Страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В квадрате расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 5 см. Найдите периметр квадрата.

6. Пусть дан квадрат со стороной $a$. Точка пересечения диагоналей является центром квадрата. Расстояние от центра до любой из сторон квадрата равно половине длины стороны.

Обозначим это расстояние как $d$. По условию задачи, $d = 5$ см.

Следовательно, мы можем записать следующее соотношение:

$d = \frac{a}{2}$

Чтобы найти длину стороны квадрата $a$, подставим известное значение $d$:

$5 = \frac{a}{2}$

Отсюда находим $a$:

$a = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Периметр квадрата $P$ вычисляется как сумма длин всех его четырех равных сторон, то есть по формуле $P = 4a$.

Подставим найденное значение стороны $a$ в формулу для периметра:

$P = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Ответ: 40 см.

7. Вершинами какого четырехугольника являются середины сторон прямоугольника?

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон как $K, L, M, N$, где $K$ — середина $AB$, $L$ — середина $BC$, $M$ — середина $CD$, и $N$ — середина $DA$. Соединив эти точки, получим четырехугольник $KLMN$. Наша задача — определить вид этого четырехугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Согласно свойству средней линии треугольника, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине:$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией. Следовательно:$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Из полученных соотношений следует, что противолежащие стороны $KL$ и $MN$ четырехугольника $KLMN$ параллельны и равны ($KL \parallel MN$ и $KL = MN$). По признаку параллелограмма, четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Теперь рассмотрим другую пару сторон. В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ является средней линией, поэтому он параллелен диагонали $BD$ и равен ее половине:$KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2}BD$.

Таким же образом, в треугольнике $BCD$ отрезок $LM$ является средней линией:$LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2}BD$.

Ключевое свойство прямоугольника заключается в том, что его диагонали равны между собой: $AC = BD$.

Сравним длины всех сторон параллелограмма $KLMN$:$KL = MN = \frac{1}{2}AC$$KN = LM = \frac{1}{2}BD$Так как $AC = BD$, мы можем заключить, что все стороны четырехугольника $KLMN$ равны: $KL = LM = MN = NK$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, является ромбом.

8. Вершинами какого четырехугольника являются середины сторон квадрата?

Пусть дан квадрат $ABCD$. Точки $E, F, G, H$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Образованный ими четырехугольник — это $EFGH$. Определим его вид.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, является его средней линией. По свойству средней линии, $EF$ параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине: $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2} AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $HG$ является средней линией, и поэтому $HG \parallel AC$ и $HG = \frac{1}{2} AC$.

Из того, что $EF \parallel AC$ и $HG \parallel AC$, следует, что $EF \parallel HG$. Из того, что $EF = \frac{1}{2} AC$ и $HG = \frac{1}{2} AC$, следует, что $EF = HG$.Поскольку в четырехугольнике $EFGH$ противолежащие стороны $EF$ и $HG$ равны и параллельны, то $EFGH$ — параллелограмм.

Теперь воспользуемся свойствами исходной фигуры — квадрата. В квадрате диагонали равны и взаимно перпендикулярны, то есть $AC = BD$ и $AC \perp BD$.

Рассмотрим сторону $EH$ четырехугольника $EFGH$. В треугольнике $ABD$ отрезок $EH$ соединяет середины сторон $AB$ и $DA$, значит, $EH$ — средняя линия. Поэтому $EH \parallel BD$ и $EH = \frac{1}{2} BD$.

Поскольку диагонали квадрата равны ($AC = BD$), то и смежные стороны нашего параллелограмма равны: $EF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD = EH$. Параллелограмм с равными смежными сторонами является ромбом. Следовательно, $EFGH$ — ромб.

Так как диагонали исходного квадрата перпендикулярны ($AC \perp BD$), а стороны ромба $EF$ и $EH$ соответственно параллельны этим диагоналям ($EF \parallel AC$ и $EH \parallel BD$), то эти стороны также перпендикулярны: $EF \perp EH$. Это означает, что угол $\angle HEF$ является прямым ($90^\circ$).

Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом. Таким образом, четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон квадрата, — это квадрат.

Ответ: квадрат.

9. Докажите, что диагональ квадрата лежит на биссектрисе его угла.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим квадрат $ABCD$ и проведем в нем диагональ $AC$. Эта диагональ делит квадрат на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Рассмотрим эти два треугольника.
1. Сторона $AB$ равна стороне $AD$ (по определению квадрата, все его стороны равны).
2. Сторона $BC$ равна стороне $DC$ (также из определения квадрата).
3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle ADC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Таким образом, угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DAC$, а угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DCA$.

По определению, биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Поскольку диагональ $AC$ делит углы квадрата $\angle DAB$ и $\angle BCD$ на две равные части, она является их биссектрисой. Аналогичное доказательство справедливо и для второй диагонали $BD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Диагональ квадрата делит его на два равных треугольника. Равенство этих треугольников по трем сторонам (две стороны квадрата и общая диагональ) доказывает равенство углов, прилегающих к диагонали. Следовательно, диагональ делит угол квадрата пополам, то есть является его биссектрисой.

10. Докажите, что если диагональ прямоугольника лежит на биссектрисе его угла, то он является квадратом.

Пусть дан прямоугольник ABCD. По определению прямоугольника, все его углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$) и его противоположные стороны параллельны ($BC \parallel AD$ и $AB \parallel CD$).

Рассмотрим диагональ AC. По условию, она является биссектрисой угла $\angle A$ (угла $\angle DAB$). Это означает, что она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAC = \angle CAD$.

Поскольку угол $\angle A$ прямоугольника равен $90^\circ$, то $\angle BAC = \angle CAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Он является прямоугольным, так как $\angle B = 90^\circ$. Мы знаем, что один из его острых углов, $\angle BAC$, равен $45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти второй острый угол, $\angle BCA$:

$\angle BCA = 180^\circ - \angle B - \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, сторона AB равна стороне BC.

Мы получили, что у прямоугольника ABCD две смежные стороны ($AB$ и $BC$) равны. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, по определению является квадратом (так как из свойств прямоугольника $AB=CD$ и $BC=AD$, то равенство $AB=BC$ влечет за собой равенство всех четырех сторон).

Таким образом, мы доказали, что данный прямоугольник является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

11. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как $4 : 5$. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он образован стороной ромба $AB$ и половинами его диагоналей $AO$ и $BO$. Углы, о которых идет речь в условии, — это углы, которые диагонали образуют со стороной $AB$, то есть $\angle OAB$ и $\angle OBA$.

Согласно свойствам ромба, его диагонали пересекаются под прямым углом. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AOB = 90^\circ$.

По условию задачи, углы, образуемые диагоналями со стороной, относятся как 4:5. Пусть $\angle OAB = 4x$ и $\angle OBA = 5x$, где $x$ — некоторая градусная мера (коэффициент пропорциональности).

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $AOB$ это означает:

$\angle OAB + \angle OBA = 90^\circ$

Подставим наши выражения для углов в это уравнение:

$4x + 5x = 90^\circ$

$9x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{9} = 10^\circ$

Теперь мы можем найти величины этих углов:

$\angle OAB = 4x = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$

$\angle OBA = 5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$

Другое важное свойство ромба заключается в том, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Это значит, что они делят углы ромба пополам.

Угол $A$ ромба ($\angle DAB$) в два раза больше угла $\angle OAB$:

$\angle DAB = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$

Угол $B$ ромба ($\angle ABC$) в два раза больше угла $\angle OBA$:

$\angle ABC = 2 \cdot \angle OBA = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$

В ромбе противоположные углы равны, поэтому $\angle BCD = \angle DAB = 80^\circ$ и $\angle CDA = \angle ABC = 100^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $80^\circ$, $100^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$.

12. Докажите, что если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Дано:

ABCD — ромб.

Из определения ромба следует, что все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.

По условию задачи, диагонали ромба равны: $AC = BD$.

Доказать:

ABCD — квадрат.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AD$ — общая.

2. Стороны $AB$ и $DC$ равны, так как все стороны ромба равны ($AB = DC$).

3. Диагонали $BD$ и $AC$ равны по условию ($BD = AC$).

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle DAB$ треугольника $\triangle ABD$ равен углу $\angle ADC$ треугольника $\triangle DCA$. То есть, $\angle DAB = \angle ADC$.

Ромб является частным случаем параллелограмма, поэтому сумма его углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $AD$ это означает:

$\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$

Так как мы доказали, что $\angle DAB = \angle ADC$, мы можем заменить $\angle ADC$ на $\angle DAB$ в этом равенстве:

$\angle DAB + \angle DAB = 180^\circ$

$2 \cdot \angle DAB = 180^\circ$

$\angle DAB = 90^\circ$

Мы получили, что один из углов ромба является прямым. Ромб, у которого хотя бы один угол прямой, является квадратом (так как в параллелограмме противолежащие углы равны, а соседние в сумме дают $180^\circ$, следовательно, все углы будут прямыми).

Таким образом, ромб ABCD имеет равные стороны и все углы по $90^\circ$, что соответствует определению квадрата.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

13. На сторонах квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки: $AE = BF = CG = DH$ (рис. 7.7). Докажите, что четырехугольник EFGH — квадрат.

Рис. 7.7

Доказательство.

Чтобы доказать, что четырехугольник EFGH является квадратом, необходимо установить два факта: во-первых, что все его стороны равны, и, во-вторых, что все его углы прямые.

1. Доказательство равенства сторон.

Рассмотрим четыре треугольника, которые образовались в углах квадрата ABCD: $\triangle HAE, \triangle EBF, \triangle FCG$ и $\triangle GDH$.

Поскольку ABCD — квадрат, все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$) и все углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$). Пусть длина стороны квадрата равна $a$.

По условию задачи, на сторонах отложены равные отрезки: $AE = BF = CG = DH$. Обозначим их длину как $x$.

Тогда длины оставшихся частей сторон квадрата также будут равны между собой:

$HA = DA - DH = a - x$

$EB = AB - AE = a - x$

$FC = BC - BF = a - x$

$GD = CD - CG = a - x$

Таким образом, все четыре треугольника ($\triangle HAE, \triangle EBF, \triangle FCG, \triangle GDH$) являются прямоугольными и имеют одинаковые катеты длиной $x$ и $a-x$.

По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, все эти треугольники равны: $\triangle HAE \cong \triangle EBF \cong \triangle FCG \cong \triangle GDH$.

Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $HE = EF = FG = GH$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, EFGH — ромб.

2. Доказательство наличия прямых углов.

Теперь докажем, что у ромба EFGH есть хотя бы один прямой угол. Если это так, то все его углы будут прямыми, и он будет являться квадратом. Докажем, например, что $\angle GHE = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle HAE$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$, то есть $\angle AEH + \angle AHE = 90^\circ$.

Из доказанного ранее равенства треугольников $\triangle GDH \cong \triangle HAE$ следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle DHG$ в $\triangle GDH$ лежит напротив катета $GD=a-x$. Соответствующий ему угол в $\triangle HAE$ — это угол, лежащий напротив равного ему катета $HA=a-x$. Это угол $\angle AEH$. Таким образом, $\angle DHG = \angle AEH$.

Точки D, H, A лежат на одной прямой (стороне квадрата), поэтому угол $\angle DHA$ является развернутым и равен $180^\circ$. Этот угол составлен из трех углов: $\angle DHG, \angle GHE$ и $\angle AHE$.

Следовательно, $\angle DHG + \angle GHE + \angle AHE = 180^\circ$.

Заменив в этом равенстве $\angle DHG$ на равный ему $\angle AEH$, получим: $\angle AEH + \angle GHE + \angle AHE = 180^\circ$.

Сгруппируем слагаемые: $(\angle AEH + \angle AHE) + \angle GHE = 180^\circ$.

Поскольку сумма в скобках, как мы установили, равна $90^\circ$, уравнение принимает вид: $90^\circ + \angle GHE = 180^\circ$.

Отсюда следует, что $\angle GHE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, EFGH — это ромб с прямым углом, что по определению является квадратом.

Ответ: Утверждение, что четырехугольник EFGH — квадрат, доказано.

14. Постройте ромб по:

а) стороне и диагонали;

б) двум диагоналям.

а) по стороне и диагонали

Пусть даны отрезки, соответствующие длине стороны ромба $a$ и длине одной из его диагоналей $d$. Для построения ромба $ABCD$ выполним следующие шаги:

1. С помощью линейки проводим прямую и откладываем на ней отрезок $AC$, равный данной диагонали $d$. Точки $A$ и $C$ будут двумя противоположными вершинами ромба.

2. Ромб представляет собой четырехугольник, у которого все стороны равны. Следовательно, остальные две вершины, $B$ и $D$, должны находиться на расстоянии $a$ от вершин $A$ и $C$.

3. Устанавливаем раствор циркуля равным длине стороны $a$. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности.

4. Не меняя раствора циркуля, из точки $C$ как из центра проводим вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках. Назовем эти точки пересечения $B$ и $D$.

5. Соединяем отрезками точки $A, B, C$ и $D$ последовательно.

Четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом, так как по построению все его стороны равны $a$ ($AB = BC = CD = DA = a$), а диагональ $AC$ равна $d$.

Ответ: Построение сводится к построению двух равнобедренных треугольников ($ABC$ и $ADC$) с общим основанием (данная диагональ $d$) и боковыми сторонами, равными данной стороне ромба $a$.

б) по двум диагоналям

Пусть даны отрезки, соответствующие длинам двух диагоналей ромба, $d_1$ и $d_2$. Построение основано на свойстве диагоналей ромба: они взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

1. Проводим прямую и откладываем на ней отрезок $AC$, равный одной из диагоналей, например, $d_1$.

2. Находим середину отрезка $AC$. Для этого строим его серединный перпендикуляр. Из точек $A$ и $C$ как из центров проводим дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина $AC$) с обеих сторон от отрезка. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, будет перпендикулярна $AC$ и пройдет через его середину. Обозначим точку пересечения этой прямой с $AC$ как $O$.

3. Вторая диагональ $BD$ будет лежать на построенном серединном перпендикуляре. Поскольку диагонали делятся точкой пересечения пополам, от точки $O$ на перпендикуляре нужно отложить в обе стороны отрезки длиной $d_2/2$.

4. Устанавливаем раствор циркуля равным половине длины второй диагонали, $d_2/2$. Из центра $O$ делаем засечки на серединном перпендикуляре. Полученные точки $B$ и $D$ будут двумя другими вершинами ромба.

5. Соединяем отрезками точки $A, B, C$ и $D$ последовательно.

Четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ по построению взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, а их длины равны $d_1$ и $d_2$ соответственно.

Ответ: Построение выполняется путем построения двух взаимно перпендикулярных отрезков, которые имеют общий центр и равны данным диагоналям, а затем соединения их концов.

16. Постройте квадрат по:

а) стороне;

б) диагонали.

а) стороне

Пусть дан отрезок $a$, равный стороне искомого квадрата.

1. На произвольной прямой $m$ отметим точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на прямой $m$ от точки $A$ отрезок $AB$, равный данному отрезку $a$. Этот отрезок будет первой стороной квадрата.
3. Построим прямую $n$, перпендикулярную прямой $m$ и проходящую через точку $A$. Для этого построим окружность с центром в точке $A$ произвольного радиуса, которая пересечет прямую $m$ в двух точках. Затем из этих двух точек построим две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности) до их пересечения. Прямая, проходящая через точку $A$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна прямой $m$.
4. На прямой $n$ отложим от точки $A$ отрезок $AD$, равный отрезку $a$.
5. Теперь у нас есть три вершины квадрата: $A$, $B$ и $D$. Четвертая вершина $C$ должна находиться на расстоянии $a$ от вершин $B$ и $D$.
6. Построим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $a$.
7. Построим дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом $a$.
8. Точка пересечения этих двух дуг и будет искомой вершиной $C$.
9. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученная фигура $ABCD$ является искомым квадратом, так как все его стороны равны $a$ и угол $\angle DAB = 90^\circ$ по построению.

Ответ: Квадрат построен.

б) диагонали

Пусть дан отрезок $d$, равный диагонали искомого квадрата. Свойства диагоналей квадрата: они равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

1. Построим отрезок $AC$, равный данному отрезку $d$. Это будет первая диагональ квадрата.
2. Найдем середину отрезка $AC$ — точку $O$. Для этого построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Из точек $A$ и $C$ проведем две пары дуг одинакового радиуса (большего, чем половина $AC$) с каждой стороны отрезка. Прямая, соединяющая точки пересечения этих дуг, будет серединным перпендикуляром. Точка $O$ — это точка пересечения перпендикуляра с отрезком $AC$.
3. Через точку $O$ проходит вторая диагональ $BD$, которая перпендикулярна $AC$. Построенный серединный перпендикуляр является прямой, на которой лежит диагональ $BD$.
4. Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, то $OB = OD = OA = OC = d/2$.
5. С помощью циркуля измерим расстояние $OA$ (или $OC$).
6. Построим окружность (или две дуги) с центром в точке $O$ и радиусом, равным $OA$.
7. Точки пересечения этой окружности с серединным перпендикуляром будут двумя другими вершинами квадрата — $B$ и $D$.
8. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученная фигура $ABCD$ является искомым квадратом, так как ее диагонали $AC$ и $BD$ равны, взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: Квадрат построен.