Страница 27 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой параллелограмм называется прямоугольником?

2. Сформулируйте признак прямоугольника.

3. Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?

1. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. То есть, каждый угол такого параллелограмма равен $90^\circ$. Поскольку у параллелограмма сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, а противолежащие углы равны, то наличие хотя бы одного прямого угла автоматически делает все остальные углы также прямыми.
Ответ:

2. Существует несколько признаков прямоугольника. Основной признак, по которому можно определить, что параллелограмм является прямоугольником, звучит так: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. То есть, если для параллелограмма $ABCD$ выполняется равенство диагоналей $AC = BD$, то он является прямоугольником.
Ответ:

3. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Более развернуто, это длина отрезка, проведенного из произвольной точки одной из параллельных прямых перпендикулярно к другой прямой. Важно отметить, что это расстояние одинаково для любой точки, выбранной на первой прямой.
Ответ:

1. Существует ли четырехугольник, не являющийся прямоугольником, диагонали которого были бы равны?

1. Да, такой четырехугольник существует. Примером такого четырехугольника является равнобокая (или равнобедренная) трапеция, которая не является прямоугольником.

Равнобокая трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна (основания), а две другие стороны (боковые) равны по длине.

Докажем, что у равнобокой трапеции диагонали равны.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По определению, $AB = CD$ и $AD \parallel BC$. Также у равнобокой трапеции равны углы при основании, то есть $\angle BAD = \angle CDA$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ (по определению равнобокой трапеции).

2. Угол $\angle BAD$ равен углу $\angle CDA$ (как углы при основании равнобокой трапеции).

3. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD = \triangle DCA$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. В данном случае нас интересуют стороны $BD$ и $AC$, которые являются диагоналями трапеции. Таким образом, $BD = AC$.

Мы доказали, что у равнобокой трапеции диагонали равны. При этом, в общем случае, равнобокая трапеция не является прямоугольником, так как её углы не обязательно прямые. Прямоугольником является только частный случай равнобокой трапеции, у которой боковые стороны перпендикулярны основаниям.

Ответ: Да, существует. Например, любая равнобокая трапеция, не являющаяся прямоугольником.

2. Верно ли утверждение о том, что если в четырехугольнике один угол прямой, а диагонали равны, то он является прямоугольником?

Нет, данное утверждение неверно.

Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести контрпример — построить четырехугольник, который удовлетворяет заданным условиям (один прямой угол и равные диагонали), но при этом не является прямоугольником.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ в декартовой системе координат.
1. Пусть вершина $B$ находится в начале координат, $B(0, 0)$. Чтобы угол $\angle ABC$ был прямым, разместим вершину $A$ на оси ординат (OY), а вершину $C$ — на оси абсцисс (OX). Возьмем для определенности точки $A(0, 3)$ и $C(4, 0)$. В этом случае угол $\angle ABC$ образован положительными полуосями координат и равен $90^\circ$.

2. Найдем длину диагонали $AC$. По формуле расстояния между точками (или по теореме Пифагора для треугольника $ABC$):
$AC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

3. Согласно условию задачи, диагонали четырехугольника должны быть равны, то есть $BD = AC = 5$. Пусть координаты четвертой вершины $D$ будут $(x, y)$. Тогда длина диагонали $BD$ вычисляется как:
$BD = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

4. Приравнивая длины диагоналей, получаем уравнение:
$\sqrt{x^2 + y^2} = 5$, что эквивалентно $x^2 + y^2 = 25$.
Это уравнение окружности с центром в точке $B(0,0)$ и радиусом 5. Это означает, что любая точка на этой окружности может быть выбрана в качестве вершины $D$.

5. Если бы четырехугольник $ABCD$ был прямоугольником, то его четвертая вершина $D$ должна была бы иметь координаты $(4, 3)$. Проверим, лежит ли эта точка на нашей окружности: $4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$. Условие выполняется, так что прямоугольник является одним из возможных четырехугольников, удовлетворяющих условию.

6. Однако мы можем выбрать любую другую точку на окружности $x^2 + y^2 = 25$. Например, выберем точку $D$ с координатами $(-3, 4)$. Эта точка также лежит на окружности, так как $(-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

7. Теперь рассмотрим четырехугольник, образованный вершинами $A(0, 3)$, $B(0, 0)$, $C(4, 0)$ и $D(-3, 4)$.
Проверим, выполняются ли для него условия задачи:
• Один угол прямой: $\angle ABC = 90^\circ$ по нашему построению.
• Диагонали равны: $AC = 5$ и $BD = 5$ по нашему построению.
Оба условия выполнены.

8. Теперь проверим, является ли этот четырехугольник прямоугольником. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому его противоположные стороны должны быть параллельны. Проверим параллельность сторон $AB$ и $DC$ с помощью векторов.
$\vec{AB} = (0-0, 0-3) = (0, -3)$.
$\vec{DC} = (4-(-3), 0-4) = (7, -4)$.
Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ не коллинеарны (их координаты не пропорциональны), то стороны $AB$ и $DC$ не параллельны.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ не является даже параллелограммом, он не может быть прямоугольником. Мы построили контрпример, который доказывает, что исходное утверждение ложно.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

3. В прямоугольнике острый угол между его диагоналями равен $50^\circ$. Найдите углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке O. По свойству прямоугольника, его диагонали равны (AC = BD) и точкой пересечения делятся пополам ($AO = OC = BO = OD$).

Следовательно, диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника. По условию, острый угол между диагоналями равен $50^\circ$. Пусть это будет угол при вершине O в треугольнике $\triangle AOB$, то есть $\angle AOB = 50^\circ$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, в котором $AO = BO$. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для $\triangle AOB$ имеем:

$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$

Так как $\angle OAB = \angle OBA$, можно записать:

$2 \cdot \angle OAB + 50^\circ = 180^\circ$

Отсюда найдем угол $\angle OAB$:

$2 \cdot \angle OAB = 180^\circ - 50^\circ$

$2 \cdot \angle OAB = 130^\circ$

$\angle OAB = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$

Угол $\angle OAB$ (или $\angle CAB$) — это один из углов, который диагональ AC образует со стороной AB. Он равен $65^\circ$.

Все углы прямоугольника прямые, то есть равны $90^\circ$. Диагональ делит прямой угол на два меньших угла. Например, диагональ AC делит угол $\angle DAB = 90^\circ$ на два угла: $\angle CAB$ и $\angle CAD$. Мы уже нашли, что $\angle CAB = 65^\circ$. Найдем второй угол:

$\angle CAD = \angle DAB - \angle CAB = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$

Таким образом, диагонали образуют со сторонами прямоугольника углы двух разных величин.

Ответ: $25^\circ$ и $65^\circ$.