Страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. На сколько частей разбивает плоскость простая замкнутая ломаная?

2. Какая фигура называется многоугольником? Что называется: а) вершинами; б) сторонами; в) углами многоугольника?

3. Какие точки многоугольника называются внутренними?

4. Что называется периметром многоугольника?

5. Какой многоугольник называется $n$-угольником?

6. Какой многоугольник называется правильным?

7. Какой многоугольник называется выпуклым?

8. Что называется диагональю многоугольника?

9. Какой многоугольник содержит все свои диагонали?

1. Согласно теореме Жордана, любая простая замкнутая кривая (в том числе и простая замкнутая ломаная) делит плоскость на две области: внутреннюю (ограниченную) и внешнюю (неограниченную). Сама ломаная является общей границей для этих двух областей.
Ответ: Простая замкнутая ломаная разбивает плоскость на 2 части.

2. Многоугольником называется геометрическая фигура, представляющая собой часть плоскости, ограниченную простой замкнутой ломаной. Элементы многоугольника определяются следующим образом:
а) вершинами; Вершинами многоугольника называются вершины ломаной, которая его ограничивает. Это точки, в которых соединяются два соседних звена (стороны).
б) сторонами; Сторонами многоугольника называются звенья (отрезки) ломаной, которая его ограничивает.
в) углами многоугольника? Углами (или внутренними углами) многоугольника называются углы, образованные двумя его соседними сторонами при каждой вершине. Эти углы лежат во внутренней области многоугольника.
Ответ: Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. Его вершины, стороны и углы — это соответственно вершины, звенья и внутренние углы этой ломаной.

3. Внутренними точками многоугольника называются все точки плоскости, которые лежат внутри области, ограниченной его сторонами, но не на самих сторонах.
Ответ: Точки, лежащие внутри многоугольника, но не на его границе.

4. Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон. Если многоугольник имеет $n$ сторон с длинами $a_1, a_2, \ldots, a_n$, то его периметр $P$ вычисляется по формуле: $P = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$.
Ответ: Сумма длин всех сторон многоугольника.

5. Многоугольник, у которого имеется ровно $n$ вершин (и, соответственно, $n$ сторон), называется $n$-угольником. Например, многоугольник с тремя сторонами называется треугольником (3-угольником), с четырьмя — четырехугольником (4-угольником) и так далее.
Ответ: Многоугольник с $n$ сторонами.

6. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой.
Ответ: Выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

7. Выпуклым многоугольником называется такой многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. Эквивалентное определение: многоугольник является выпуклым, если все его внутренние углы меньше 180° (или $ \pi $ радиан).
Ответ: Многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через его сторону.

8. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две его несоседние вершины.
Ответ: Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.

9. Все свои диагонали целиком содержит выпуклый многоугольник. В невыпуклом (вогнутом) многоугольнике хотя бы одна диагональ будет частично или полностью лежать вне его внутренней области.
Ответ: Выпуклый многоугольник.

1. Укажите, какие из представленных на рисунке 2.7 фигур являются многоугольниками.

1)

2)

3)

4)

Рис. 2.7

Для того чтобы определить, какие из представленных фигур являются многоугольниками, необходимо вспомнить определение многоугольника. Многоугольник — это геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются. Рассмотрим каждую фигуру по отдельности.

1) Данная фигура состоит из двух треугольников, которые имеют одну общую вершину. Граница этой фигуры не является единой замкнутой линией. Фактически, это объединение двух фигур. Следовательно, фигура 1 не является многоугольником.

2) Эта фигура, имеющая форму звезды, ограничена единой замкнутой ломаной линией. Стороны этой ломаной не пересекаются друг с другом (за исключением вершин, где они соединяются). Эта фигура полностью соответствует определению многоугольника. Это невыпуклый десятиугольник.

3) Эта фигура (пентаграмма) является самопересекающимся многоугольником. Её граница представляет собой замкнутую ломаную, однако её стороны пересекаются не только в вершинах. В рамках классического определения, изучаемого в школьном курсе геометрии, такие фигуры не считаются многоугольниками, так как их граница имеет самопересечения.

4) Эта фигура является правильным шестиугольником. Она ограничена замкнутой ломаной линией из шести звеньев (сторон), которые не пересекаются. Эта фигура является выпуклым многоугольником.

Ответ: Многоугольниками являются фигуры, представленные на рисунках 2 и 4.