L_а = 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 20$.

Ответ: 20.

б) Аналогично найдем длину второй ломаной, посчитав сумму длин ее сегментов от точки А до точки B.

Суммируем длины отрезков, составляющих ломаную:

$L_б = 2 (\text{вправо}) + 2 (\text{вверх}) + 1 (\text{вправо}) + 2 (\text{вверх}) + 2 (\text{влево}) + 1 (\text{вниз}) + 2 (\text{влево}) + 2 (\text{вверх}) + 2 (\text{вправо}) + 1 (\text{вниз}) + 2 (\text{вправо}) + 2 (\text{вниз}) + 1 (\text{влево}) + 2 (\text{вниз}) + 2 (\text{вправо})$

Вычислим общую длину: $L_б = 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 26$.

Ответ: 26.