Страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Нарисуйте правильный треугольник; четырехугольник; пятиугольник; шестиугольник. Проверьте правильность нарисованных многоугольников с помощью линейки и транспортира.

Правильный треугольник

Правильный (или равносторонний) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны. Величина каждого внутреннего угла правильного многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Для треугольника $n=3$, поэтому каждый угол равен $\frac{(3-2) \times 180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Как нарисовать:
1. С помощью линейки начертите отрезок AB — это будет первая сторона треугольника. Задайте ее длину (например, 5 см).
2. С помощью транспортира отложите от точки A угол в $60^\circ$ и проведите луч.
3. Аналогично, отложите от точки B угол в $60^\circ$ и проведите второй луч.
4. Точка пересечения этих лучей будет третьей вершиной C. Соедините точки A, B и C.

Как проверить:
1. Линейкой: измерьте длины всех трех сторон (AB, BC, CA). Они должны быть равны между собой (в нашем примере — по 5 см).
2. Транспортиром: измерьте все три угла ($\angle A$, $\angle B$, $\angle C$). Каждый из них должен быть равен $60^\circ$.

Ответ: Для построения правильного треугольника необходимо начертить фигуру с тремя равными сторонами и тремя углами по $60^\circ$. Проверка осуществляется измерением длин сторон линейкой и величин углов транспортиром.

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это квадрат. У него все стороны равны и все углы прямые. Каждый угол равен $\frac{(4-2) \times 180^\circ}{4} = 90^\circ$.

Как нарисовать:
1. С помощью линейки начертите отрезок AB нужной длины (например, 4 см).
2. В точках A и B с помощью транспортира постройте прямые углы ($90^\circ$). Проведите из этих точек перпендикулярные лучи в одну сторону от отрезка AB.
3. На этих лучах отложите отрезки AD и BC, равные по длине стороне AB (4 см).
4. Соедините точки D и C. Полученный четырехугольник ABCD — квадрат.

Как проверить:
1. Линейкой: измерьте все четыре стороны (AB, BC, CD, DA). Их длины должны быть одинаковы.
2. Транспортиром: измерьте все четыре угла. Каждый угол должен быть равен $90^\circ$.

Ответ: Для построения правильного четырехугольника (квадрата) необходимо начертить фигуру с четырьмя равными сторонами и четырьмя углами по $90^\circ$. Проверка осуществляется измерением длин сторон линейкой и величин углов транспортиром.

Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник — это многоугольник с пятью равными сторонами и пятью равными углами. Каждый внутренний угол равен $\frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = 108^\circ$.

Как нарисовать:
1. Начертите первую сторону AB заданной длины (например, 3 см).
2. В точке B с помощью транспортира отложите угол в $108^\circ$ и начертите вторую сторону BC такой же длины (3 см).
3. В точке C отложите угол в $108^\circ$ и начертите третью сторону CD такой же длины.
4. Повторите операцию в точке D для стороны DE.
5. Соедините точку E с исходной точкой A. Если все построения были точны, сторона EA будет иметь ту же длину, а угол $\angle EAB$ будет равен $108^\circ$.

Как проверить:
1. Линейкой: измерьте все пять сторон. Они должны быть равны.
2. Транспортиром: измерьте все пять внутренних углов. Каждый из них должен быть равен $108^\circ$.

Ответ: Для построения правильного пятиугольника необходимо начертить фигуру с пятью равными сторонами и пятью углами по $108^\circ$. Проверка осуществляется измерением длин сторон линейкой и величин углов транспортиром.

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это многоугольник с шестью равными сторонами и шестью равными углами. Каждый внутренний угол равен $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Как нарисовать (простой способ с циркулем):
1. С помощью циркуля начертите окружность произвольного радиуса $R$. Этот радиус будет равен длине стороны будущего шестиугольника.
2. Отметьте на окружности произвольную точку A — это первая вершина.
3. Не меняя раствора циркуля ($R$), установите его иглу в точку A и сделайте на окружности засечку. Это будет вторая вершина B.
4. Переставьте иглу циркуля в точку B и снова сделайте засечку на окружности, чтобы получить точку C.
5. Повторяйте этот шаг, пока не получите шесть вершин (A, B, C, D, E, F). Шестая засечка должна совпасть с начальной точкой A.
6. С помощью линейки последовательно соедините все шесть точек.

Как проверить:
1. Линейкой: измерьте все шесть сторон. Их длины должны быть одинаковы.
2. Транспортиром: измерьте все шесть внутренних углов. Каждый угол должен быть равен $120^\circ$.

Ответ: Для построения правильного шестиугольника необходимо начертить фигуру с шестью равными сторонами и шестью углами по $120^\circ$. Проверка осуществляется измерением длин сторон линейкой и величин углов транспортиром.

6. На сколько треугольников делится выпуклый:

а) четырехугольник;

б) пятиугольник;

в) шестиугольник;

г) $n$-угольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины?

а) четырехугольник

Выпуклый четырехугольник имеет 4 вершины. Если выбрать одну вершину и провести из нее все возможные диагонали, то можно провести только одну диагональ (к противоположной вершине, так как к двум соседним диагонали провести нельзя). Эта одна диагональ разделит четырехугольник на 2 треугольника.

Ответ: 2.

б) пятиугольник

Выпуклый пятиугольник имеет 5 вершин. Из одной вершины можно провести диагонали к вершинам, которые не являются соседними. Таких вершин две. Следовательно, из одной вершины можно провести 2 диагонали. Эти две диагонали разделят пятиугольник на 3 треугольника.

Ответ: 3.

в) шестиугольник

Выпуклый шестиугольник имеет 6 вершин. Из одной вершины можно провести диагонали к трем другим вершинам (исключая саму себя и двух соседей). Эти три диагонали разделят шестиугольник на 4 треугольника.

Ответ: 4.

г) n-угольник

Рассмотрим общий случай для выпуклого $n$-угольника, у которого $n$ вершин. Выберем произвольную вершину. Из этой вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме самой себя и двух соседних с ней. Таким образом, количество вершин, к которым можно провести диагонали, равно $n - 1 - 2 = n-3$.

Каждая из этих $n-3$ диагоналей вместе со сторонами исходного многоугольника образует треугольники. Если пронумеровать вершины от 1 до $n$ и провести диагонали из вершины 1, то образуются треугольники с вершинами $(1, 2, 3), (1, 3, 4), \dots, (1, n-1, n)$. Общее количество таких треугольников составляет $n-2$.

Таким образом, количество треугольников, на которые выпуклый $n$-угольник делится диагоналями, проведенными из одной вершины, равно $n-2$.

Проверим формулу для предыдущих случаев:
Для четырехугольника: $n=4 \implies 4-2=2$ треугольника.
Для пятиугольника: $n=5 \implies 5-2=3$ треугольника.
Для шестиугольника: $n=6 \implies 6-2=4$ треугольника.

Ответ: $n-2$.

7. Сколько всего диагоналей имеет:

а) четырехугольник;

б) пятиугольник;

в) шестиугольник?

Для того чтобы найти общее количество диагоналей в многоугольнике, можно использовать общую формулу. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.

Для многоугольника с $n$ вершинами из каждой вершины можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, за исключением самой себя и двух соседних. То есть, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

Если мы умножим количество вершин $n$ на количество диагоналей, исходящих из каждой вершины ($n-3$), мы получим $n(n-3)$. Однако таким образом каждая диагональ будет посчитана дважды (по одному разу для каждой из ее вершин). Следовательно, полученное произведение необходимо разделить на 2.

Формула для вычисления общего количества диагоналей ($D$) в $n$-угольнике выглядит так:$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Применим эту формулу для решения задачи.

а) четырехугольник
В четырехугольнике $n = 4$ (четыре вершины).
Подставляем значение в формулу:
$D = \frac{4 \cdot (4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: 2

б) пятиугольник
В пятиугольнике $n = 5$ (пять вершин).
Подставляем значение в формулу:
$D = \frac{5 \cdot (5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Ответ: 5

в) шестиугольник
В шестиугольнике $n = 6$ (шесть вершин).
Подставляем значение в формулу:
$D = \frac{6 \cdot (6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$
Ответ: 9

8. Может ли многоугольник иметь:

а) одну диагональ;

б) три диагонали;

в) четыре диагонали;

г) пять диагоналей?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся формулой для вычисления количества диагоналей $D$ в выпуклом $n$-угольнике:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

где $n$ — это количество вершин многоугольника. Для существования такого многоугольника необходимо, чтобы при заданном значении $D$ мы могли найти целое число $n \ge 3$.
Преобразуем формулу в квадратное уравнение относительно $n$:

$2D = n(n-3)$

$n^2 - 3n - 2D = 0$

Мы будем решать это уравнение для каждого из предложенных случаев, ища целочисленные решения $n \ge 3$.

а) одну диагональ
Пусть $D = 1$. Подставим это значение в уравнение $n^2 - 3n - 2D = 0$:
$n^2 - 3n - 2(1) = 0 \implies n^2 - 3n - 2 = 0$
Найдем дискриминант: $d = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$.
Так как дискриминант $d=17$ не является полным квадратом целого числа, уравнение не имеет рациональных корней, а значит и целочисленных. Следовательно, многоугольника с одной диагональю не существует.
Ответ: нет, не может.

б) три диагонали
Пусть $D = 3$. Подставим в уравнение:
$n^2 - 3n - 2(3) = 0 \implies n^2 - 3n - 6 = 0$
Дискриминант: $d = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$.
Дискриминант $d=33$ не является полным квадратом, поэтому целочисленных решений для $n$ нет. Следовательно, многоугольника с тремя диагоналями не существует.
Ответ: нет, не может.

в) четыре диагонали
Пусть $D = 4$. Подставим в уравнение:
$n^2 - 3n - 2(4) = 0 \implies n^2 - 3n - 8 = 0$
Дискриминант: $d = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 9 + 32 = 41$.
Дискриминант $d=41$ не является полным квадратом, поэтому целочисленных решений для $n$ нет. Следовательно, многоугольника с четырьмя диагоналями не существует.
Ответ: нет, не может.

г) пять диагоналей
Пусть $D = 5$. Подставим в уравнение:
$n^2 - 3n - 2(5) = 0 \implies n^2 - 3n - 10 = 0$
Дискриминант: $d = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Так как дискриминант является полным квадратом, уравнение имеет рациональные корни. Найдем их:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
Получаем два корня: $n_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$ и $n_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.
Количество вершин многоугольника не может быть отрицательным ($n>0$), поэтому корень $n_1=-2$ не подходит. Корень $n_2=5$ удовлетворяет условию $n \ge 3$.
Следовательно, существует многоугольник с 5 диагоналями — это пятиугольник.
Проверка: для пятиугольника ($n=5$) число диагоналей равно $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.
Ответ: да, может. Это пятиугольник.

9. Сколько всего диагоналей имеет $n$-угольник?

Чтобы найти общее количество диагоналей в n-угольнике, можно рассуждать следующим образом. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.

Рассмотрим одну из $n$ вершин. Из этой вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме самой себя и двух соседних с ней. Таким образом, из каждой вершины выходит $n - 3$ диагонали. Поскольку в многоугольнике $n$ вершин, можно было бы предположить, что общее число диагоналей равно $n(n - 3)$. Однако при таком подсчете каждая диагональ (например, соединяющая вершину A и C) учитывается дважды: один раз как выходящая из вершины A, и второй раз — как выходящая из вершины C. Поэтому полученное произведение необходимо разделить на 2.

К этой же формуле можно прийти и с помощью комбинаторики. Общее число отрезков, которые можно провести между любыми двумя из $n$ вершин, равно числу сочетаний из $n$ по 2, которое вычисляется как $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$. Это общее число включает в себя как диагонали, так и $n$ сторон многоугольника. Чтобы найти количество диагоналей, нужно из общего числа отрезков вычесть количество сторон:

Количество диагоналей = $\frac{n(n-1)}{2} - n$

Упростим это выражение:

$\frac{n(n-1)}{2} - \frac{2n}{2} = \frac{n^2 - n - 2n}{2} = \frac{n^2 - 3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$

Оба способа приводят к одной и той же итоговой формуле. Проверим ее для нескольких простых многоугольников:

• Для треугольника ($n=3$): $\frac{3(3-3)}{2} = 0$ диагоналей.
• Для четырехугольника ($n=4$): $\frac{4(4-3)}{2} = 2$ диагонали.
• Для пятиугольника ($n=5$): $\frac{5(5-3)}{2} = 5$ диагоналей.

Ответ: Количество диагоналей в n-угольнике вычисляется по формуле $\frac{n(n-3)}{2}$, где $n$ — число вершин многоугольника ($n \ge 3$).

10. Существует ли многоугольник:

a) число диагоналей которого равно числу его сторон;

б) число диагоналей которого меньше числа его сторон;

в) число диагоналей которого больше числа его сторон?

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения числа диагоналей $D$ в выпуклом $n$-угольнике (многоугольнике с $n$ сторонами):

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Здесь $n$ — это число сторон (и вершин) многоугольника. По определению, многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны, поэтому $n \ge 3$, где $n$ — целое число.

а) число диагоналей которого равно числу его сторон

Нам нужно определить, существует ли такое целое $n \ge 3$, для которого выполняется равенство $D=n$.

Подставим формулу для числа диагоналей в это равенство:

$\frac{n(n-3)}{2} = n$

Поскольку $n \ge 3$, то $n \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $n$:

$\frac{n-3}{2} = 1$

$n - 3 = 2$

$n = 5$

Мы получили целое число $n=5$, которое удовлетворяет условию $n \ge 3$. Это означает, что многоугольник с 5 сторонами (пятиугольник) имеет число диагоналей, равное числу его сторон.

Проверка: у пятиугольника $n=5$ сторон. Число диагоналей $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$. Равенство выполняется.

Ответ: да, существует. Это пятиугольник.

б) число диагоналей которого меньше числа его сторон

Нам нужно определить, существует ли такое целое $n \ge 3$, для которого выполняется неравенство $D < n$.

Составим неравенство:

$\frac{n(n-3)}{2} < n$

Поскольку $n \ge 3$, $n$ является положительным числом, поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $n$, не меняя знака неравенства:

$\frac{n-3}{2} < 1$

$n - 3 < 2$

$n < 5$

С учетом исходного условия $n \ge 3$, мы получаем двойное неравенство для $n$: $3 \le n < 5$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, это $n=3$ и $n=4$.

- Для $n=3$ (треугольник): число диагоналей $D = \frac{3(3-3)}{2} = 0$. Число сторон равно 3. $0 < 3$. Условие выполняется.

- Для $n=4$ (четырехугольник): число диагоналей $D = \frac{4(4-3)}{2} = 2$. Число сторон равно 4. $2 < 4$. Условие выполняется.

Ответ: да, существуют. Это треугольник и четырехугольник.

в) число диагоналей которого больше числа его сторон

Нам нужно определить, существует ли такое целое $n \ge 3$, для которого выполняется неравенство $D > n$.

Составим неравенство:

$\frac{n(n-3)}{2} > n$

Разделим обе части на положительное число $n$:

$\frac{n-3}{2} > 1$

$n - 3 > 2$

$n > 5$

Это означает, что любой многоугольник, у которого число сторон больше 5, будет иметь больше диагоналей, чем сторон. Например, шестиугольник ($n=6$), семиугольник ($n=7$) и так далее.

Проверка для $n=6$ (шестиугольник): число диагоналей $D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$. Число сторон равно 6. $9 > 6$. Условие выполняется.

Ответ: да, существуют. Это любой многоугольник, у которого больше 5 сторон (например, шестиугольник, семиугольник и т.д.).

11. Выпуклый многоугольник имеет 14 диагоналей. Сколько у него сторон?

Пусть $n$ — это количество сторон (и вершин) выпуклого многоугольника. Общее число диагоналей $d$ для такого многоугольника можно найти по формуле:

$d = \frac{n(n-3)}{2}$

В условии задачи дано, что многоугольник имеет 14 диагоналей, то есть $d = 14$. Подставим это значение в формулу:

$14 = \frac{n(n-3)}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Сначала умножим обе части уравнения на 2:

$28 = n(n-3)$

Раскроем скобки:

$28 = n^2 - 3n$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n^2 - 3n - 28 = 0$

Для решения этого уравнения найдем его корни, например, с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется как $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=-3$, $c=-28$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$

Корни уравнения находятся по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n = \frac{-(-3) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 11}{2}$

Это дает нам два возможных значения для $n$:

$n_1 = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$n_2 = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Количество сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом, причем $n \ge 3$. Поэтому корень $n = -4$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи и отбрасывается. Единственным верным решением является $n = 7$.

Таким образом, у выпуклого многоугольника 7 сторон.

Ответ: 7.

12. На клетчатой бумаге изобразите какой-нибудь четырехугольник, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$ и $D$ (рис. 2.11). Сколько таких четырехугольников?

Рис. 2.11

Чтобы изобразить четырехугольник, нужно соединить данные четыре точки A, B, C и D отрезками в определенной последовательности. Выбор последовательности определяет форму четырехугольника. Например, если соединить точки в порядке A → B → D → C → A, мы получим четырехугольник ABDC.

Ниже на клетчатой бумаге изображен один из возможных четырехугольников — ABDC.

Ответ: Пример четырехугольника (ABDC) изображен на рисунке выше.

Сколько таких четырехугольников?

Четырехугольник определяется циклическим порядком его четырех вершин. Для четырех различных точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, количество различных способов их соединения в замкнутую ломаную (четырехугольник) равно 3. Это можно вычислить по комбинаторной формуле для числа циклов на $n$ вершинах: $\frac{(n-1)!}{2}$. Для $n=4$ вершин получаем $\frac{(4-1)!}{2} = \frac{3!}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Для данных точек A, B, C и D существуют три уникальных порядка обхода вершин, которые приводят к трем различным четырехугольникам. В данном случае точка D лежит внутри треугольника, образованного точками A, B и C, и все три возможных четырехугольника являются простыми (несамопересекающимися) и вогнутыми.

Вот все три возможных четырехугольника:

1. Четырехугольник ABCD (последовательность вершин A → B → C → D → A):

2. Четырехугольник ABDC (последовательность вершин A → B → D → C → A):

3. Четырехугольник ACBD (последовательность вершин A → C → B → D → A):

Все три четырехугольника различны, так как у них разные наборы сторон.

Ответ: 3.

13. Изобразите два треугольника так, чтобы их общей частью был:

а) треугольник;

б) четырехугольник;

в) пятиугольник;

г) шести-угольник.

а) треугольник

Чтобы общей частью двух треугольников был треугольник, можно расположить их несколькими способами. Самый простой — нарисовать один треугольник (назовем его $T_1$), а затем нарисовать второй ($T_2$) так, чтобы одна из его вершин находилась внутри $T_1$, а противолежащая этой вершине сторона — полностью снаружи $T_1$. Общая часть (пересечение) этих двух треугольников будет представлять собой треугольник, подобный $T_2$.

Ответ: На рисунке синим и красным цветом показаны два треугольника. Область их пересечения, окрашенная в более темный фиолетовый цвет, является треугольником.

б) четырехугольник

Для получения четырехугольника в качестве общей части, можно взять один треугольник ($T_1$) и "срезать" один из его углов другим треугольником ($T_2$). Для этого расположим второй треугольник так, чтобы одна из его сторон пересекала две стороны первого треугольника, а сам второй треугольник полностью покрывал "отсеченную" часть первого, которая является четырехугольником.

Ответ: На рисунке показано расположение двух треугольников, при котором их общая часть (фиолетовая область) является четырехугольником (в данном случае — трапецией).

в) пятиугольник

Чтобы получить пятиугольник, можно расположить два треугольника $T_1$ и $T_2$ следующим образом. Одна вершина треугольника $T_2$ должна находиться внутри треугольника $T_1$. Две стороны $T_2$, выходящие из этой вершины, должны пересекать стороны $T_1$. Третья сторона $T_2$ (его основание) также должна пересекать две стороны $T_1$. В результате пересечения образуется фигура с пятью вершинами.

Ответ: На рисунке показано расположение двух треугольников, в результате которого их общая часть (фиолетовая область) представляет собой пятиугольник.

г) шестиугольник

Наиболее известный способ получить шестиугольник в качестве общей части двух треугольников — это наложить друг на друга два одинаковых равносторонних треугольника, один из которых повернут на 180 градусов относительно другого, так, чтобы их центры совпадали. Такая фигура называется гексаграммой или Звездой Давида. Их общая часть представляет собой правильный шестиугольник. В общем случае, для получения шестиугольника достаточно, чтобы каждая сторона одного треугольника пересекала две стороны другого треугольника.

Ответ: На рисунке показано классическое расположение двух треугольников (Звезда Давида), общая часть которых (фиолетовая область) является правильным шестиугольником.

14. Докажите, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник, обозначим его вершины буквами A, B, C и D.

Проведем диагональ из одной вершины в противолежащую, например, диагональ AC. Эта диагональ разделит четырехугольник ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Для треугольника $\triangle ABC$ сумма углов равна:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$

Для треугольника $\triangle ADC$ сумма углов равна:
$\angle CAD + \angle ADC + \angle DCA = 180^\circ$

Сумма углов четырехугольника ABCD равна сумме его четырех углов: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D$.

Углы $\angle A$ и $\angle C$ четырехугольника состоят из углов образовавшихся треугольников:
$\angle A = \angle BAC + \angle CAD$
$\angle C = \angle BCA + \angle DCA$

Тогда сумма углов четырехугольника равна:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = (\angle BAC + \angle CAD) + \angle ABC + (\angle BCA + \angle DCA) + \angle ADC$

Сгруппируем слагаемые так, чтобы получить суммы углов двух треугольников:
$(\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA) + (\angle CAD + \angle ADC + \angle DCA)$

Подставим известные значения сумм углов каждого треугольника:
$180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$

Таким образом, доказано, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

Ответ: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.