Страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. На рисунке 4.5 ABCD — параллелограмм, $BE \parallel DF$. Какой фигурой является четырехугольник BFDE?

Рис. 4.5

По условию задачи, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $DC$, то есть $AB \parallel DC$.

Поскольку точка $F$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $DC$, то отрезки $BF$ и $DE$, являющиеся частями этих сторон, также параллельны друг другу: $BF \parallel DE$.

Также, согласно условию задачи, вторая пара противолежащих сторон четырехугольника $BFDE$ тоже параллельна: $BE \parallel DF$.

Таким образом, в четырехугольнике $BFDE$ обе пары противолежащих сторон параллельны ($BF \parallel DE$ и $BE \parallel DF$). По определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник $BFDE$ — это параллелограмм.
Ответ: четырехугольник $BFDE$ является параллелограммом.

8. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна:

а) $80^\circ$;

б) $100^\circ$;

в) $160^\circ$.

Воспользуемся свойствами углов параллелограмма:
1. Противолежащие углы равны.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

В задаче дана сумма двух углов. Рассмотрим два возможных случая:
1. Это сумма двух прилежащих углов. В этом случае их сумма должна быть равна $180^\circ$.
2. Это сумма двух противолежащих углов. Так как противолежащие углы равны, то это сумма двух одинаковых углов.

Во всех трех пунктах задачи сумма не равна $180^\circ$, следовательно, речь идет о сумме двух равных противолежащих углов. Пусть один из этих углов равен $\alpha$, а смежный с ним угол равен $\beta$. Тогда углы параллелограмма — это $\alpha, \beta, \alpha, \beta$, и для них выполняется соотношение $\alpha + \beta = 180^\circ$.

а)

Сумма двух углов равна $80^\circ$. Согласно нашему выводу, это сумма двух равных противолежащих углов.

$\alpha + \alpha = 80^\circ$

$2\alpha = 80^\circ$

$\alpha = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$

Таким образом, два противолежащих угла параллелограмма равны по $40^\circ$.

Найдем два других угла, которые равны $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Итак, два других угла равны по $140^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.

б)

Сумма двух углов равна $100^\circ$. Это также сумма двух равных противолежащих углов.

$\alpha + \alpha = 100^\circ$

$2\alpha = 100^\circ$

$\alpha = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$

Два угла параллелограмма равны по $50^\circ$.

Найдем два других угла, которые равны $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Два других угла равны по $130^\circ$.

Ответ: $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.

в)

Сумма двух углов равна $160^\circ$. Это также сумма двух равных противолежащих углов.

$\alpha + \alpha = 160^\circ$

$2\alpha = 160^\circ$

$\alpha = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$

Два угла параллелограмма равны по $80^\circ$.

Найдем два других угла, которые равны $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Два других угла равны по $100^\circ$.

Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.

9. Найдите углы параллелограмма, если один из его углов:

а) больше другого на $40^\circ$;

б) меньше другого в 5 раз.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами углов параллелограмма:
1. Противоположные углы параллелограмма равны.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Из этих свойств следует, что если в условии говорится о двух разных углах, то речь идет о соседних углах. Обозначим эти углы как $\alpha$ и $\beta$. Их сумма всегда составляет $180^\circ$.

$\alpha + \beta = 180^\circ$

а) По условию, один угол больше другого на $40^\circ$. Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним, больший угол, будет равен $x + 40^\circ$.

Зная, что сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$, составим и решим уравнение:
$x + (x + 40^\circ) = 180^\circ$
$2x + 40^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 40^\circ$
$2x = 140^\circ$
$x = \frac{140^\circ}{2}$
$x = 70^\circ$

Итак, один угол равен $70^\circ$. Второй угол равен $x + 40^\circ = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$.

Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то в нем есть два угла по $70^\circ$ и два угла по $110^\circ$.

Ответ: $70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ$.

б) По условию, один угол меньше другого в 5 раз. Пусть меньший угол равен $y$. Тогда смежный с ним, больший угол, будет в 5 раз больше, то есть $5y$.

Сумма этих углов также равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:
$y + 5y = 180^\circ$
$6y = 180^\circ$
$y = \frac{180^\circ}{6}$
$y = 30^\circ$

Итак, один угол равен $30^\circ$. Второй угол равен $5y = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

В параллелограмме два угла по $30^\circ$ и два угла по $150^\circ$.

Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.

10. Найдите углы параллелограмма, если два его угла относятся как $3:7$.

В параллелограмме есть два ключевых свойства, касающихся его углов:
1. Противоположные углы равны.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), равна $180^\circ$.

Если бы два угла, о которых идет речь в задаче, были противоположными, они были бы равны, и их отношение было бы 1:1, а не 3:7. Следовательно, данные углы являются соседними.

Пусть $x$ — это одна часть в отношении, тогда один угол равен $3x$, а второй, соседний с ним, равен $7x$. Так как их сумма составляет $180^\circ$, мы можем составить уравнение:

$3x + 7x = 180^\circ$

Решим это уравнение:

$10x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{10}$

$x = 18^\circ$

Теперь найдем величину каждого из углов, подставив значение $x$:

Меньший угол: $3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$

Больший угол: $7x = 7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$

Так как в параллелограмме две пары равных противоположных углов, то в нем два угла равны $54^\circ$ и два других угла равны $126^\circ$.

Ответ: углы параллелограмма равны $54^\circ, 126^\circ, 54^\circ, 126^\circ$.

11. Острый угол параллелограмма $ABCD$ равен $60^\circ$ (рис. 4.6), $DG$ и $DH$ — высоты. Найдите углы образовавшегося четырехугольника $BHDG$.

Рис. 4.6

По условию, ABCD — параллелограмм, и его острый угол равен 60°. Пусть $∠A = 60°$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Найдем тупой угол $∠B$: $∠B = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°$.

Противоположные углы параллелограмма равны, следовательно, $∠C = ∠A = 60°$ и $∠D = ∠B = 120°$.

Теперь рассмотрим образовавшийся четырехугольник BHDG и найдем его углы.

Угол $∠HBG$

Этот угол совпадает с углом $∠B$ параллелограмма, поэтому $∠HBG = 120°$.

Углы $∠DHB$ и $∠DGB$

По условию, DG и DH — высоты. Это означает, что они перпендикулярны сторонам, к которым проведены:

$DG ⊥ AB$, следовательно, угол $∠DGB = 90°$.

$DH ⊥ BC$, следовательно, угол $∠DHB = 90°$.

Угол $∠GDH$

Сумма углов любого четырехугольника равна 360°. Для четырехугольника BHDG мы уже знаем три угла, поэтому можем найти четвертый: $∠GDH = 360° - (∠HBG + ∠DHB + ∠DGB)$ $∠GDH = 360° - (120° + 90° + 90°) = 360° - 300° = 60°$.

Другой способ нахождения угла $∠GDH$:
Рассмотрим прямоугольный треугольник $△ADG$ (угол $∠AGD = 90°$). Сумма острых углов в нем равна 90°. Так как $∠A = 60°$, то $∠ADG = 90° - 60° = 30°$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $△CDH$ (угол $∠CHD = 90°$). Так как $∠C = 60°$, то $∠CDH = 90° - 60° = 30°$.
Угол $∠D$ параллелограмма равен 120° и складывается из трех углов: $∠ADC = ∠ADG + ∠GDH + ∠CDH$.
Отсюда $∠GDH = ∠ADC - ∠ADG - ∠CDH = 120° - 30° - 30° = 60°$.

Ответ: углы четырехугольника BHDG равны $120°, 90°, 60°, 90°$.

12. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если:

а) одна сторона на 2 см больше другой;

б) разность двух сторон равна 6 см;

в) одна из сторон в два раза больше другой.

Периметр параллелограмма ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. Из условия известно, что $P = 48$ см.

Составим уравнение: $2(a+b) = 48$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти сумму длин смежных сторон:

$a+b = \frac{48}{2}$

$a+b = 24$ см.

Теперь решим задачу для каждого из случаев, используя полученное соотношение.

а) одна сторона на 2 см больше другой

Пусть меньшая сторона равна $x$ см. Тогда большая сторона будет равна $(x+2)$ см.

Их сумма равна 24 см, составим уравнение:

$x + (x+2) = 24$

$2x + 2 = 24$

$2x = 24 - 2$

$2x = 22$

$x = 11$ см.

Таким образом, одна сторона равна 11 см, а вторая — $11 + 2 = 13$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 11 см и 13 см.

б) разность двух сторон равна 6 см

Пусть меньшая сторона равна $x$ см. Поскольку разность сторон равна 6 см, большая сторона будет равна $(x+6)$ см.

Их сумма равна 24 см, составим уравнение:

$x + (x+6) = 24$

$2x + 6 = 24$

$2x = 24 - 6$

$2x = 18$

$x = 9$ см.

Таким образом, одна сторона равна 9 см, а вторая — $9 + 6 = 15$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 9 см и 15 см.

в) одна из сторон в два раза больше другой

Пусть меньшая сторона равна $x$ см. Тогда большая сторона будет в два раза больше, то есть $2x$ см.

Их сумма равна 24 см, составим уравнение:

$x + 2x = 24$

$3x = 24$

$x = \frac{24}{3}$

$x = 8$ см.

Таким образом, одна сторона равна 8 см, а вторая — $2 \cdot 8 = 16$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 8 см и 16 см.

13. Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть две смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. По условию задачи, их отношение составляет $3:4$. Это можно записать так: $a:b = 3:4$.
Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить как $a = 3x$ и $b = 4x$.
Периметр параллелограмма ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, формула для расчета периметра выглядит следующим образом: $P = 2a + 2b = 2(a+b)$.
Согласно условию, периметр равен $2,8$ м. Подставим наши выражения для сторон в формулу периметра и составим уравнение:
$2(3x + 4x) = 2,8$
Упростим левую часть уравнения:
$2(7x) = 2,8$
$14x = 2,8$
Теперь найдем значение коэффициента $x$:
$x = \frac{2,8}{14}$
$x = 0,2$
Зная $x$, мы можем вычислить длины сторон параллелограмма:
Первая сторона: $a = 3x = 3 \cdot 0,2 = 0,6$ м.
Вторая сторона: $b = 4x = 4 \cdot 0,2 = 0,8$ м.
Таким образом, у параллелограмма две стороны равны $0,6$ м, а две другие — $0,8$ м.
Ответ: стороны параллелограмма равны 0,6 м и 0,8 м.

14. Каково взаимное расположение биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне?

Рассмотрим произвольный параллелограмм $ABCD$. Выберем одну из его сторон, например, сторону $AD$. Углы, прилежащие к этой стороне, — это $\angle A$ (или $\angle DAB$) и $\angle D$ (или $\angle ADC$).

Одно из ключевых свойств параллелограмма заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Это происходит потому, что эти углы являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых ($AB \parallel DC$) и секущей $AD$.
Следовательно, $\angle A + \angle D = 180^\circ$.

Проведем биссектрисы этих углов. Пусть $AK$ — биссектриса угла $A$, а $DK$ — биссектриса угла $D$. Точка $K$ — точка их пересечения.

По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Значит:
$\angle DAK = \frac{1}{2}\angle A$
$\angle ADK = \frac{1}{2}\angle D$

Рассмотрим треугольник, образованный этими биссектрисами и стороной параллелограмма, — $\triangle ADK$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle ADK$ это записывается так:
$\angle DAK + \angle ADK + \angle AKD = 180^\circ$

Теперь подставим в это уравнение выражения для углов $\angle DAK$ и $\angle ADK$:
$\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle D + \angle AKD = 180^\circ$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\frac{1}{2}(\angle A + \angle D) + \angle AKD = 180^\circ$

Так как мы уже установили, что $\angle A + \angle D = 180^\circ$, подставим это значение в наше уравнение:
$\frac{1}{2}(180^\circ) + \angle AKD = 180^\circ$
$90^\circ + \angle AKD = 180^\circ$

Из этого уравнения легко найти угол $\angle AKD$, который является углом между биссектрисами:
$\angle AKD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, угол пересечения биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равен $90^\circ$. Это означает, что они взаимно перпендикулярны.

Ответ: Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны (пересекаются под прямым углом).

15. Каково взаимное расположение биссектрис углов параллелограмма (с неравными смежными сторонами), противолежащих друг другу?

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором по условию смежные стороны не равны ($AB \neq BC$). В любом параллелограмме противолежащие стороны параллельны ($AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$), а противолежащие углы равны ($\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$).

Рассмотрим пару противолежащих углов, например, $\angle A$ и $\angle C$, и их биссектрисы. Пусть $l_A$ — биссектриса угла $\angle A$, а $l_C$ — биссектриса угла $\angle C$. Докажем, что эти биссектрисы параллельны, то есть $l_A \parallel l_C$.

Проведём диагональ $AC$. Поскольку $AD \parallel BC$, диагональ $AC$ является секущей, и накрест лежащие углы равны. Обозначим $\angle DAC = \angle BCA = \beta$.

Поскольку $\angle A = \angle C$, обозначим величину этих углов как $2\alpha$. Так как $l_A$ и $l_C$ — биссектрисы, они делят свои углы пополам. То есть, угол между стороной $AD$ и биссектрисой $l_A$ равен $\alpha$. Аналогично, угол между стороной $BC$ и биссектрисой $l_C$ равен $\alpha$.

Теперь найдём углы, которые биссектрисы $l_A$ и $l_C$ образуют с диагональю $AC$. Эти углы являются накрест лежащими для прямых $l_A$, $l_C$ и секущей $AC$. Угол между биссектрисой $l_A$ и диагональю $AC$ равен $|\alpha - \beta|$. Угол между биссектрисой $l_C$ и диагональю $AC$ также равен $|\alpha - \beta|$.

Поскольку величины накрест лежащих углов, образованных прямыми $l_A$ и $l_C$ при пересечении их секущей $AC$, равны, то прямые $l_A$ и $l_C$ параллельны.

Эти биссектрисы не могут совпадать. Если бы биссектрисы совпадали, они бы лежали на одной прямой, проходящей через вершины $A$ и $C$, то есть совпадали бы с диагональю $AC$. Диагональ является биссектрисой угла параллелограмма только в том случае, если этот параллелограмм является ромбом (то есть у него равны смежные стороны). Однако по условию задачи смежные стороны параллелограмма не равны, значит, он не является ромбом. Следовательно, биссектрисы не совпадают и являются двумя различными параллельными прямыми.

Аналогично доказывается, что биссектрисы другой пары противолежащих углов, $\angle B$ и $\angle D$, также параллельны друг другу.

Ответ: Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма (с неравными смежными сторонами) параллельны друг другу.

16. Существует ли параллелограмм, в котором две стороны и одна диагональ соответственно равны:

а) 5 см, 2 см, 2 см;

б) 7 см, 4 см, 11 см;

в) 2 см, 3 см, 4 см;

г) 3 см, 8 см, 10 см?

Для того чтобы определить, может ли существовать параллелограмм с заданными сторонами и диагональю, нужно использовать ключевое свойство геометрии — неравенство треугольника. Любая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Сторонами каждого такого треугольника являются две смежные стороны параллелограмма и сама диагональ. Пусть длины смежных сторон параллелограмма равны $a$ и $b$, а длина диагонали — $d$.

Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. Чтобы треугольник со сторонами $a, b, d$ существовал, должны одновременно выполняться три условия:

$a + b > d$

$a + d > b$

$b + d > a$

Если все три неравенства верны, то такой треугольник может существовать, а значит, может существовать и соответствующий параллелограмм. Проверим это для каждого из предложенных случаев.

а) Даны стороны 5 см, 2 см и диагональ 2 см.

Пусть $a = 5$ см, $b = 2$ см, $d = 2$ см. Мы должны проверить, может ли существовать треугольник со сторонами 5, 2 и 2. Применим неравенство треугольника. Достаточно проверить, будет ли сумма двух меньших сторон больше третьей, самой большой, стороны: $2 + 2 > 5$.

Выполняем сложение: $4 > 5$. Данное неравенство является ложным. Так как одно из условий не выполняется, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Ответ: нет, такой параллелограмм не существует.

б) Даны стороны 7 см, 4 см и диагональ 11 см.

Пусть $a = 7$ см, $b = 4$ см, $d = 11$ см. Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 7, 4 и 11. Проверим условие $a + b > d$.

Подставим значения: $7 + 4 > 11$. Получаем $11 > 11$. Это неравенство ложно, поскольку 11 не больше 11 (они равны). В этом случае точки, являющиеся вершинами «треугольника», лежали бы на одной прямой. Такой треугольник называется вырожденным и не может быть частью параллелограмма.

Ответ: нет, такой параллелограмм не существует.

в) Даны стороны 2 см, 3 см и диагональ 4 см.

Пусть $a = 2$ см, $b = 3$ см, $d = 4$ см. Проверим все три неравенства для треугольника со сторонами 2, 3 и 4:

1. $2 + 3 > 4$, что дает $5 > 4$ (верно).

2. $2 + 4 > 3$, что дает $6 > 3$ (верно).

3. $3 + 4 > 2$, что дает $7 > 2$ (верно).

Все три условия выполняются. Следовательно, треугольник с такими сторонами существует, а значит, и параллелограмм может быть построен.

Ответ: да, такой параллелограмм существует.

г) Даны стороны 3 см, 8 см и диагональ 10 см.

Пусть $a = 3$ см, $b = 8$ см, $d = 10$ см. Проверим все три неравенства для треугольника со сторонами 3, 8 и 10:

1. $3 + 8 > 10$, что дает $11 > 10$ (верно).

2. $3 + 10 > 8$, что дает $13 > 8$ (верно).

3. $8 + 10 > 3$, что дает $18 > 3$ (верно).

Все три условия выполняются. Следовательно, треугольник с такими сторонами существует, а значит, существует и искомый параллелограмм.

Ответ: да, такой параллелограмм существует.

17. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам (рис. 4.7). Найдите периметр получившегося четырехугольника.

Рис. 4.7

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AC$ и $BC$, равными 5 м. То есть $AC = BC = 5$ м. На основании $AB$ выбрана точка $D$, через которую проведены две прямые, параллельные боковым сторонам: $DE \parallel BC$ (где $E$ лежит на $AC$) и $DF \parallel AC$ (где $F$ лежит на $BC$). Необходимо найти периметр получившегося четырехугольника $CEDF$.

1. Определение вида четырехугольника $CEDF$.
По построению, сторона $DE$ параллельна стороне $BC$, а значит и отрезку $FC$. Также по построению, сторона $DF$ параллельна стороне $AC$, а значит и отрезку $EC$. Поскольку у четырехугольника $CEDF$ противолежащие стороны попарно параллельны ($DE \parallel FC$ и $DF \parallel EC$), то $CEDF$ является параллелограммом.

2. Анализ свойств полученных треугольников.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, то углы при основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Прямая $DE$ параллельна $BC$, а $AB$ — секущая, следовательно, соответственные углы равны: $\angle ADE = \angle CBA$. Так как $\angle CAB = \angle CBA$, то получаем, что $\angle DAE = \angle ADE$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Значит, треугольник $ADE$ — равнобедренный, и $AE = DE$.

Рассмотрим треугольник $DBF$. Прямая $DF$ параллельна $AC$, а $AB$ — секущая, следовательно, соответственные углы равны: $\angle BDF = \angle CAB$. Так как $\angle CBA = \angle CAB$, то получаем, что $\angle FBD = \angle BDF$. Следовательно, треугольник $DBF$ также является равнобедренным, и $BF = DF$.

3. Вычисление периметра.
Периметр четырехугольника $CEDF$ равен сумме длин его сторон: $P_{CEDF} = CE + ED + DF + FC$.

Используя равенства, полученные в предыдущем пункте ($DE = AE$ и $DF = BF$), заменим стороны в формуле периметра: $P_{CEDF} = CE + AE + BF + FC$.

Сгруппируем слагаемые: $P_{CEDF} = (CE + AE) + (BF + FC)$.

Как видно из рисунка, сумма длин отрезков $CE$ и $AE$ равна длине стороны $AC$, а сумма длин отрезков $BF$ и $FC$ равна длине стороны $BC$: $CE + AE = AC$ $BF + FC = BC$

Таким образом, периметр четырехугольника $CEDF$ равен сумме длин боковых сторон исходного треугольника: $P_{CEDF} = AC + BC$.

Подставим заданные значения: $P_{CEDF} = 5 \text{ м} + 5 \text{ м} = 10 \text{ м}$.

Ответ: 10 м.

18. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от этого параллелограмма равнобедренный треугольник.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведём биссектрису $AK$ угла $A$. Предположим, что точка $K$ — это точка пересечения биссектрисы со стороной $BC$. В результате от параллелограмма отсекается треугольник $ABK$. Нам нужно доказать, что треугольник $ABK$ является равнобедренным.

1. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Таким образом, сторона $AD$ параллельна стороне $BC$ ($AD \parallel BC$).

2. Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AK$. Углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ являются накрест лежащими. Согласно свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны, следовательно, $\angle DAK = \angle BKA$.

3. По условию, $AK$ является биссектрисой угла $A$. По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части. Следовательно, $\angle DAK = \angle BAK$.

4. Из двух предыдущих пунктов мы имеем два равенства: $\angle DAK = \angle BKA$ и $\angle DAK = \angle BAK$. Отсюда следует, что $\angle BKA = \angle BAK$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Мы установили, что два его угла, $\angle BKA$ и $\angle BAK$, равны между собой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, также равны. В треугольнике $ABK$ напротив угла $\angle BKA$ лежит сторона $AB$, а напротив угла $\angle BAK$ лежит сторона $BK$. Таким образом, $AB = BK$.

Поскольку треугольник $ABK$ имеет две равные стороны, он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойствах параллельных прямых и определении биссектрисы. Пусть в параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса $AK$ угла $A$ ($K$ лежит на $BC$). Так как $AD \parallel BC$, то накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ равны. По определению биссектрисы, $\angle DAK = \angle BAK$. Следовательно, $\angle BKA = \angle BAK$. В треугольнике $ABK$ два угла равны, значит, он равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.