Страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой параллелограмм называется ромбом?

2. Сформулируйте признак ромба.

3. Какой прямоугольник называется квадратом?

4. В каком случае ромб является квадратом?

5. Сформулируйте признак квадрата.

1. Какой параллелограмм называется ромбом? Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Это означает, что если в параллелограмме ABCD стороны равны ($AB = BC = CD = DA$), то он является ромбом. Ответ: Параллелограмм, у которого все стороны равны.

2. Сформулируйте признак ромба. Признак ромба — это свойство, наличие которого у параллелограмма доказывает, что он является ромбом. Существует несколько ключевых признаков. Во-первых, если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то это ромб. Во-вторых, если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то это ромб. В-третьих, если две смежные стороны параллелограмма равны, то это ромб. Ответ: Параллелограмм является ромбом, если его диагонали перпендикулярны, или если его диагонали делят углы пополам, или если две его смежные стороны равны.

3. Какой прямоугольник называется квадратом? Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Так как у любого прямоугольника противоположные стороны уже равны по определению, для того чтобы он стал квадратом, достаточно равенства двух его смежных (соседних) сторон. Ответ: Прямоугольник, у которого все стороны равны.

4. В каком случае ромб является квадратом? Ромб является квадратом, если у него есть хотя бы один прямой угол, то есть угол, равный $90^\circ$. Поскольку у ромба, как и у любого параллелограмма, сумма соседних углов равна $180^\circ$, а противоположные углы равны, то наличие одного прямого угла гарантирует, что все углы будут прямыми. Также ромб является квадратом, если его диагонали равны по длине. Ответ: Ромб является квадратом, если все его углы прямые или если его диагонали равны.

5. Сформулируйте признак квадрата. Признак квадрата — это условие, при выполнении которого можно утверждать, что фигура является квадратом. Квадрат обладает свойствами и прямоугольника, и ромба, поэтому его признаки являются комбинацией их свойств. Так, параллелограмм является квадратом, если его диагонали равны и перпендикулярны. Прямоугольник является квадратом, если его смежные стороны равны. Ромб является квадратом, если у него есть прямой угол. Ответ: Четырехугольник является квадратом, если он является прямоугольником с равными смежными сторонами или ромбом с прямым углом.

1. Чему равен угол между:

а) диагоналями квадрата:

б) диагональю и стороной квадрата?

а) диагоналями квадрата

Рассмотрим квадрат. По определению, квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Одним из ключевых свойств квадрата является то, что его диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов.

Поскольку диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

Приведем доказательство. Пусть дан квадрат $ABCD$, а его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$ и треугольник $\triangle COB$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $CB$ (как стороны квадрата).
2. Сторона $OB$ — общая.
3. Сторона $AO$ равна стороне $CO$ (по свойству диагоналей параллелограмма, которым является квадрат, они делятся точкой пересечения пополам).

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COB$ по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle AOB = \angle COB$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle COB$ являются смежными, так как лежат на одной прямой $AC$. Их сумма равна $180^\circ$.

$\angle AOB + \angle COB = 180^\circ$

Поскольку $\angle AOB = \angle COB$, мы можем записать:

$2 \cdot \angle AOB = 180^\circ$

$\angle AOB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Таким образом, угол между диагоналями квадрата равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

б) диагональю и стороной квадрата

Рассмотрим квадрат $ABCD$. Найдем угол между диагональю, например $AC$, и прилежащей к ней стороной, например $AD$. Этот угол — $\angle CAD$.

Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. Все углы квадрата прямые, то есть равны $90^\circ$. Диагональ $AC$ делит угол $\angle DAB$ пополам.

Следовательно, искомый угол равен половине прямого угла:

$\angle CAD = \frac{\angle DAB}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Другой способ решения — рассмотреть треугольник, который диагональ отсекает от квадрата. Например, треугольник $\triangle ADC$.

1. Этот треугольник является прямоугольным, так как $\angle D = 90^\circ$ (по определению квадрата).
2. Он также является равнобедренным, так как катеты $AD$ и $CD$ равны (как стороны одного квадрата).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае основанием является гипотенуза $AC$, значит $\angle CAD = \angle ACD$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle D + \angle CAD + \angle ACD = 180^\circ$

$90^\circ + \angle CAD + \angle CAD = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAD = 180^\circ - 90^\circ$

$2 \cdot \angle CAD = 90^\circ$

$\angle CAD = 45^\circ$

Таким образом, угол между диагональю и стороной квадрата равен $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2. Изобразите какой-нибудь квадрат $ABCD$, одна сторона которого показана на рисунке 7.5.

а)

б)

Рис. 7.5

а)

Для построения квадрата $ABCD$ по известной стороне $AB$ необходимо найти координаты вершин $C$ и $D$. В квадрате все стороны равны по длине, а соседние стороны перпендикулярны.

1. Определим смещение по клеткам для стороны $AB$. Чтобы перейти из точки $A$ в точку $B$, нужно сместиться на 3 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Это можно представить в виде вектора с координатами $\vec{AB} = (3, 2)$.

2. Сторона $BC$ должна быть перпендикулярна стороне $AB$ и иметь такую же длину. Вектор, перпендикулярный вектору $(x, y)$, имеет координаты $(-y, x)$ или $(y, -x)$.

3. Для вектора $\vec{AB} = (3, 2)$ перпендикулярными векторами равной длины будут $\vec{v_1} = (-2, 3)$ (смещение на 2 клетки влево и 3 клетки вверх) и $\vec{v_2} = (2, -3)$ (смещение на 2 клетки вправо и 3 клетки вниз). Это значит, что существует два возможных квадрата, которые можно построить на стороне $AB$.

4. Рассмотрим первый случай, используя вектор $\vec{v_1} = (-2, 3)$. Вектор $\vec{BC}$ будет равен этому вектору. Чтобы найти вершину $C$, нужно из точки $B$ сместиться на 2 клетки влево и 3 клетки вверх.

5. Сторона $AD$ должна быть равна и параллельна стороне $BC$. Следовательно, $\vec{AD} = \vec{BC} = (-2, 3)$. Чтобы найти вершину $D$, нужно из точки $A$ также сместиться на 2 клетки влево и 3 клетки вверх.

6. Соединив точки $A$, $B$, $C$ и $D$, мы получим искомый квадрат.

Ответ: Чтобы достроить квадрат, от точки $B$ отсчитайте 2 клетки влево и 3 клетки вверх и поставьте точку $C$. Затем от точки $A$ отсчитайте 2 клетки влево и 3 клетки вверх и поставьте точку $D$. Соедините последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Другой возможный квадрат можно получить, отсчитывая от точек $B$ и $A$ по 2 клетки вправо и 3 клетки вниз.

б)

В данном случае задана сторона $AD$ квадрата $ABCD$. Необходимо найти вершины $B$ и $C$.

1. Определим смещение по клеткам для стороны $AD$. Чтобы перейти из точки $A$ в точку $D$, нужно сместиться на 1 клетку влево и на 4 клетки вверх. Вектор этой стороны $\vec{AD} = (-1, 4)$.

2. Сторона $AB$ перпендикулярна стороне $AD$ и равна ей по длине. Применим правило нахождения перпендикулярного вектора: для $(x, y)$ это $(-y, x)$ или $(y, -x)$.

3. Для вектора $\vec{AD} = (-1, 4)$ перпендикулярными векторами равной длины будут $\vec{v_1} = (-4, -1)$ (смещение на 4 клетки влево и 1 клетку вниз) и $\vec{v_2} = (4, 1)$ (смещение на 4 клетки вправо и 1 клетку вверх).

4. Выберем второй вариант, $\vec{v_2} = (4, 1)$, в качестве вектора для стороны $\vec{AB}$. Чтобы найти вершину $B$, нужно из точки $A$ сместиться на 4 клетки вправо и 1 клетку вверх.

5. В квадрате противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $\vec{DC} = \vec{AB} = (4, 1)$. Чтобы найти вершину $C$, нужно из точки $D$ сместиться на 4 клетки вправо и 1 клетку вверх.

6. Соединив последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$, мы получим искомый квадрат.

Ответ: Чтобы достроить квадрат, от точки $A$ отсчитайте 4 клетки вправо и 1 клетку вверх и поставьте точку $B$. Затем от точки $D$ отсчитайте 4 клетки вправо и 1 клетку вверх и поставьте точку $C$. Соедините последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Другой возможный квадрат можно получить, отсчитывая от точек $A$ и $D$ по 4 клетки влево и 1 клетке вниз.

3. Чему равна меньшая диагональ ромба со стороной $a$ и острым углом в $60^\circ$?

Для решения этой задачи можно рассмотреть треугольник, который образуют две смежные стороны ромба и его меньшая диагональ. Меньшая диагональ ромба всегда лежит напротив его острого угла.

Способ 1: Использование свойств равнобедренного треугольника

Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. По определению ромба, все его стороны равны. Значит, две стороны этого треугольника равны $a$. Угол между этими сторонами является острым углом ромба, который по условию равен $60^\circ$.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a$ и углом при вершине $60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то каждый из углов при основании будет равен:

$\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Получается, что все три угла в этом треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, этот треугольник является не просто равнобедренным, а равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Значит, третья сторона треугольника, которая и является меньшей диагональю ромба, также равна $a$.

Способ 2: Использование теоремы косинусов

Можно также применить теорему косинусов для того же треугольника. Обозначим искомую меньшую диагональ как $d$. По теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)$

Мы знаем, что значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в формулу:

$d^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2}$

$d^2 = 2a^2 - a^2$

$d^2 = a^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

$d = a$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $a$

4. В ромбе одна из диагоналей равна его стороне. Найдите углы ромба.

Пусть сторона ромба равна $a$. По определению, все стороны ромба равны.

Пусть ромб обозначен как $ABCD$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$.

По условию задачи, одна из диагоналей равна стороне. Возьмем, к примеру, диагональ $BD$. Таким образом, $BD = a$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Все его стороны равны друг другу: $AB = AD = BD = a$. Это означает, что треугольник $\triangle ABD$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, один из углов ромба, а именно $\angle A$, равен $60^\circ$.

Используя свойства углов ромба, найдем остальные углы:

Противоположные углы ромба равны.
Следовательно, угол $\angle C$ также равен $60^\circ$, так как он противоположен углу $\angle A$.
$\angle C = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
Углы $\angle A$ и $\angle B$ прилежат к стороне $AB$, значит, их сумма равна $180^\circ$.
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Угол $\angle D$ противоположен углу $\angle B$, поэтому $\angle D = \angle B = 120^\circ$.

Таким образом, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.

5. Изобразите какой-нибудь квадрат $ABCD$, диагональ $AC$ которого показана на рисунке 7.6.

а)

б)

Рис. 7.6

а)

Для построения квадрата $ABCD$ по его диагонали $AC$ используем ключевые свойства диагоналей квадрата: они равны по длине, перпендикулярны друг другу и в точке пересечения делятся пополам.

1. Найдём середину диагонали $AC$. На рисунке отрезок $AC$ расположен горизонтально, и его длина составляет 4 клетки. Его середина, точка $O$, находится на расстоянии 2 клеток от $A$ и от $C$.

2. Вторая диагональ $BD$ должна проходить через точку $O$ и быть перпендикулярной $AC$. Поскольку $AC$ — горизонтальный отрезок, $BD$ будет вертикальным.

3. Длина диагонали $BD$ должна быть равна длине $AC$, то есть 4 клетки. Так как диагонали делятся точкой пересечения пополам, то отрезки $OB$ и $OD$ равны по 2 клетки каждый.

4. Отложим от точки $O$ 2 клетки вверх, чтобы найти точку $B$, и 2 клетки вниз, чтобы найти точку $D$.

5. Соединим последовательно вершины $A, B, C$ и $D$. Полученная фигура является искомым квадратом.

Ответ: Построение квадрата показано на рисунке. Вершины $B$ и $D$ расположены на перпендикуляре к середине диагонали $AC$ на расстоянии, равном половине длины $AC$.

б)

Как и в предыдущем случае, воспользуемся свойствами диагоналей квадрата (равенство, перпендикулярность, деление пополам в точке пересечения).

1. Найдём середину $O$ диагонали $AC$. Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $C$, нужно сдвинуться на 4 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Следовательно, середина $O$ диагонали находится на полпути от $A$ к $C$: на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх от точки $A$. Координаты этой точки (1+2, 2+1) = (3,3) в системе координат, где левый нижний узел - (0,0).

2. Вторая диагональ $BD$ должна проходить через точку $O$, быть равной по длине и перпендикулярной $AC$. Чтобы построить на сетке отрезок, перпендикулярный данному, можно использовать следующее правило: если вектор от середины $O$ к вершине $C$ соответствует смещению на "2 вправо, 1 вверх", то перпендикулярный ему вектор такой же длины будет соответствовать смещению на "1 влево, 2 вверх" или "1 вправо, 2 вниз".

3. Найдём вершины $B$ и $D$. От точки $O$ отложим вектор "1 клетка влево, 2 клетки вверх", чтобы найти точку $B$. Затем от точки $O$ отложим противоположный вектор "1 клетка вправо, 2 клетки вниз", чтобы найти точку $D$.

4. Соединим последовательно вершины $A, B, C$ и $D$. Полученная фигура $ABCD$ — искомый квадрат.

Ответ: Построение квадрата показано на рисунке. Вторая диагональ $BD$ построена так, чтобы она была равна и перпендикулярна диагонали $AC$ и имела с ней общую середину.