Страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см и 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

1. Пусть дан треугольник со сторонами $a = 8$ см, $b = 10$ см и $c = 12$ см. Новый треугольник, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника, называется срединным треугольником. Его стороны являются средними линиями исходного треугольника.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Следовательно, чтобы найти длины сторон нового треугольника, нужно разделить длины сторон исходного треугольника на 2.

Вычислим длины сторон нового треугольника:
Первая сторона: $s_1 = \frac{8}{2} = 4$ см.
Вторая сторона: $s_2 = \frac{10}{2} = 5$ см.
Третья сторона: $s_3 = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: стороны нового треугольника равны 4 см, 5 см и 6 см.

2. Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см. Его вершины являются серединами сторон другого треугольника. Найдите периметры обоих треугольников.

Пусть первый треугольник (назовем его $T_1$) имеет стороны $a_1 = 2$ см, $b_1 = 3$ см и $c_1 = 4$ см.
Пусть второй треугольник (назовем его $T_2$) — это треугольник, для которого вершины $T_1$ являются серединами его сторон.
Требуется найти периметры обоих треугольников, $P_1$ и $P_2$.

Нахождение периметра первого треугольника ($T_1$)
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Для треугольника $T_1$ периметр $P_1$ вычисляется следующим образом:
$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 2 + 3 + 4 = 9$ см.
Ответ: периметр первого треугольника равен 9 см.

Нахождение периметра второго треугольника ($T_2$)
По условию, вершины треугольника $T_1$ являются серединами сторон треугольника $T_2$. Это означает, что стороны треугольника $T_1$ являются средними линиями для треугольника $T_2$.
Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине.
Это значит, что каждая сторона треугольника $T_2$ в два раза больше соответствующей ей средней линии (которая является стороной треугольника $T_1$).
Найдем стороны треугольника $T_2$ ($a_2, b_2, c_2$):
$a_2 = 2 \cdot a_1 = 2 \cdot 2 = 4$ см
$b_2 = 2 \cdot b_1 = 2 \cdot 3 = 6$ см
$c_2 = 2 \cdot c_1 = 2 \cdot 4 = 8$ см
Теперь вычислим периметр $P_2$ треугольника $T_2$:
$P_2 = a_2 + b_2 + c_2 = 4 + 6 + 8 = 18$ см.
Периметр $T_2$ также можно найти, зная, что он в два раза больше периметра $T_1$:
$P_2 = 2 \cdot P_1 = 2 \cdot 9 = 18$ см.
Ответ: периметр второго треугольника равен 18 см.

3. Периметр равностороннего треугольника равен 72 см. Найдите его среднюю линию.

Поскольку треугольник равносторонний, все его стороны равны. Периметр ($P$) — это сумма длин всех сторон. Если обозначить длину стороны как $a$, то для равностороннего треугольника формула периметра будет $P = 3a$.

Из условия задачи известно, что $P = 72$ см. Найдем длину стороны треугольника:
$3a = 72$
$a = 72 \div 3$
$a = 24$ см

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. По теореме о средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Найдем длину средней линии ($m$):
$m = \frac{a}{2}$
$m = \frac{24}{2}$
$m = 12$ см

Ответ: 12 см.

4. Периметр треугольника равен 15 см. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного какой-нибудь его средней линией.

Пусть стороны данного треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, периметр этого треугольника $P$ равен 15 см. Периметр — это сумма длин всех сторон:

$P = a + b + c = 15$ см.

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В любом треугольнике можно провести три средние линии. Возьмем любую из них. Например, среднюю линию, которая соединяет середины сторон $a$ и $b$.

Эта средняя линия отсекает от исходного треугольника новый, меньший треугольник. Найдем длины сторон этого отсеченного треугольника.

Две стороны отсеченного треугольника являются половинами сторон $a$ и $b$ исходного треугольника, так как они идут от вершины до середины стороны. Их длины равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$.

Третья сторона отсеченного треугольника — это сама средняя линия. Согласно теореме о средней линии, она параллельна третьей стороне исходного треугольника (в нашем случае, стороне $c$) и равна ее половине. Таким образом, длина средней линии равна $\frac{c}{2}$.

Теперь мы можем найти периметр $P_{отс}$ отсеченного треугольника, сложив длины всех его сторон:

$P_{отс} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$P_{отс} = \frac{1}{2}(a + b + c)$

Мы знаем, что сумма $a + b + c$ — это периметр исходного треугольника, который равен 15 см. Подставим это значение в нашу формулу:

$P_{отс} = \frac{1}{2} \times 15 = 7,5$ см.

Таким образом, периметр треугольника, отсекаемого средней линией, всегда равен половине периметра исходного треугольника.

Ответ: 7,5 см.

5. Стороны треугольника относятся как 3 : 4 : 5, периметр его равен 60 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Задача решается в два этапа. Сначала найдем стороны исходного треугольника, а затем, используя свойство средней линии треугольника, найдем стороны искомого треугольника.

1. Нахождение сторон исходного треугольника
Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, их длины относятся как $3:4:5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда стороны треугольника можно выразить как:
$a = 3x$
$b = 4x$
$c = 5x$
Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. По условию, периметр равен 60 см. Составим и решим уравнение:
$3x + 4x + 5x = 60$
$12x = 60$
$x = \frac{60}{12}$
$x = 5$
Теперь можем найти длины сторон исходного треугольника, подставив значение $x$:
$a = 3 \cdot 5 = 15$ см
$b = 4 \cdot 5 = 20$ см
$c = 5 \cdot 5 = 25$ см
Итак, стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см.

2. Нахождение сторон нового треугольника
Новый треугольник образован соединением середин сторон данного треугольника. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. По теореме о средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Следовательно, стороны нового треугольника (обозначим их $a'$, $b'$, $c'$) будут равны половинам сторон исходного треугольника:
$a' = \frac{a}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$ см
$b' = \frac{b}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см
$c' = \frac{c}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$ см

Ответ: стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равны 7,5 см, 10 см и 12,5 см.

6. Докажите, что средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Пусть его стороны равны $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Отметим на сторонах этого треугольника точки $D$, $E$ и $F$, которые являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

Соединив эти точки, мы получим три отрезка: $DE$, $EF$ и $FD$. Эти отрезки являются средними линиями треугольника $\triangle ABC$. Они разделяют исходный треугольник на четыре меньших треугольника: $\triangle AFE$, $\triangle FBD$, $\triangle EDC$ и центральный треугольник $\triangle FED$.

Чтобы доказать, что эти четыре треугольника равны (конгруэнтны), воспользуемся свойством средней линии треугольника и третьим признаком равенства треугольников.

Свойство средней линии: средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Применим это свойство для нахождения длин сторон центрального треугольника $\triangle FED$:

1. Средняя линия $EF$ (соединяет середины сторон $AB$ и $AC$) параллельна стороне $BC$ и равна $EF = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.

2. Средняя линия $FD$ (соединяет середины сторон $AB$ и $BC$) параллельна стороне $AC$ и равна $FD = \frac{1}{2}AC = \frac{b}{2}$.

3. Средняя линия $DE$ (соединяет середины сторон $BC$ и $AC$) параллельна стороне $AB$ и равна $DE = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$.

Теперь найдем длины сторон трех "угловых" треугольников, используя то, что точки $D, E, F$ — середины сторон:

• В треугольнике $\triangle AFE$ стороны равны: $AF = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$, $AE = \frac{1}{2}AC = \frac{b}{2}$, а длина стороны $FE$ равна $\frac{a}{2}$ (как мы выяснили ранее).

• В треугольнике $\triangle FBD$ стороны равны: $FB = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$, $BD = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$, а длина стороны $FD$ равна $\frac{b}{2}$.

• В треугольнике $\triangle EDC$ стороны равны: $DC = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$, $EC = \frac{1}{2}AC = \frac{b}{2}$, а длина стороны $DE$ равна $\frac{c}{2}$.

Таким образом, мы видим, что все четыре треугольника — $\triangle AFE$, $\triangle FBD$, $\triangle EDC$ и $\triangle FED$ — имеют одинаковый набор длин сторон: $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}$.

Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, SSS), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Так как все четыре треугольника имеют одинаковые длины сторон, они все равны (конгруэнтны) между собой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойстве средней линии треугольника и третьем признаке равенства треугольников (по трем сторонам). По свойству средней линии, стороны центрального треугольника ($DE, EF, FD$) равны половинам сторон исходного треугольника ($c/2, a/2, b/2$). Стороны трех угловых треугольников также состоят из половин сторон исходного треугольника. В результате все четыре малых треугольника имеют одинаковый набор длин сторон ($\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}$), а следовательно, они равны между собой по третьему признаку равенства треугольников.

7. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны, а третья сторона является основанием. Обозначим длину боковой стороны как $b$, а длину основания как $a$.
Средняя линия треугольника, параллельная основанию, по своему свойству равна половине длины этого основания. По условию, длина этой средней линии равна 3 см.
Следовательно, мы можем найти длину основания $a$:
$a = 2 \times (\text{длина средней линии}) = 2 \times 3 = 6$ см.
Таким образом, основание треугольника равно 6 см.
Периметр треугольника ($P$) равен сумме длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника формула периметра: $P = a + 2b$.
По условию, периметр равен 16 см. Подставим известные значения в формулу:
$16 = 6 + 2b$.
Теперь найдем длину боковой стороны $b$, решив это уравнение:
$2b = 16 - 6$
$2b = 10$
$b = \frac{10}{2} = 5$ см.
Итак, боковые стороны треугольника равны по 5 см, а основание — 6 см.
Проверим: периметр $P = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 6 \text{ см} = 16$ см, что соответствует условию.

Ответ: стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 6 см.

8. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CD, DA$ как точки $K, L, M, N$ соответственно. Требуется доказать, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника, которое гласит, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.

1. Проведем диагональ $AC$. Она разделяет исходный четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $K$ — середина стороны $AB$ и $L$ — середина стороны $BC$, то отрезок $KL$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как $M$ — середина стороны $CD$ и $N$ — середина стороны $DA$, то отрезок $MN$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

4. Из результатов, полученных в пунктах 2 и 3, мы имеем:

• $KL \parallel AC$ и $MN \parallel AC$. Поскольку две прямые параллельны третьей, они параллельны между собой. Значит, $KL \parallel MN$.
• $KL = \frac{1}{2}AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$. Отсюда следует, что $KL = MN$.

5. Мы установили, что в четырехугольнике $KLMN$ две противоположные стороны, $KL$ и $MN$, одновременно параллельны и равны. По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Таким образом, четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом. Это утверждение носит название теоремы Вариньона.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом. Это следует из того, что его противолежащие стороны являются средними линиями треугольников, на которые четырехугольник разбивается диагоналями, и, следовательно, эти стороны параллельны и равны половине соответствующей диагонали. Что и требовалось доказать.

9. Диагонали четырехугольника равны $a$ и $b$. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение. Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ по условию равны $a$ и $b$ соответственно: $AC = a$, $BD = b$. Пусть точки $M$, $N$, $P$, $Q$ являются серединами сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Требуется найти периметр четырехугольника $MNPQ$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $MN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AC$) и равна ее половине. Таким образом, $MN = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.

2. Рассмотрим треугольник $ADC$. Аналогично, отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$, значит, $PQ$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $PQ = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $NP$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$, поэтому является его средней линией. Следовательно, $NP = \frac{1}{2}BD = \frac{b}{2}$.

4. Наконец, в треугольнике $ABD$ отрезок $QM$ соединяет середины сторон $DA$ и $AB$ и является его средней линией. Следовательно, $QM = \frac{1}{2}BD = \frac{b}{2}$.

Четырехугольник, образованный серединами сторон исходного четырехугольника, известен как параллелограмм Вариньона. Его периметр $P_{MNPQ}$ равен сумме длин его сторон:

$P_{MNPQ} = MN + NP + PQ + QM = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{MNPQ} = (\frac{a}{2} + \frac{a}{2}) + (\frac{b}{2} + \frac{b}{2}) = a + b$

Таким образом, периметр искомого четырехугольника равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника.

Ответ: $a+b$.

10. В прямоугольнике меньшая сторона равна 20 см и образует с диагональю угол в $60^\circ$. Середины сторон прямоугольника последовательно соединены. Найдите периметр полученного четырехугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD, где AB и CD — меньшие стороны, а BC и AD — большие стороны. Диагональ AC образует с меньшей стороной AB угол $\angle BAC = 60°$. По условию, длина меньшей стороны $AB = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол $\angle B = 90°$). В этом треугольнике нам известны катет AB и прилежащий к нему острый угол $\angle BAC$. Мы можем найти гипотенузу AC, которая является диагональю прямоугольника, используя определение косинуса:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC}$

Выразим отсюда длину диагонали AC:

$AC = \frac{AB}{\cos(\angle BAC)}$

Подставим известные значения. Значение косинуса 60° равно $\frac{1}{2}$.

$AC = \frac{20}{\cos(60°)} = \frac{20}{1/2} = 40$ см.

Пусть точки K, L, M и N являются серединами сторон AB, BC, CD и AD прямоугольника соответственно. Четырехугольник KLMN, полученный последовательным соединением этих точек, является ромбом. Это следует из теоремы Вариньона, согласно которой такой четырехугольник всегда является параллелограммом, а его стороны параллельны диагоналям исходного четырехугольника и равны их половинам. Так как диагонали прямоугольника равны ($AC = BD$), то все стороны параллелограмма KLMN равны между собой, то есть это ромб.

Длина каждой стороны ромба KLMN равна половине длины диагонали прямоугольника. Например, отрезок KL является средней линией треугольника ABC, поэтому:

$KL = \frac{1}{2} AC$

$KL = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20$ см.

Поскольку KLMN — ромб, все его стороны равны 20 см.

Периметр полученного четырехугольника KLMN равен сумме длин всех его сторон:

$P_{KLMN} = 4 \cdot KL = 4 \cdot 20 = 80$ см.

Ответ: 80 см.

11. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба и, наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба

Пусть дан прямоугольник $ABCD$, а точки $K, L, M, N$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Необходимо доказать, что четырехугольник $KLMN$ является ромбом.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$, соединяющий середины сторон $AB$ и $BC$, является его средней линией. Согласно свойству средней линии, отрезок $KL$ параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

2. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией. Следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

3. Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. По признаку параллелограмма (если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны), четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ является его средней линией, так как соединяет середины сторон $AB$ и $DA$. Поэтому $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2}BD$.

5. Ключевое свойство прямоугольника заключается в том, что его диагонали равны между собой: $AC = BD$.

6. Сравним длины смежных сторон параллелограмма $KLMN$. Мы имеем $KL = \frac{1}{2}AC$ и $KN = \frac{1}{2}BD$. Поскольку $AC = BD$, то и $KL = KN$.

7. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Таким образом, $KLMN$ — ромб, что и требовалось доказать.

Ответ: Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Пусть дан ромб $ABCD$, а точки $K, L, M, N$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Необходимо доказать, что четырехугольник $KLMN$ является прямоугольником.

1. Для начала докажем, что $KLMN$ является параллелограммом. В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ является средней линией, откуда $KL \parallel AC$. В треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией, откуда $MN \parallel AC$. Таким образом, $KL \parallel MN$. Кроме того, $KL = MN = \frac{1}{2}AC$. Так как стороны $KL$ и $MN$ равны и параллельны, $KLMN$ — параллелограмм.

2. Теперь докажем, что у этого параллелограмма есть прямой угол. В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ является средней линией, следовательно, $KN \parallel BD$.

3. Ключевое свойство ромба заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$.

4. Мы установили, что $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$. Угол между двумя пересекающимися прямыми ($KL$ и $KN$) равен углу между двумя другими прямыми ($AC$ и $BD$), которые им соответственно параллельны.

5. Так как $AC \perp BD$, угол между диагоналями ромба составляет $90^\circ$. Следовательно, угол между прямыми $KL$ и $KN$ также равен $90^\circ$, то есть $\angle NKL = 90^\circ$.

6. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Следовательно, четырехугольник $KLMN$ — это прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

12. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AD$ и $BE$, которые пересекаются в точке $M$ (рис. 8.3). В треугольнике $AMB$ проведена средняя линия $FG \parallel AB$. Докажите, что четырехугольник $FGDE$ — параллелограмм.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $AD$ и $BE$ являются медианами, то по определению медианы, точка $D$ — середина стороны $BC$, а точка $E$ — середина стороны $AC$.

Рассмотрим отрезок $ED$. Так как он соединяет середины двух сторон треугольника $ABC$, то $ED$ является его средней линией. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине: $ED \parallel AB$ и $ED = \frac{1}{2}AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMB$. По условию, $FG$ является его средней линией. По свойству средней линии, она также параллельна основанию и равна его половине: $FG \parallel AB$ и $FG = \frac{1}{2}AB$.

Таким образом, мы имеем два факта:
1. $ED \parallel AB$ и $FG \parallel AB$. Из этого следует, что $ED \parallel FG$ (по свойству транзитивности параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой).
2. $ED = \frac{1}{2}AB$ и $FG = \frac{1}{2}AB$. Из этого следует, что $ED = FG$.

Мы рассмотрели четырехугольник $FGDE$ и установили, что его противоположные стороны $ED$ и $FG$ одновременно и параллельны, и равны по длине.

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, $FGDE$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $FGDE$ является параллелограммом.