Страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, диагонали пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите диагонали прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD, где AB – меньшая сторона, равная $5 \text{ см}$. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD$ и $AO = OC = BO = OD$.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как $AO = BO$, этот треугольник является равнобедренным.

Диагонали пересекаются под углом $60^\circ$. Это означает, что один из углов при вершине O равен $60^\circ$, а смежный с ним угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Меньшая сторона прямоугольника лежит напротив меньшего угла, образованного диагоналями. Следовательно, угол $\angle AOB$, который лежит напротив стороны AB, равен $60^\circ$.

Таким образом, треугольник AOB — равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$. Найдем углы при основании AB: $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла треугольника AOB равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому $AO = BO = AB$.

Так как по условию меньшая сторона $AB = 5 \text{ см}$, то и половины диагоналей равны $5 \text{ см}$: $AO = 5 \text{ см}$ и $BO = 5 \text{ см}$.

Длина всей диагонали AC равна сумме длин ее половин: $AC = AO + OC = 2 \cdot AO$. $AC = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

Поскольку диагонали прямоугольника равны, $AC = BD = 10 \text{ см}$.

Ответ: диагонали прямоугольника равны $10 \text{ см}$.

5. Изобразите какой-нибудь прямоугольник $ABCD$, одна сторона которого показана на рисунке 6.5.

Рис. 6.5

Чтобы построить прямоугольник на клетчатой бумаге, нужно воспользоваться свойством перпендикулярности его смежных сторон. Если одна сторона задана смещением на $a$ клеток по горизонтали и $b$ клеток по вертикали (что можно представить как вектор $(a, b)$), то смежная с ней сторона должна быть перпендикулярна ей. На клетчатой бумаге это соответствует смещению на $b$ клеток по горизонтали и $a$ клеток по вертикали, причем направление одного из смещений меняется на противоположное. То есть, вектору $(a, b)$ будут перпендикулярны векторы $(-b, a)$ и $(b, -a)$. Для каждого из рисунков существует два возможных решения, мы приведем по одному.

На левом рисунке дана сторона $AB$. Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $B$, необходимо сместиться на 4 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Этому смещению соответствует вектор $\vec{v}_{AB} = (4, 2)$.

Для построения смежной стороны $AD$ нам нужен вектор, перпендикулярный вектору $\vec{v}_{AB}$. Таким вектором может быть, например, $\vec{v}_{AD} = (-2, 4)$. Это соответствует смещению на 2 клетки влево и 4 клетки вверх.

1. От точки $A$ откладываем вектор $\vec{v}_{AD} = (-2, 4)$: смещаемся на 2 клетки влево и 4 клетки вверх, чтобы найти положение вершины $D$.

2. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{DC} = \vec{AB}$. Чтобы найти вершину $C$, можно отложить вектор $\vec{v}_{AD}$ от точки $B$ (сместиться на 2 клетки влево и 4 клетки вверх) или отложить вектор $\vec{v}_{AB}$ от точки $D$ (сместиться на 4 клетки вправо и 2 клетки вверх). Оба способа приведут к одной и той же точке $C$.

3. Соединяем точки $A, B, C, D$ и получаем искомый прямоугольник.

Ответ: Чтобы достроить прямоугольник $ABCD$ на левом рисунке, нужно от точки $A$ отступить 2 клетки влево и 4 клетки вверх, чтобы получить точку $D$. Затем от точки $B$ также отступить 2 клетки влево и 4 клетки вверх, чтобы получить точку $C$. Соединить вершины $A, B, C, D$.

На правом рисунке дана сторона $AD$. Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $D$, необходимо сместиться на 1 клетку влево и на 3 клетки вверх. Этому смещению соответствует вектор $\vec{v}_{AD} = (-1, 3)$.

Для построения смежной стороны $AB$ нам нужен вектор, перпендикулярный вектору $\vec{v}_{AD}$. Таким вектором может быть, например, $\vec{v}_{AB} = (3, 1)$. Это соответствует смещению на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх.

1. От точки $A$ откладываем вектор $\vec{v}_{AB} = (3, 1)$: смещаемся на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, чтобы найти положение вершины $B$.

2. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны, поэтому $\vec{DC} = \vec{AB}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$. Чтобы найти вершину $C$, можно отложить вектор $\vec{v}_{AB}$ от точки $D$ (сместиться на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх) или отложить вектор $\vec{v}_{AD}$ от точки $B$ (сместиться на 1 клетку влево и 3 клетки вверх). Оба способа приведут к одной и той же точке $C$.

3. Соединяем точки $A, B, C, D$ и получаем искомый прямоугольник.

Ответ: Чтобы достроить прямоугольник $ABCD$ на правом рисунке, нужно от точки $A$ отступить 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, чтобы получить точку $B$. Затем от точки $D$ также отступить 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, чтобы получить точку $C$. Соединить вершины $A, B, C, D$.

6. Изобразите какой-нибудь прямоугольник $ABCD$, диагональ $AC$ которого показана на рисунке 6.6.

a)

б)

Рис. 6.6

а)

Для построения прямоугольника $ABCD$ по его диагонали $AC$ необходимо найти положения вершин $B$ и $D$. Основное свойство прямоугольника — все его углы прямые. В частности, углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ должны быть равны $90^\circ$. Геометрически это означает, что вершины $B$ и $D$ должны лежать на окружности, диаметром которой является отрезок $AC$.

Существует бесконечное множество прямоугольников с заданной диагональю. Мы построим самый простой для изображения на клетчатой бумаге — тот, у которого стороны параллельны линиям сетки.

Проанализируем взаимное расположение точек $A$ и $C$. Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $C$, нужно сдвинуться на 3 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Длины проекций диагонали на горизонтальную и вертикальную оси равны 3 и 2 клеткам соответственно. Эти длины и будут длинами сторон искомого прямоугольника.

Чтобы найти вершины $B$ и $D$, можно поступить следующим образом. Вершина $B$ должна находиться на той же вертикальной линии, что и вершина $A$, и на той же горизонтальной линии, что и вершина $C$. Вершина $D$, наоборот, должна находиться на той же горизонтальной линии, что и $A$, и на той же вертикальной, что и $C$. Соединив последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$, мы получим прямоугольник со сторонами, параллельными линиям сетки.

Ответ: Искомый прямоугольник $ABCD$ можно построить так, чтобы его стороны были параллельны линиям сетки. Вершина $B$ находится на пересечении вертикальной линии, проходящей через $A$, и горизонтальной линии, проходящей через $C$. Вершина $D$ находится на пересечении горизонтальной линии, проходящей через $A$, и вертикальной линии, проходящей через $C$.

б)

В этом случае диагональ $AC$ является горизонтальным отрезком длиной в 4 клетки. Диагонали прямоугольника равны по длине и в точке пересечения делятся пополам. Обозначим середину диагонали $AC$ буквой $M$. Эта точка находится на расстоянии 2 клеток как от $A$, так и от $C$.

Вторая диагональ $BD$ также должна проходить через точку $M$, и ее длина должна быть равна 4 клеткам. Это означает, что точки $B$ и $D$ должны быть удалены от точки $M$ на расстояние 2 клетки и лежать на одной прямой, проходящей через $M$.

Заметим, что в данном случае прямоугольник со сторонами, параллельными линиям сетки, построить невозможно, так как он "схлопнется" в отрезок $AC$. Следовательно, стороны искомого прямоугольника будут наклонены к линиям сетки.

Самый простой для построения вариант — это когда диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. В этом случае фигура $ABCD$ будет являться квадратом, что является частным случаем прямоугольника. Так как диагональ $AC$ горизонтальна, то перпендикулярная ей диагональ $BD$ будет вертикальной. Для ее построения мы находим середину $M$ отрезка $AC$ и проводим через нее вертикальную прямую. Затем на этой прямой откладываем от точки $M$ вверх 2 клетки, чтобы получить вершину $B$, и вниз 2 клетки, чтобы получить вершину $D$.

Ответ: Один из возможных прямоугольников — это квадрат, у которого вторая диагональ $BD$ перпендикулярна данной диагонали $AC$. Для его построения нужно найти середину отрезка $AC$, а затем отложить от нее по вертикали вверх и вниз по 2 клетки, чтобы найти соответственно вершины $B$ и $D$.

7. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении $1:2$, меньшая его сторона равна 5 см. Найдите диагонали данного прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник. Все его углы равны 90°. Диагональ делит один из этих углов в отношении 1:2. Найдем величины получившихся углов. Пусть один угол равен $x$, а второй $2x$. Их сумма равна углу прямоугольника:
$x + 2x = 90°$
$3x = 90°$
$x = 30°$
Следовательно, диагональ делит прямой угол на два угла: 30° и 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется диагональю и двумя сторонами прямоугольника. Углы этого треугольника будут равны 90°, 30° и $180° - 90° - 30° = 60°$.
Катетами этого треугольника являются стороны прямоугольника, а гипотенузой — его диагональ.

В любом треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Таким образом, меньшая сторона прямоугольника (которая является катетом в нашем треугольнике) лежит напротив меньшего острого угла, то есть напротив угла в 30°.
По условию задачи, длина меньшей стороны равна 5 см.

В прямоугольном треугольнике есть свойство: катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, меньшая сторона (катет) равна 5 см, а гипотенуза является диагональю прямоугольника. Обозначим длину диагонали как $d$.
Получаем уравнение:
$5 = \frac{1}{2} \cdot d$
Отсюда находим длину диагонали:
$d = 5 \cdot 2 = 10$ см.

В прямоугольнике диагонали равны между собой, следовательно, длина каждой диагонали составляет 10 см.

Ответ: 10 см.

8. Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Какие углы образуют диагонали со сторонами прямоугольника?

Пусть дан прямоугольник, у которого одна из сторон равна $a$, а диагональ равна $d$. Согласно условию задачи, диагональ вдвое больше этой стороны, то есть $d = 2a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя смежными сторонами прямоугольника и его диагональю. В этом треугольнике стороны прямоугольника являются катетами, а диагональ — гипотенузой. Пусть катет, противолежащий одному из острых углов (назовем его $\alpha$), равен $a$, а гипотенуза равна $d = 2a$.

Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Для угла $\alpha$ получаем:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{d} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, — это угол в $30^\circ$. Таким образом, один из углов, который диагональ образует со стороной, равен $30^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Пусть второй острый угол, который диагональ образует с другой стороной, равен $\beta$. Тогда:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Следовательно, диагональ образует со сторонами прямоугольника углы $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.

9. Тупой угол между диагоналями прямоугольника равен $120^\circ$. Чему при этом будет равно отношение его меньшей стороны к диагонали?

Пусть дан прямоугольник, диагонали которого пересекаются в точке O. По свойствам прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим длину диагонали как $d$. Тогда половина каждой диагонали будет равна $d/2$.

Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника. Рассмотрим два из них, имеющих общую вершину в точке O. Эти треугольники являются равнобедренными, так как их боковые стороны — это половины диагоналей, то есть они равны $d/2$.

При пересечении диагоналей образуются две пары вертикальных углов. Одна пара — острые углы, другая — тупые. По условию, тупой угол равен $120^\circ$. Пусть это будет угол между половинами диагоналей, противолежащий большей стороне прямоугольника.

Соответственно, острый угол между диагоналями будет равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Этот угол будет противолежать меньшей стороне прямоугольника.

Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника (обозначим ее $a$) и двумя половинами диагоналей. Этот треугольник равнобедренный, и угол между равными сторонами (половинами диагоналей) равен $60^\circ$.

Найдем углы при основании этого треугольника. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:$(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла в этом треугольнике равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника $a$ равна половине диагонали $d/2$:

$a = d/2$

Теперь найдем отношение меньшей стороны к диагонали:

$\frac{a}{d} = \frac{d/2}{d} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

10. Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен 34 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 30 см.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, а его диагональ равна d.

Периметр прямоугольника $P_{прямоугольника}$ вычисляется по формуле $P_{прямоугольника} = 2(a + b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 34 см.

$2(a + b) = 34$

Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму длин смежных сторон прямоугольника:

$a + b = 17$ см.

Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Сторонами каждого такого треугольника являются две смежные стороны прямоугольника (катеты a и b) и его диагональ (гипотенуза d).

Периметр одного из этих треугольников, по условию, равен 30 см. Периметр этого треугольника $P_{треугольника}$ равен сумме длин его сторон:

$P_{треугольника} = a + b + d = 30$ см.

Теперь у нас есть значение суммы $a + b = 17$. Подставим это значение в выражение для периметра треугольника:

$17 + d = 30$

Отсюда найдем длину диагонали d:

$d = 30 - 17$

$d = 13$ см.

В прямоугольнике диагонали равны между собой. Следовательно, обе диагонали имеют длину 13 см.

Ответ: 13 см.

11. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (рис. 6.7) из вершины прямого угла $C$ опущена высота $CH$, равная 3 см. Из точки $H$ опущены перпендикуляры $HD$ и $HE$ на катеты треугольника. Найдите расстояние между точками $D$ и $E$.

Рис. 6.7

Рассмотрим четырехугольник CDHE. По условию задачи, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C, то есть $∠ACB = 90°$.

Из точки H на катеты AC и BC опущены перпендикуляры HD и HE соответственно. Это означает, что $HD ⊥ AC$ и $HE ⊥ BC$.

Из перпендикулярности следуют прямые углы: $∠CDH = 90°$ и $∠CEH = 90°$.

Таким образом, в четырехугольнике CDHE мы имеем три прямых угла: $∠DCE = 90°$, $∠CDH = 90°$ и $∠CEH = 90°$.

Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360°$. Найдем четвертый угол $∠DHE$:

$∠DHE = 360° - ∠DCE - ∠CDH - ∠CEH = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°$.

Поскольку все четыре угла в четырехугольнике CDHE прямые, он является прямоугольником.

Одним из ключевых свойств прямоугольника является то, что его диагонали равны по длине. В прямоугольнике CDHE диагоналями являются отрезки DE и CH.

Следовательно, их длины равны: $DE = CH$.

По условию задачи, высота CH равна 3 см.

Значит, расстояние между точками D и E равно длине высоты CH, то есть 3 см.

Ответ: 3 см.