Страница 23 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Постройте параллелограмм по:

а) двум сторонам и диагонали;

б) стороне и двум диагоналям.

а) двум сторонам и диагонали

Пусть даны отрезки $a$ и $b$ - длины двух смежных сторон параллелограмма, и отрезок $d$ - длина его диагонали, соединяющей вершины между этими сторонами. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Это свойство мы и используем для построения.

Алгоритм построения:

1. Строим треугольник $ABC$ по трем сторонам: $AB = a$, $BC = b$ и $AC = d$. Для этого начертим прямую, отметим на ней точку $A$. С помощью циркуля отложим от точки $A$ отрезок $AB$ длиной $a$. Затем из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом $d$, а из точки $B$ - дугу радиусом $b$. Точка пересечения этих дуг даст нам вершину $C$. Соединим точки, получив треугольник $ABC$. (Построение возможно, если длины отрезков удовлетворяют неравенству треугольника: $a+b>d$, $a+d>b$ и $b+d>a$).

2. Теперь необходимо найти четвертую вершину $D$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому сторона $AD$ должна быть равна стороне $BC$ (то есть $b$), а сторона $CD$ должна быть равна стороне $AB$ (то есть $a$).

3. Из вершины $C$ проводим дугу окружности радиусом $a$. Из вершины $A$ проводим дугу окружности радиусом $b$. Точка пересечения этих дуг, лежащая с другой стороны от диагонали $AC$ нежели точка $B$, будет искомой вершиной $D$.

4. Соединим отрезками вершины $A$ с $D$ и $C$ с $D$.

Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом. По построению, его противолежащие стороны попарно равны ($AB=CD=a$ и $BC=AD=b$), следовательно, это параллелограмм. Его стороны равны $a$ и $b$, а одна из диагоналей равна $d$.

Ответ: Построение заключается в построении треугольника по трем заданным отрезкам (две стороны и диагональ), а затем построении второго, равного ему, треугольника с общей стороной (диагональю).

б) стороне и двум диагоналям

Пусть даны отрезок $a$ - длина стороны, и отрезки $d_1$ и $d_2$ - длины двух диагоналей. Воспользуемся ключевым свойством параллелограмма: его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Пусть искомый параллелограмм - $ABCD$, его сторона $AB=a$, диагонали $AC=d_1$ и $BD=d_2$, а точка их пересечения - $O$. Тогда в треугольнике $AOB$ стороны будут равны $AB=a$, $AO = \frac{1}{2}d_1$ и $BO = \frac{1}{2}d_2$. Построение этого треугольника является основой решения задачи.

Алгоритм построения:

1. С помощью циркуля и линейки разделим отрезки, задающие диагонали $d_1$ и $d_2$, пополам. Получим отрезки длиной $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

2. Построим треугольник $AOB$ по трем сторонам: $AB=a$, $AO=\frac{d_1}{2}$ и $BO=\frac{d_2}{2}$. Для этого отложим отрезок $AB$ длиной $a$. Из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом $\frac{d_1}{2}$, а из точки $B$ - дугу окружности радиусом $\frac{d_2}{2}$. Точка их пересечения будет точкой $O$ - центром параллелограмма. (Построение возможно, если выполняется неравенство треугольника: $\frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} > a$, то есть $d_1+d_2 > 2a$).

3. Теперь найдем недостающие вершины $C$ и $D$. Для этого продолжим отрезки $AO$ и $BO$ за точку $O$.

4. На луче $AO$ отложим от точки $O$ отрезок $OC$, равный $AO$. Получим вершину $C$.

5. На луче $BO$ отложим от точки $O$ отрезок $OD$, равный $BO$. Получим вершину $D$.

6. Соединим точки $A, B, C, D$ последовательно отрезками.

Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом. По построению, его диагонали $AC = AO+OC = 2 \cdot AO = d_1$ и $BD = BO+OD = 2 \cdot BO = d_2$ пересекаются и делятся точкой $O$ пополам, что является достаточным признаком параллелограмма. При этом одна из его сторон $AB$ равна $a$, а диагонали равны $d_1$ и $d_2$.

Ответ: Построение основано на свойстве диагоналей параллелограмма делиться точкой пересечения пополам, что позволяет сначала построить треугольник, образованный заданной стороной и половинами диагоналей, а затем достроить его до полного параллелограмма путем удвоения отрезков от вершин до точки пересечения диагоналей.

20. Изобразите четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны. Будет ли этот четырехугольник параллелограммом?

Изобразите четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

Чтобы изобразить такой четырехугольник, назовем его ABCD, нужно выполнить следующие шаги:
1. Начертить на плоскости произвольный отрезок AB.
2. Выбрать любую точку C, не лежащую на прямой AB.
3. Через точку C провести прямую, параллельную прямой AB.
4. На этой параллельной прямой отложить от точки C отрезок CD, длина которого равна длине отрезка AB. Направление отрезка CD должно быть таким же, как у AB (если мысленно представить векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$, они должны быть сонаправлены).
5. Соединить точки A и D.
Полученный четырехугольник ABCD и будет искомым, так как по построению его стороны BC и AD равны и параллельны (или AB и CD, в зависимости от обозначения вершин). Визуально такая фигура будет выглядеть как параллелограмм.

Ответ: Построение четырехугольника описано выше. В результате построения всегда получается параллелограмм.

Будет ли этот четырехугольник параллелограммом?

Да, такой четырехугольник всегда будет параллелограммом. Это один из основных признаков параллелограмма. Докажем это утверждение.

Теорема (признак параллелограмма): Если в выпуклом четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано:
ABCD — четырехугольник.
$AB = CD$ и $AB \parallel CD$.

Доказать:
ABCD — параллелограмм.

Доказательство:
1. Проведем диагональ AC, которая разделит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.
2. Рассмотрим эти треугольники:
• $AB = CD$ по условию задачи.
• $AC$ — общая сторона для обоих треугольников.
• Угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DCA$ ($\angle BAC = \angle DCA$), так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.
3. Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle CDA$ ($\triangle ABC = \triangle CDA$) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
4. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. Значит, угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DAC$ ($\angle BCA = \angle DAC$).
5. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$) по признаку параллельности двух прямых.
6. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ (по условию) и $BC \parallel AD$ (по доказанному).
7. Согласно определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Да, такой четырехугольник будет являться параллелограммом.

21. Изобразите четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны. Будет ли этот четырехугольник параллелограммом?

Изобразите четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны.

Представим четырехугольник $ABCD$. Согласно условию, его противолежащие стороны попарно равны. Это означает, что длина стороны $AB$ равна длине стороны $CD$, а длина стороны $BC$ равна длине стороны $DA$.

Математически это записывается так: $AB = CD$ и $BC = DA$.

Визуально такой четырехугольник представляет собой параллелограмм.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$, для которого выполняются равенства $AB = CD$ и $BC = DA$.

Будет ли этот четырехугольник параллелограммом?

Да, такой четырехугольник всегда будет являться параллелограммом. Это утверждение является одним из признаков параллелограмма. Приведем доказательство.

Дано: Четырехугольник $ABCD$, в котором $AB = CD$ и $BC = DA$.
Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:
1. Проведем диагональ $AC$. Она разделит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

2. Рассмотрим эти два треугольника. У них:
- $AB = CD$ (по условию),
- $BC = DA$ (по условию),
- $AC$ — общая сторона.

3. Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит:
- $\angle BCA = \angle DAC$,
- $\angle BAC = \angle DCA$.

5. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ ($BC \parallel AD$).

6. Аналогично, углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как эти углы равны, то прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$).

7. Мы доказали, что у четырехугольника $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$). По определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Да, будет. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.