Страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие условия называют признаками параллелограмма?

2. Сформулируйте первый признак параллелограмма.

3. Сформулируйте второй признак параллелограмма.

1. Какие условия называют признаками параллелограмма?

Признаками параллелограмма называют теоремы, которые устанавливают достаточные условия для того, чтобы четырёхугольник являлся параллелограммом. Иначе говоря, если для некоторого выпуклого четырёхугольника выполняется одно из этих условий (признаков), то можно сделать однозначный вывод, что этот четырёхугольник — параллелограмм. В отличие от свойств, которые присущи любому параллелограмму, признаки позволяют доказать, что фигура является параллелограммом.

Ответ: Признаки параллелограмма — это теоремы, которые содержат достаточные условия, при выполнении которых четырёхугольник является параллелограммом.

2. Сформулируйте первый признак параллелограмма.

В зависимости от учебной программы, первым может считаться один из нескольких признаков. Наиболее часто в качестве первого признака приводят признак по диагоналям.
Теорема (первый признак параллелограмма): Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Например, если в четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и при этом $AO = OC$ и $BO = OD$, то четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

3. Сформулируйте второй признак параллелограмма.

Вторым признаком параллелограмма часто называют признак, основанный на равенстве противолежащих сторон.
Теорема (второй признак параллелограмма): Если в четырёхугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Например, если в четырёхугольнике $ABCD$ выполняются равенства $AB = CD$ и $BC = DA$, то четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Если в четырёхугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

1. На сторонах параллелограмма $ABCD$ (рис. 5.3) отложены равные отрезки $AE = CF$. Является ли четырехугольник $BFDE$ параллелограммом?

Рис. 5.3

Да, четырехугольник BFDE является параллелограммом. Для доказательства воспользуемся одним из признаков параллелограмма.

По условию, четырехугольник ABCD является параллелограммом. Из этого следует, что его противоположные стороны равны и параллельны. В частности, сторона AB параллельна стороне CD и равна ей по длине:

$AB \parallel CD$ и $AB = CD$.

Рассмотрим четырехугольник BFDE. Его стороны BE и DF лежат на прямых AB и CD соответственно. Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны, то и отрезки BE и DF, лежащие на этих прямых, также параллельны:

$BE \parallel DF$.

Теперь найдем длины этих отрезков. Точка E лежит на стороне AB, поэтому длина отрезка BE вычисляется как $BE = AB - AE$. Аналогично, точка F лежит на стороне CD, и длина отрезка DF равна $DF = CD - CF$.

По условию задачи дано, что $AE = CF$. Подставим это равенство, а также равенство сторон $AB = CD$ в выражение для длины DF:

$DF = CD - CF = AB - AE$.

Таким образом, мы получили, что $BE = DF$.

Мы доказали, что в четырехугольнике BFDE две противоположные стороны, BE и DF, равны ($BE = DF$) и параллельны ($BE \parallel DF$). Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Следовательно, BFDE является параллелограммом.

Ответ: Да, является.

2. В параллелограмме $ABCD$ проведены параллельные прямые $AE$ и $CF$ (рис. 5.4). Будет ли четырехугольник $AECF$ параллелограммом?

Рис. 5.4

Да, четырехугольник $AECF$ будет являться параллелограммом. Вот развернутое доказательство этого факта.

Рассмотрим четырехугольник $AECF$. Чтобы доказать, что он является параллелограммом, достаточно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны.

1. Рассмотрим стороны $AF$ и $EC$.По условию, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, следовательно, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$).Точка $F$ лежит на стороне $AD$, а точка $E$ — на стороне $BC$. Это означает, что отрезок $AF$ является частью прямой $AD$, а отрезок $EC$ — частью прямой $BC$.Так как прямые $AD$ и $BC$ параллельны, то и их части — отрезки $AF$ и $EC$ — также параллельны. Таким образом, $AF \parallel EC$.

2. Рассмотрим стороны $AE$ и $CF$.По условию задачи дано, что прямые $AE$ и $CF$ параллельны. Следовательно, $AE \parallel CF$.

Мы получили, что в четырехугольнике $AECF$ обе пары противоположных сторон параллельны: $AF \parallel EC$ и $AE \parallel CF$.

Согласно признаку параллелограмма, если у четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Значит, $AECF$ — параллелограмм.

Ответ: Да, четырехугольник $AECF$ будет параллелограммом.

3. Дан параллелограмм $ABCD$ (рис. $5.5$). $E, F, G, H$ — середины его сторон. Будет ли четырехугольник $EFGH$ параллелограммом? Почему?

Да, четырехугольник EFGH будет параллелограммом.

Почему?

Чтобы доказать, что четырехугольник EFGH является параллелограммом, воспользуемся свойством средней линии треугольника и признаком параллелограмма.

1. Проведем диагональ AC в исходном параллелограмме ABCD. Эта диагональ делит параллелограмм на два треугольника: ▵ABC и ▵ADC.

2. Рассмотрим треугольник ▵ABC. По условию, точка H — середина стороны AB, а точка E — середина стороны BC. Следовательно, отрезок HE является средней линией треугольника ▵ABC. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит:
$HE \parallel AC$ и $HE = \frac{1}{2}AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник ▵ADC. По условию, точка G — середина стороны AD, а точка F — середина стороны CD. Следовательно, отрезок GF является средней линией треугольника ▵ADC. По тому же свойству:
$GF \parallel AC$ и $GF = \frac{1}{2}AC$.

4. Из пунктов 2 и 3 мы получили, что $HE \parallel AC$ и $GF \parallel AC$. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Таким образом, $HE \parallel GF$.

5. Также из пунктов 2 и 3 мы получили, что $HE = \frac{1}{2}AC$ и $GF = \frac{1}{2}AC$. Следовательно, $HE = GF$.

6. Мы установили, что в четырехугольнике EFGH две противоположные стороны, HE и GF, одновременно и параллельны, и равны. По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, четырехугольник EFGH — параллелограмм.

Ответ: Да, четырехугольник EFGH будет параллелограммом. Это верно для любого выпуклого четырехугольника (Теорема Вариньона) и, в частности, для параллелограмма. Доказательство основано на том, что противоположные стороны четырехугольника EFGH (например, HE и GF) параллельны и равны, так как они обе являются средними линиями треугольников (▵ABC и ▵ADC соответственно), параллельны одной и той же диагонали (AC) и равны ее половине.

4. На сторонах параллелограмма $ABCD$ (рис. 5.6) отложены две пары равных отрезков: $BE = DG$ и $BF = DH$. Будет ли четырехугольник $EFGH$ параллелограммом? Почему?

Рис. 5.6

Да, четырехугольник EFGH будет параллелограммом.

Почему?

Для доказательства этого утверждения воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Докажем, что $EF = GH$ и $EH = FG$.

1. Рассмотрим треугольники $ΔEBF$ и $ΔGDH$.
По условию дано, что $ABCD$ — параллелограмм. Одним из свойств параллелограмма является равенство его противолежащих углов. Следовательно, $∠B = ∠D$.
Также по условию задачи нам даны равенства отрезков:
- $BE = DG$
- $BF = DH$
Таким образом, треугольники $ΔEBF$ и $ΔGDH$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон, значит, $EF = GH$.

2. Рассмотрим треугольники $ΔHAE$ и $ΔFCG$.
По свойству параллелограмма $ABCD$, его противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $AD = BC$), а противолежащие углы равны ($∠A = ∠C$).
Найдем длины сторон $AE$ и $CG$.
$AE = AB - BE$
$CG = CD - DG$
Поскольку $AB = CD$ и $BE = DG$ (по условию), то $AE = CG$.
Теперь найдем длины сторон $AH$ и $CF$.
$AH = AD - DH$
$CF = BC - BF$
Поскольку $AD = BC$ и $DH = BF$ (по условию), то $AH = CF$.
Таким образом, треугольники $ΔHAE$ и $ΔFCG$ равны по двум сторонам ($AE = CG$ и $AH = CF$) и углу между ними ($∠A = ∠C$).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон, значит, $EH = FG$.

Итак, мы доказали, что в четырехугольнике $EFGH$ противолежащие стороны попарно равны: $EF = GH$ и $EH = FG$. Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $EFGH$ является параллелограммом.

Ответ: Да, четырехугольник EFGH будет параллелограммом.