Страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой четырехугольник называется параллелограммом?

2. Что называется высотой параллелограмма?

3. Чему равна сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне?

4. Что можно сказать о противолежащих сторонах параллелограмма?

5. Что можно сказать о противолежащих углах параллелограмма?

6. Что можно сказать о диагоналях параллелограмма?

1. Какой четырехугольник называется параллелограммом?
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. То есть, если в четырехугольнике ABCD сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD, то данный четырехугольник является параллелограммом.
Ответ: Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

2. Что называется высотой параллелограмма?
Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на прямую, содержащую противолежащую сторону. У параллелограмма, как правило, две разные по длине высоты: одна проведена к одной паре параллельных сторон (оснований), другая — к другой.
Ответ: Перпендикуляр, проведенный из точки одной стороны к прямой, содержащей противолежащую сторону.

3. Чему равна сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне?
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Это объясняется тем, что такие углы являются односторонними внутренними углами при пересечении двух параллельных сторон секущей (которой является третья сторона). Например, для углов $\angle A$ и $\angle B$ параллелограмма ABCD, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Ответ: $180^\circ$.

4. Что можно сказать о противолежащих сторонах параллелограмма?
Противолежащие стороны параллелограмма обладают двумя ключевыми свойствами: они параллельны (это следует из определения параллелограмма) и они равны по длине. Таким образом, в параллелограмме ABCD выполняется: AB || CD и AB = CD, а также BC || AD и BC = AD.
Ответ: Противолежащие стороны параллелограмма равны и параллельны.

5. Что можно сказать о противолежащих углах параллелограмма?
Противолежащие углы параллелограмма равны между собой. В параллелограмме ABCD угол A равен углу C ($\angle A = \angle C$), а угол B равен углу D ($\angle B = \angle D$). Это свойство является прямым следствием параллельности противолежащих сторон.
Ответ: Противолежащие углы параллелограмма равны.

6. Что можно сказать о диагоналях параллелограмма?
Диагонали параллелограмма в точке своего пересечения делятся пополам. Это означает, что точка пересечения является серединой каждой из диагоналей. Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то AO = OC и BO = OD. В общем случае длины диагоналей не равны.
Ответ: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1. У параллелограмма две стороны равны 10 см и 15 см. Чему равны две другие стороны?

1. По определению, параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие (противоположные) стороны равны и параллельны. В задаче даны две стороны с длинами $10$ см и $15$ см. Так как их длины различны, они не могут быть противолежащими друг другу. Следовательно, это две смежные (соседние) стороны.

Пусть одна сторона параллелограмма равна $a = 10$ см, а смежная с ней сторона равна $b = 15$ см.

У параллелограмма всего четыре стороны. Две из них нам известны. Две другие стороны будут противолежать данным.
Сторона, противолежащая стороне $a$, будет также равна $10$ см.
Сторона, противолежащая стороне $b$, будет также равна $15$ см.

Таким образом, две другие стороны параллелограмма равны $10$ см и $15$ см.

Ответ: 10 см и 15 см.

2. Один из углов параллелограмма равен $30^{\circ}$. Чему равны остальные углы?

Для нахождения остальных углов параллелограмма воспользуемся его основными свойствами:
1. Противоположные углы параллелограмма равны.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне (соседних), равна $180^\circ$.

По условию, один из углов равен $30^\circ$.

Согласно свойству 1, угол, противолежащий данному углу, также равен $30^\circ$.

Теперь найдем два других угла. Они являются соседними к углу в $30^\circ$. Согласно свойству 2, каждый из них можно найти, вычтя известный угол из $180^\circ$:
$180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Эти два оставшихся угла также являются противоположными друг другу, поэтому они оба равны $150^\circ$.

Таким образом, если один угол параллелограмма равен $30^\circ$, то остальные три угла равны $30^\circ$, $150^\circ$ и $150^\circ$.

Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 150^\circ$.

3. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы $25^{\circ}$ и $35^{\circ}$. Найдите углы параллелограмма.

Пусть в параллелограмме одна из диагоналей образует с двумя его смежными сторонами углы $25^{\circ}$ и $35^{\circ}$.

Один из углов параллелограмма равен сумме этих двух углов, так как они вместе образуют полный угол при этой вершине.
$25^{\circ} + 35^{\circ} = 60^{\circ}$.
Итак, один из углов параллелограмма равен $60^{\circ}$.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, составляет $180^{\circ}$. Найдем величину соседнего угла:
$180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, у данной фигуры есть два угла по $60^{\circ}$ и два угла по $120^{\circ}$.

Ответ: 60° и 120°.

4. Расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см. Найдите от нее расстояния до двух других вершин.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Основное свойство диагоналей параллелограмма заключается в том, что они точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $O$ является серединой для каждой из диагоналей $AC$ и $BD$.

Из этого свойства следует, что отрезки, соединяющие точку пересечения диагоналей с противолежащими вершинами, равны между собой:

$OA = OC$

$OB = OD$

По условию задачи, расстояния от точки $O$ до двух вершин равны 3 см и 4 см. Поскольку эти расстояния различны, они должны быть до смежных вершин, так как расстояния до противолежащих вершин равны. Пусть это будут расстояния до вершин $A$ и $B$.

Тогда, $OA = 3$ см и $OB = 4$ см.

Нам нужно найти расстояния от точки $O$ до двух других вершин, то есть до $C$ и $D$.

Используя свойство диагоналей:

Расстояние до вершины $C$ равно длине отрезка $OC$. Так как $OC = OA$, то $OC = 3$ см.

Расстояние до вершины $D$ равно длине отрезка $OD$. Так как $OD = OB$, то $OD = 4$ см.

Следовательно, расстояния от точки пересечения диагоналей до двух других вершин также равны 3 см и 4 см.

Ответ: 3 см и 4 см.

5. Может ли высота параллелограмма быть больше:

а) одной из его сторон;

б) всех его сторон?

а) Да, высота параллелограмма может быть больше одной из его сторон.
Рассмотрим параллелограмм со сторонами $a$ и $b$. Пусть $h_a$ — это высота, опущенная на сторону $a$. Эта высота, сторона $b$ и часть стороны $a$ (или ее продолжения) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона $b$ является гипотенузой, а высота $h_a$ — катетом.
По свойству прямоугольного треугольника, катет всегда меньше или равен гипотенузе. Следовательно, $h_a \le b$. Это означает, что высота, опущенная на сторону $a$, не может быть больше стороны $b$.
Однако высота $h_a$ может быть больше стороны $a$. Для этого необходимо, чтобы сторона $b$ была длиннее стороны $a$.
Высота $h_a$ вычисляется по формуле $h_a = b \cdot \sin\alpha$, где $\alpha$ — это угол между сторонами $a$ и $b$. Условие $h_a > a$ можно записать как $b \cdot \sin\alpha > a$.
Например, возьмем параллелограмм со сторонами $a = 4$ см и $b = 5$ см и острым углом между ними $\alpha = 90^\circ$ (то есть это прямоугольник). В этом случае высота, опущенная на сторону $a$, будет равна стороне $b$. То есть $h_a = 5$ см. Так как $5 > 4$, высота $h_a$ больше стороны $a$.
Другой пример: пусть $a = 6$ см, $b = 10$ см, а угол $\alpha = 60^\circ$. Тогда высота $h_a = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$ см. В этом случае $h_a \approx 8.66$ см, что больше стороны $a = 6$ см.
Ответ: Да, может.

б) Нет, высота параллелограмма не может быть больше всех его сторон.
Как было показано в пункте а), для параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ справедливы следующие соотношения для высот $h_a$ (к стороне $a$) и $h_b$ (к стороне $b$):
$h_a \le b$
$h_b \le a$
Эти неравенства верны, потому что высота является катетом в прямоугольном треугольнике, где смежная сторона параллелограмма является гипотенузой.
Чтобы некоторая высота была больше всех сторон, нужно было бы, например, чтобы для высоты $h_a$ одновременно выполнялись два неравенства: $h_a > a$ и $h_a > b$.
Но второе неравенство ($h_a > b$) прямо противоречит доказанному свойству $h_a \le b$. Таким образом, высота $h_a$ не может быть больше стороны $b$. Аналогично, высота $h_b$ не может быть больше стороны $a$.
Следовательно, высота параллелограмма не может быть больше всех его сторон.
Ответ: Нет, не может.

6. Три параллельные прямые пересечены тремя параллельными прямыми (рис. 4.4). Сколько при этом получилось параллелограммов?

Рис. 4.4

Параллелограмм образуется при пересечении двух пар параллельных прямых. В данной задаче есть два семейства по три параллельные прямые в каждом. Чтобы найти общее количество параллелограммов, нужно определить, сколькими способами можно выбрать две прямые из первого семейства и две прямые из второго, а затем перемножить эти значения.

Количество способов выбрать 2 прямые из 3-х доступных вычисляется с помощью формулы сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Для первого семейства (например, горизонтальных прямых) количество способов выбрать 2 прямые из 3-х равно:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$.

Для второго семейства (наклонных прямых) количество способов также равно:
$C_3^2 = 3$.

Общее количество параллелограммов равно произведению числа способов выбора пар прямых из каждого семейства:
$3 \times 3 = 9$.

Ответ: 9.