Страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Укажите, какие из представленных на рисунке 2.8 фигур являются:

а) выпуклыми многоугольниками;

1)

3)

б) невыпуклыми многоугольниками.

2)

4)

5)

6)

7)

Рис. 2.8

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, какие из представленных фигур являются многоугольниками, а затем классифицировать их на выпуклые и невыпуклые.

Многоугольник — это плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией. Фигуры 1, 2, 3 и 4 являются многоугольниками. Фигуры 5 и 6 не являются многоугольниками в строгом смысле, так как это области с отверстиями (их граница состоит из нескольких несвязанных частей). Фигура 7 не является многоугольником, так как это незамкнутая линия.

а) выпуклыми многоугольниками

Многоугольник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. Эквивалентное определение: все внутренние углы выпуклого многоугольника меньше $180^\circ$. Также отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника, полностью ему принадлежит.
Проанализируем фигуры, являющиеся многоугольниками:
Фигура 1: Это пятиугольник. Все его внутренние углы меньше $180^\circ$ (три угла по $90^\circ$ и два по $135^\circ$). Следовательно, это выпуклый многоугольник.
Фигура 3: Это треугольник. Любой треугольник является выпуклым многоугольником, так как сумма его углов равна $180^\circ$, а значит, каждый угол меньше $180^\circ$.
Фигуры 2 и 4 имеют внутренние углы, большие $180^\circ$, поэтому они не являются выпуклыми.
Ответ: выпуклыми многоугольниками являются фигуры 1 и 3.

б) невыпуклыми многоугольниками

Многоугольник называется невыпуклым (или вогнутым), если он не является выпуклым. У невыпуклого многоугольника есть хотя бы один внутренний угол, который больше $180^\circ$. Можно провести отрезок между двумя точками внутри такого многоугольника, который будет частично проходить вне его.
Проанализируем фигуры, являющиеся многоугольниками:
Фигура 2: Это шестиугольник. Он имеет один внутренний угол, равный $270^\circ$, что больше $180^\circ$. Следовательно, это невыпуклый многоугольник.
Фигура 4: Это двенадцатиугольник. Он имеет четыре внутренних угла, равных $270^\circ$. Следовательно, это невыпуклый многоугольник.
Фигуры 1 и 3 являются выпуклыми.
Ответ: невыпуклыми многоугольниками являются фигуры 2 и 4.

3. Найдите периметры многоугольников, изображенных на рисунке 2.9. Стороны клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 2.9

а) Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Сторона одной клетки равна 1. Чтобы найти периметр фигуры на рисунке а), нужно посчитать, из скольких сторон клеток состоит ее граница. Будем считать длины сторон по часовой стрелке, начиная с самой длинной нижней стороны:

Первая сторона (нижняя) имеет длину 4 клетки.

Вторая сторона (правая) имеет длину 4 клетки.

Третья сторона (верхняя) имеет длину 2 клетки.

Четвертая сторона (внутренняя, вертикальная) имеет длину 2 клетки.

Пятая сторона (внутренняя, горизонтальная) имеет длину 2 клетки.

Шестая сторона (левая) имеет длину 2 клетки.

Теперь сложим длины всех сторон, чтобы найти периметр $P_a$:

$P_a = 4 + 4 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16$

Ответ: 16.

б) Аналогично найдем периметр второй фигуры, сложив длины всех ее сторон. Будем считать по часовой стрелке, начиная с самой длинной нижней стороны:

Первая сторона (нижняя) имеет длину 6 клеток.

Вторая сторона (правая, нижняя вертикальная) имеет длину 2 клетки.

Третья сторона (внутренняя, правая горизонтальная) имеет длину 2 клетки.

Четвертая сторона (внутренняя, правая вертикальная) имеет длину 2 клетки.

Пятая сторона (верхняя) имеет длину 2 клетки.

Шестая сторона (внутренняя, левая вертикальная) имеет длину 2 клетки.

Седьмая сторона (внутренняя, левая горизонтальная) имеет длину 2 клетки.

Восьмая сторона (левая, нижняя вертикальная) имеет длину 2 клетки.

Сложим длины всех восьми сторон, чтобы найти периметр $P_б$:

$P_б = 6 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20$

Ответ: 20.

4. Являются ли многоугольники, изображенные на рисунке 2.10, правильными?

а)

б)

Рис. 2.10

а) Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой. Чтобы определить, является ли шестиугольник на рисунке а) правильным, необходимо проверить, равны ли все его стороны. Примем длину стороны одной клетки сетки за 1 единицу.

У данного шестиугольника есть две горизонтальные стороны (верхняя и нижняя). Длина каждой из них равна 2 единицам. Остальные четыре стороны являются наклонными. Длину каждой наклонной стороны можно найти по теореме Пифагора. Каждая такая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны 1 единице. Длина наклонной стороны: $c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Таким образом, у шестиугольника есть стороны длиной 2 и стороны длиной $\sqrt{2}$. Поскольку $2 \neq \sqrt{2}$, стороны многоугольника не равны между собой. Так как многоугольник не является равносторонним, он не может быть правильным.

Ответ: Нет, многоугольник на рисунке а) не является правильным, так как не все его стороны равны.

б) Рассмотрим восьмиугольник, изображенный на рисунке б). Аналогично предыдущему пункту, проверим равенство его сторон. Примем сторону клетки за 1 единицу.

У этого восьмиугольника есть четыре стороны, которые параллельны линиям сетки (две горизонтальные и две вертикальные). Длина каждой из этих сторон равна 2 единицам. Также у многоугольника есть четыре наклонные стороны по углам. Длина каждой из них, как и в предыдущем случае, является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами длиной 1. Длина наклонной стороны: $c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Следовательно, у восьмиугольника есть стороны длиной 2 и стороны длиной $\sqrt{2}$. Так как стороны многоугольника не равны между собой ($2 \neq \sqrt{2}$), он не является равносторонним, а значит, и не является правильным.

Ответ: Нет, многоугольник на рисунке б) не является правильным, так как не все его стороны равны.