Страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Постройте параллелограмм по:

а) двум сторонам и углу между ними;

б) стороне, углу и диагонали;

в) * стороне, перпендикуляру, опущенному на нее из вершины, и пересекающей его диагонали.

а) двум сторонам и углу между ними

Пусть нам даны два отрезка, равные сторонам параллелограмма $a$ и $b$, и угол $\alpha$, равный углу между этими сторонами. Требуется построить параллелограмм $ABCD$, у которого сторона $AB = a$, сторона $AD = b$ и угол $\angle DAB = \alpha$.

Анализ:
Параллелограмм однозначно определяется двумя смежными сторонами и углом между ними. Мы можем построить треугольник $ABD$ по двум сторонам $AB$ и $AD$ и углу между ними $\angle DAB$. Четвертая вершина $C$ находится на пересечении прямых, параллельных сторонам $AB$ и $AD$ и проходящих через вершины $D$ и $B$ соответственно. Также ее можно найти, зная, что противолежащие стороны параллелограмма равны ($BC=AD=b$, $DC=AB=a$).

Построение:
1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на прямой от точки $A$ отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.
3. От луча $AB$ в заданной полуплоскости отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим луч $AM$.
4. На луче $AM$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный данной стороне $b$.
5. Построим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $a$.
6. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $b$.
7. Точка пересечения этих двух окружностей (в той же полуплоскости) будет четвертой вершиной параллелограмма — точкой $C$.
8. Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство:
В построенном четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ и угол $\angle DAB$ равны заданным $a$, $b$ и $\alpha$ по построению. Кроме того, по построению $DC=a$ и $BC=b$. Так как в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны ($AB=DC=a$, $AD=BC=b$), то этот четырехугольник — параллелограмм.

Ответ: Параллелограмм $ABCD$ построен.

б) стороне, углу и диагонали

Эта задача может иметь несколько трактовок в зависимости от того, как расположены данные элементы. Рассмотрим наиболее распространенный случай: даны сторона $a$, прилежащий к ней угол $\alpha$ и диагональ $d$, выходящая из другой вершины данной стороны.

Пусть требуется построить параллелограмм $ABCD$, у которого сторона $AB=a$, угол $\angle DAB = \alpha$ и диагональ $BD = d$.

Анализ:
Три вершины параллелограмма $A, B, D$ образуют треугольник $ABD$. В этом треугольнике известны две стороны ($AB=a$, $BD=d$) и угол, противолежащий одной из них ($\angle DAB = \alpha$). Это задача на построение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них (SSA). Построив треугольник $ABD$, мы найдем три вершины, а четвертую вершину $C$ можно легко достроить.

Построение:
1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.
2. От луча $AB$ построим луч $AM$ так, чтобы $\angle BAM = \alpha$.
3. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным данной диагонали $d$.
4. Точка пересечения окружности и луча $AM$ является третьей вершиной — точкой $D$. (Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от числа точек пересечения).
5. Теперь, имея три вершины $A$, $B$, $D$, достроим параллелограмм. Для этого проведем через точку $D$ прямую, параллельную $AB$, а через точку $B$ — прямую, параллельную $AD$. Точка их пересечения будет вершиной $C$.
6. Соединим отрезками вершины. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство:
По построению в четырехугольнике $ABCD$ сторона $AB=a$, $\angle DAB = \alpha$. Диагональ $BD$ равна $d$ по построению. Так как $BC \parallel AD$ и $DC \parallel AB$, то $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Параллелограмм $ABCD$ построен.

в) * стороне, перпендикуляру, опущенному на нее из вершины, и пересекающей его диагонали

Рассмотрим следующую трактовку задачи: даны сторона $s$, высота $h$, проведенная к этой стороне, и диагональ $d$, выходящая из той же вершины, из которой проведена высота.

Пусть требуется построить параллелограмм $ABCD$ со стороной $AD=s$, высотой $BH=h$ (где $H$ — основание перпендикуляра из $B$ на прямую $AD$) и диагональю $BD=d$.

Анализ:
Вершины $B, H, D$ образуют прямоугольный треугольник $BHD$, в котором катет $BH$ равен высоте $h$, а гипотенуза $BD$ равна диагонали $d$. Мы можем построить этот треугольник. После этого мы найдем вершины $B$ и $D$, а также прямую, на которой лежит сторона $AD$. Вершина $A$ лежит на этой прямой на расстоянии $s$ от вершины $D$. Имея три вершины $A, B, D$, можно достроить параллелограмм.

Построение:
1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней точку $H$.
2. В точке $H$ восстановим перпендикуляр к прямой $l$ и отложим на нем отрезок $HB = h$.
3. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $d$.
4. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $D$. (Для существования решения необходимо, чтобы $d \ge h$).
5. Теперь у нас есть вершины $B$ и $D$, и прямая $l$, на которой лежит сторона $AD$.
6. Построим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $s$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $A$. (Возможны два решения, выберем одно).
7. Имея вершины $A, B, D$, построим четвертую вершину $C$. Для этого отложим от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{AD}$, или от точки $D$ вектор, равный вектору $\vec{AB}$. Получим точку $C$.
8. Соединим вершины. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство:
По построению, $ABCD$ является параллелограммом. Длина стороны $AD$ равна $s$. Длина диагонали $BD$ равна $d$. Высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AD$ (прямую $l$), есть отрезок $BH$, длина которого равна $h$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Параллелограмм $ABCD$ построен.

12. Укажите способ построения прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

Для построения прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, с помощью циркуля и линейки без делений, выполняется следующий алгоритм. Пусть дана прямая $l$ и точка $P$, не принадлежащая прямой $l$.

1. Провести через точку $P$ произвольную прямую (называемую секущей), которая пересекает прямую $l$ в некоторой точке $Q$.

2. Построить угол с вершиной в точке $P$, который будет равен углу, образованному секущей и прямой $l$ в точке $Q$. Этот шаг выполняется для того, чтобы создать равные соответственные или накрест лежащие углы, что является признаком параллельности прямых. Процесс копирования угла выглядит так:
а) Установить ножку циркуля в точку $Q$ и начертить дугу произвольного радиуса $r$ так, чтобы она пересекла прямую $l$ (например, в точке $A$) и секущую (например, в точке $B$).
б) Не меняя радиус циркуля ($r$), установить его ножку в точку $P$ и начертить аналогичную дугу, которая пересечет секущую в точке $C$. Эта дуга должна располагаться так, чтобы можно было построить соответственный или накрест лежащий угол.
в) Измерить циркулем расстояние между точками $A$ и $B$.
г) Установить ножку циркуля в точку $C$ и начертить дугу с радиусом, равным расстоянию $AB$. Точку пересечения этой дуги с дугой, построенной в шаге (б), обозначить как $D$.

3. С помощью линейки провести прямую $m$ через точки $P$ и $D$.

Прямая $m$ является искомой. Она проходит через данную точку $P$ и параллельна данной прямой $l$. Это следует из признака параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны (в нашем случае мы построили $\angle DPC = \angle AQB$), то прямые параллельны.

Ответ: Чтобы построить прямую, параллельную данной прямой $l$ и проходящую через данную точку $P$, необходимо: 1) провести через точку $P$ произвольную секущую, пересекающую прямую $l$ в точке $Q$; 2) используя циркуль и линейку, построить в точке $P$ угол, равный и соответственный (или накрест лежащий) углу, образованному секущей и прямой $l$; 3) прямая, проходящая через точку $P$ и образующая построенный угол с секущей, и будет искомой параллельной прямой.

13. Является ли прямоугольник параллелограммом?

Да, любой прямоугольник является параллелограммом. Чтобы это доказать, достаточно показать, что прямоугольник удовлетворяет определению или одному из признаков параллелограмма.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны $90^\circ$.

Проверим, выполняется ли для прямоугольника определение параллелограмма. Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Все его углы равны $90^\circ$.

Рассмотрим стороны $AD$ и $BC$, а также сторону $AB$ как секущую. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются внутренними односторонними. Их сумма равна $\angle A + \angle B = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Следовательно, $AD \parallel BC$.

Аналогично, рассмотрим стороны $AB$ и $DC$ и секущую $BC$. Углы $\angle B$ и $\angle C$ являются внутренними односторонними. Их сумма равна $\angle B + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, $AB \parallel DC$.

Поскольку у прямоугольника обе пары противолежащих сторон попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$), он является параллелограммом по определению.

Также можно воспользоваться одним из признаков параллелограмма. Например: если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. В прямоугольнике это условие выполняется, так как все углы равны $90^\circ$, а значит, и противолежащие углы попарно равны: $\angle A = \angle C = 90^\circ$ и $\angle B = \angle D = 90^\circ$.

Таким образом, прямоугольник — это частный случай параллелограмма. Любой прямоугольник является параллелограммом, но не любой параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: Да, является. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Он обладает всеми свойствами параллелограмма, например, его противолежащие стороны попарно параллельны и равны.

14. Какому условию должны удовлетворять диагонали параллелограмма, чтобы этот параллелограмм был прямоугольником?

Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, его диагонали должны быть равны между собой. Это является необходимым и достаточным условием.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ равны, то есть $AC = BD$. Нам нужно доказать, что $ABCD$ — прямоугольник.

Рассмотрим два треугольника, образованных диагоналями и сторонами параллелограмма: $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$.

В этих треугольниках:

1. $AB = DC$ (как противолежащие стороны параллелограмма).

2. $BC$ — общая сторона.

3. $AC = DB$ (по условию).

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle DCB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, $\angle ABC = \angle DCB$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $\angle ABC$ и $\angle DCB$ прилежат к стороне $BC$, поэтому $\angle ABC + \angle DCB = 180^\circ$.

Так как эти углы равны, мы можем заменить $\angle DCB$ на $\angle ABC$ в последнем равенстве:

$\angle ABC + \angle ABC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle ABC = 180^\circ$

$\angle ABC = 90^\circ$

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Ответ: Диагонали параллелограмма должны быть равны.