Страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей равнобедренной трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB=CD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, а $P$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$.

Сначала докажем, что треугольники, образованные указанными точками, являются равнобедренными.

1. Рассмотрим $\triangle PAD$. Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, углы при основании равны: $\angle BAD = \angle CDA$. Поскольку $BC \parallel AD$, то $\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ$ и $\angle BCD + \angle CDA = 180^\circ$, откуда $\angle ABC = \angle BCD$. Углы $\angle PAD$ и $\angle PDA$ треугольника $\triangle PAD$ совпадают с углами при основании трапеции, поэтому $\angle PAD = \angle PDA$. Следовательно, $\triangle PAD$ — равнобедренный, и $PA = PD$.

2. Так как $PA=PD$ и по условию $AB=CD$, то $PB = PA - AB$ и $PC = PD - CD$. Отсюда следует, что $PB=PC$, а значит, $\triangle PBC$ также является равнобедренным.

3. В равнобедренной трапеции диагонали равны: $AC=BD$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. У них сторона $AD$ общая, $AB=CD$ и $BD=AC$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABD \cong \triangle DCA$. Из равенства этих треугольников следует равенство углов: $\angle OAD = \angle ODA$ (так как $\angle OAD$ это $\angle CAD$, а $\angle ODA$ это $\angle BDA$). Значит, $\triangle OAD$ является равнобедренным, и $OA = OD$.

4. Из равенства диагоналей $AC=BD$ и отрезков $OA=OD$ следует, что $OC = AC - OA$ и $OB = BD - OD$. Таким образом, $OB=OC$, и $\triangle OBC$ также является равнобедренным.

Теперь докажем утверждения из задачи.

Доказательство того, что прямая делит основания пополам

Рассмотрим треугольники $\triangle APO$ и $\triangle DPO$. У них сторона $PO$ — общая, $PA=PD$ и $OA=OD$, как было доказано ранее. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle APO \cong \triangle DPO$. Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle APO = \angle DPO$. Это означает, что прямая $PO$ является биссектрисой угла $\angle APD$. В равнобедренном треугольнике $\triangle PAD$ биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также и медианой. Следовательно, прямая $PO$ пересекает основание $AD$ в его середине, то есть делит $AD$ пополам.

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $\triangle PBC$ прямая $PO$ (являющаяся биссектрисой угла $\angle BPC$) также является медианой к основанию $BC$. Следовательно, прямая $PO$ делит основание $BC$ пополам.

Ответ: Доказано, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжения боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

Доказательство того, что прямая перпендикулярна основаниям

Как было установлено в предыдущем пункте, в равнобедренном треугольнике $\triangle PAD$ прямая $PO$ является биссектрисой угла при вершине $P$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, прямая $PO$ перпендикулярна основанию $AD$, то есть $PO \perp AD$.

Так как по определению трапеции ее основания параллельны ($BC \parallel AD$), то прямая, перпендикулярная одному из оснований, перпендикулярна и другому. Поскольку $PO \perp AD$, то и $PO \perp BC$.

Ответ: Доказано, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжения боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции.

15. Постройте прямоугольную трапецию, основания которой равны 5 см и 3 см, а меньшая боковая сторона равна 2 см.

Для решения этой задачи сначала необходимо проанализировать свойства прямоугольной трапеции. Прямоугольная трапеция — это четырёхугольник с двумя параллельными сторонами (основаниями), у которого одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта перпендикулярная сторона является высотой трапеции, обозначим ее $h$. Другая боковая сторона является наклонной. Если мы опустим высоту из вершины у меньшего основания на большее основание, то получим прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой будет наклонная боковая сторона, а катетами — высота $h$ и отрезок, равный разности длин оснований ($b_1 - b_2$). Согласно теореме Пифагора, квадрат наклонной стороны равен $h^2 + (b_1 - b_2)^2$. Поскольку основания имеют разную длину, $(b_1 - b_2)^2 > 0$, из чего следует, что наклонная сторона всегда длиннее высоты $h$. Таким образом, меньшая боковая сторона в прямоугольной трапеции — это её высота. По условию, основания равны 5 см и 3 см, а меньшая боковая сторона — 2 см. Следовательно, высота трапеции, которую нужно построить, равна 2 см.

Построение выполняется с помощью линейки и угольника (или транспортира) в несколько шагов:

1. С помощью линейки построим отрезок $AB$ длиной 5 см. Это будет большее основание трапеции.

2. В точке $A$ к отрезку $AB$ построим перпендикуляр. Для этого можно использовать угольник, приложив его к отрезку $AB$ так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой $A$, и проведя луч из точки $A$ вдоль второй стороны угольника.

3. На этом перпендикуляре от точки $A$ отложим отрезок $AD$ длиной 2 см. Это будет высота и одновременно меньшая боковая сторона трапеции.

4. Через точку $D$ проведём прямую, параллельную основанию $AB$. Проще всего это сделать, построив перпендикуляр к отрезку $AD$ в точке $D$. Так как две прямые (новая прямая и $AB$) перпендикулярны третьей прямой ($AD$), они будут параллельны между собой.

5. На построенной параллельной прямой отложим от точки $D$ отрезок $DC$ длиной 3 см. Точка $C$ должна находиться по ту же сторону от прямой $AD$, что и точка $B$. Отрезок $DC$ — это меньшее основание трапеции.

6. Соединим отрезком точки $C$ и $B$. Это будет вторая, наклонная и большая боковая сторона трапеции.

В итоге мы получим четырёхугольник $ABCD$, который и является искомой прямоугольной трапецией, так как $AB \parallel DC$ по построению, боковая сторона $AD \perp AB$ (и, следовательно, $AD \perp DC$), и длины сторон соответствуют условию: $AB = 5$ см, $DC = 3$ см, $AD = 2$ см.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет получить прямоугольную трапецию с основаниями 5 см и 3 см и меньшей боковой стороной (высотой) 2 см.

16. Постройте равнобедренную трапецию, основания которой равны 6 см и 3 см, а боковые стороны равны 2 см.

Для построения равнобедренной трапеции с заданными параметрами необходимо выполнить последовательность действий, основанных на геометрических свойствах этой фигуры.

Анализ

Пусть искомая трапеция — $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, $AD = 6$ см, $BC = 3$ см, $AB = CD = 2$ см.

Опустим из вершин $B$ и $C$ перпендикуляры $BH$ и $CK$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCK$ равны. Это означает, что отрезки, которые высоты отсекают на большем основании, также равны: $AH = KD$.

Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 3$ см.

Длину отрезков $AH$ и $KD$ можно вычислить по формуле:

$AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{6 \text{ см} - 3 \text{ см}}{2} = \frac{3 \text{ см}}{2} = 1.5$ см.

Таким образом, задача сводится к построению двух равных прямоугольных треугольников по гипотенузе ($2$ см) и катету ($1.5$ см) по краям отрезка длиной $3$ см.

Построение

1. С помощью линейки начертите прямую и отметьте на ней точку $A$. Отложите от точки $A$ отрезок $AD$ длиной $6$ см. Это будет большее основание трапеции.

2. На отрезке $AD$ отложите от точки $A$ отрезок $AH$ длиной $1.5$ см и от точки $D$ в сторону точки $A$ отложите отрезок $DK$ длиной $1.5$ см. Точки $H$ и $K$ — это основания высот трапеции.

3. Используя угольник или циркуль, постройте в точках $H$ и $K$ прямые, перпендикулярные основанию $AD$.

4. Установите раствор циркуля равным $2$ см (длина боковой стороны). Поместите острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу так, чтобы она пересекла перпендикуляр, восставленный из точки $H$. Точка пересечения будет вершиной $B$.

5. Не меняя раствора циркуля ($2$ см), поместите его острие в точку $D$ и проведите дугу, пересекающую перпендикуляр, восставленный из точки $K$. Точка пересечения будет вершиной $C$.

6. Соедините точки $B$ и $C$ отрезком. Также соедините точки $A$ и $B$, $C$ и $D$, если они еще не соединены.

Полученная фигура $ABCD$ является искомой равнобедренной трапецией, так как $AD=6$ см, $BC=HK=3$ см, $AB=CD=2$ см по построению, и $BC || AD$.

Ответ: Построение выполнено согласно алгоритму. В результате получена равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 3 см и боковыми сторонами 2 см.

17. По аналогии с определением средней линии треугольника попробуйте определить понятие средней линии трапеции. Какими свойствами она обладает?

Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, проведем аналогию с понятием средней линии треугольника, как и предложено в условии.

Вспомним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Основное свойство средней линии треугольника заключается в том, что она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Определение понятия средней линии трапеции

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основаниями), а две другие стороны не параллельны (они называются боковыми сторонами). По аналогии с треугольником, где средняя линия соединяет середины двух сторон, можно дать определение и для трапеции. Логично соединять середины именно боковых, непараллельных сторон.

Таким образом, мы приходим к следующему определению:

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Ответ: Средней линией трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон этой трапеции.

Свойства средней линии трапеции

Исходя из аналогии со свойствами средней линии треугольника, можно предположить, какими свойствами будет обладать средняя линия трапеции. Сформулируем их в виде теоремы и докажем.

Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а ее длина равна полусумме длин оснований.

Доказательство:

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Отрезок $MN$ является средней линией трапеции $ABCD$. Нам нужно доказать, что $MN \parallel AD \parallel BC$ и $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Для доказательства используем дополнительное построение. Проведем прямую через точки $B$ и $N$ до ее пересечения с продолжением прямой $AD$. Точку пересечения обозначим $E$.

Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$.

1. $CN = ND$, так как $N$ — середина отрезка $CD$ по определению средней линии.

2. $\angle BNC = \angle END$, так как эти углы являются вертикальными.

3. $\angle BCN = \angle EDN$, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ (прямая $AE$ содержит основание $AD$) и секущей $CD$.

Следовательно, треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства этих треугольников следует, что соответствующие стороны равны: $BC = ED$ и $BN = NE$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABE$.

В этом треугольнике точка $M$ является серединой стороны $AB$ (по условию). Точка $N$ является серединой стороны $BE$ (так как мы доказали, что $BN = NE$).

Таким образом, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ABE$.

Теперь воспользуемся свойствами средней линии треугольника:

1. Параллельность: Средняя линия $MN$ треугольника $\triangle ABE$ параллельна его основанию $AE$. Так как прямая $AE$ совпадает с прямой $AD$, то $MN \parallel AD$. А поскольку по определению трапеции $AD \parallel BC$, то и $MN \parallel BC$. Первое свойство доказано.

2. Длина: Длина средней линии $MN$ треугольника $\triangle ABE$ равна половине длины его основания $AE$, то есть $MN = \frac{1}{2}AE$. Длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$. Мы уже доказали, что $DE = BC$. Следовательно, $AE = AD + BC$. Подставим это выражение в формулу для длины $MN$: $MN = \frac{AD + BC}{2}$. Второе свойство доказано.

Если обозначить длины оснований трапеции как $a$ и $b$, а длину средней линии как $m$, то формула ее длины будет: $m = \frac{a+b}{2}$.

Ответ: Средняя линия трапеции обладает двумя основными свойствами: 1) она параллельна основаниям трапеции; 2) ее длина равна полусумме длин оснований.