Страница 5 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Изобразите прямую и точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.

Для решения этой задачи необходимо разобраться в основных понятиях геометрии, касающихся прямой и точек.

Прямая — это одна из фундаментальных геометрических фигур. На плоскости её можно представить как бесконечную, идеально ровную линию без толщины. При изображении на бумаге мы рисуем лишь её часть, а для обозначения используем строчную (маленькую) латинскую букву, например, $a$, $b$ или $c$.

Точка — это объект, не имеющий размеров. Она указывает на конкретное положение в пространстве. Точки обозначаются прописными (большими) латинскими буквами, например, $A$, $B$, $C$.

Взаимное расположение точки и прямой может быть двух видов:

1. Точка принадлежит прямой (лежит на прямой). Это означает, что прямая проходит через эту точку. Математически это записывается с помощью символа принадлежности: $A \in a$ (читается как "точка А принадлежит прямой а").
2. Точка не принадлежит прямой (не лежит на прямой). Это означает, что прямая не проходит через эту точку. Математически это записывается так: $C \notin a$ (читается как "точка С не принадлежит прямой а").

Теперь изобразим это графически.

Нарисуем прямую линию и обозначим её буквой $a$.На самой прямой поставим две точки и назовём их $A$ и $B$. Эти точки принадлежат прямой $a$.Рядом с прямой, но не на ней, поставим ещё две точки и назовём их $C$ и $D$. Эти точки не принадлежат прямой $a$.

Ответ: На представленном выше чертеже изображена прямая $a$. Точки $A$ и $B$ (синего цвета) принадлежат прямой $a$, что записывается как $A \in a$ и $B \in a$. Точки $C$ и $D$ (красного цвета) не принадлежат прямой $a$, так как они расположены вне её, что записывается как $C \notin a$ и $D \notin a$.

2. Изобразите:

а) четыре точки;

б) пять точек;

в) шесть точек,

никакие три из которых не принадлежат одной прямой. Проведите прямые, проходящие через различные пары из этих точек. Сколько всего таких прямых?

а) Условие, что никакие три точки не принадлежат одной прямой, означает, что каждая пара точек однозначно определяет уникальную прямую. Задача сводится к подсчету количества различных пар, которые можно составить из заданного числа точек. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний. Количество прямых ($K$) можно найти по формуле числа сочетаний из $n$ по 2, где $n$ — общее количество точек:$K = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$
Для четырех точек ($n=4$) количество прямых равно:$K = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: 6

б) Аналогично, для пяти точек ($n=5$) используем ту же формулу:
$K = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
Ответ: 10

в) Для шести точек ($n=6$) расчет будет следующим:
$K = \frac{6(6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
Ответ: 15

3. Изобразите четыре прямые так, чтобы у них было:

а) три точки;

б) четыре точки;

в) пять точек;

г) шесть точек попарных пересечений.

а) три точки

Чтобы получить три точки пересечения, можно расположить прямые следующим образом. Взять три прямые и сделать их параллельными друг другу. Четвертую прямую провести так, чтобы она пересекала все три параллельные прямые. Поскольку параллельные прямые между собой не пересекаются, точками пересечения будут только точки, в которых четвертая прямая пересекает каждую из трех параллельных прямых. Таким образом, мы получим ровно три точки пересечения.

Другой возможный вариант: три прямые пересекаются в одной точке, а четвертая прямая параллельна одной из этих трех прямых. В этом случае у нас будет одна точка, где пересекаются первые три прямые, и две другие точки, где четвертая прямая пересекает две оставшиеся (непараллельные ей) прямые. Всего $1 + 2 = 3$ точки.

Ответ: Необходимо нарисовать три параллельные прямые и одну прямую, пересекающую их все.

б) четыре точки

Для получения четырех точек пересечения существует несколько способов.

Первый способ основан на пересечении прямых в одной точке. Возьмем три прямые и проведем их через одну общую точку. Четвертую прямую нужно провести так, чтобы она пересекала все три первые прямые, но не проходила через их общую точку пересечения. В результате мы получим одну точку, где пересекаются три прямые, и три новые точки на четвертой прямой. Итого $1 + 3 = 4$ точки.

Второй способ использует параллельные прямые. Нужно нарисовать две пары параллельных прямых. То есть, первая прямая параллельна второй, а третья прямая параллельна четвертой, но при этом первая пара прямых не параллельна второй паре. Такая конфигурация образует на плоскости параллелограмм, четыре вершины которого и будут являться искомыми точками пересечения.

Ответ: Можно изобразить три прямые, пересекающиеся в одной точке, и четвертую прямую, пересекающую эти три прямые в трех различных точках. Либо можно изобразить две пары параллельных прямых (параллелограмм).

в) пять точек

Чтобы получить пять точек пересечения, нужно уменьшить максимальное возможное число пересечений (шесть) на единицу. Это достигается, если ввести одно условие параллельности, не создавая при этом тройных пересечений.

Для этого возьмем две прямые и сделаем их параллельными. Две другие прямые проведем так, чтобы они пересекали обе параллельные прямые и, кроме того, пересекались между собой. Важно, чтобы точка пересечения этих двух прямых не лежала ни на одной из параллельных прямых.

В такой конфигурации первая непараллельная прямая дает две точки пересечения с парой параллельных прямых. Вторая непараллельная прямая также дает две точки пересечения. Две непараллельные прямые пересекаются между собой, давая еще одну, пятую, точку. Итого: $2 + 2 + 1 = 5$ точек.

Ответ: Нужно нарисовать две параллельные прямые, которые пересекаются двумя другими прямыми, также пересекающимися между собой в точке, не лежащей на параллельных прямых.

г) шесть точек попарных пересечений

Шесть точек пересечения — это максимальное возможное число для четырех прямых. Оно получается, когда прямые находятся в так называемом "общем положении". Это означает, что должны выполняться два условия: никакие две прямые не параллельны и никакие три прямые не пересекаются в одной точке.

Максимальное число точек пересечения для $n$ прямых в общем положении вычисляется по формуле числа сочетаний из $n$ по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$. Для четырех прямых ($n=4$) это будет $C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$ точек.

Чтобы это изобразить, достаточно нарисовать четыре прямые так, чтобы каждая пересекала каждую, и все точки пересечения были уникальны. Например, можно нарисовать треугольник, образованный тремя прямыми, а четвертую прямую провести так, чтобы она пересекла все три стороны этого треугольника.

Ответ: Необходимо нарисовать четыре прямые так, чтобы никакие две из них не были параллельны и никакие три не пересекались в одной точке.

4. На прямой отмечены:

а) три точки;

б) четыре точки;

в) пять точек;

г) $n$ точек. Сколько имеется лучей, лежащих на данной прямой, с вершинами в этих точках?

а) три точки

Каждая точка на прямой делит эту прямую на два луча, выходящих из этой точки в противоположных направлениях. Если на прямой отмечены 3 точки, то каждая из них является вершиной для двух лучей. Таким образом, общее количество лучей равно произведению количества точек на 2.

Количество лучей = $3 \times 2 = 6$.

Ответ: 6.

б) четыре точки

Аналогично, если на прямой отмечены 4 точки, то из каждой точки исходят два луча. Общее количество лучей будет:

Количество лучей = $4 \times 2 = 8$.

Ответ: 8.

в) пять точек

Если на прямой отмечено 5 точек, то каждая точка служит вершиной для двух лучей. Общее количество лучей составит:

Количество лучей = $5 \times 2 = 10$.

Ответ: 10.

г) n точек

В общем случае, для $n$ точек, отмеченных на прямой, каждая точка является вершиной для двух лучей. Следовательно, общее количество лучей, лежащих на данной прямой с вершинами в этих точках, можно вычислить по формуле:

Количество лучей = $n \times 2 = 2n$.

Ответ: $2n$.

5. На прямой отмечены:

а) три точки;

б) четыре точки;

в) пять точек;

г) $n$ точек.

Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

а) Для нахождения количества отрезков, концами которых являются данные точки, необходимо определить, сколькими способами можно выбрать пару точек из имеющегося множества. Если на прямой отмечены 3 точки, то для образования отрезка нужно выбрать 2 из них. Обозначим точки как А, В и С. Возможные отрезки: АВ, АС, ВС. Таким образом, можно образовать 3 отрезка. Это соответствует числу сочетаний из 3 элементов по 2, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=3$, $k=2$:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$.
Ответ: 3

б) Если на прямой отмечены 4 точки, то количество отрезков будет равно числу сочетаний из 4 по 2. Используем ту же формулу при $n=4$ и $k=2$.
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Можно также перечислить их, обозначив точки как А, В, С, D: АВ, АС, AD, ВС, BD, CD. Всего 6 отрезков.
Ответ: 6

в) Для пяти точек на прямой количество отрезков вычисляется аналогично, как число сочетаний из 5 по 2. Подставляем $n=5$ и $k=2$ в формулу:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Ответ: 10

г) В общем случае, если на прямой отмечено $n$ точек, то каждый отрезок однозначно определяется парой этих точек. Порядок точек в паре не имеет значения (отрезок АВ — это тот же отрезок, что и ВА). Таким образом, задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ элементов по 2. Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 выглядит следующим образом:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
Эта формула позволяет вычислить количество отрезков для любого числа точек $n$. Чтобы выбрать первую точку отрезка, у нас есть $n$ вариантов. Чтобы выбрать вторую — $(n-1)$ вариант. Поскольку порядок не важен, мы делим произведение $n(n-1)$ на 2.
Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$

6. Точка C лежит на прямой между точками A и B. Найдите длину отрезка AB, если:

а) $AC = 2 \text{ см}$, $CB = 3 \text{ см}$;

б) $AC = 3 \text{ дм}$, $CB = 4 \text{ дм}$;

в) $AC = 12 \text{ м}$, $CB = 5 \text{ м}$.

а) По условию задачи точка C лежит на прямой между точками A и B. Это значит, что отрезок AB состоит из двух отрезков: AC и CB. Чтобы найти длину всего отрезка AB, нужно сложить длины его частей. Используем формулу: $AB = AC + CB$.
Подставим известные значения: $AC = 2$ см и $CB = 3$ см.
$AB = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Ответ: 5 см.

б) Аналогично предыдущему пункту, находим длину отрезка AB, складывая длины отрезков AC и CB по формуле $AB = AC + CB$.
Подставим данные значения: $AC = 3$ дм и $CB = 4$ дм.
$AB = 3 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 7 \text{ дм}$.
Ответ: 7 дм.

в) Снова применяем ту же формулу $AB = AC + CB$.
Подставим значения из условия: $AC = 12$ м и $CB = 5$ м.
$AB = 12 \text{ м} + 5 \text{ м} = 17 \text{ м}$.
Ответ: 17 м.

7. Точки A, B и C принадлежат одной прямой. Известно, что $AB = 4$ см, $AC = 7$ см, $BC = 3$ см. Какая из точек A, B, C лежит между двумя другими?

Поскольку точки A, B и C лежат на одной прямой, одна из них обязательно находится между двумя другими. Чтобы определить, какая именно точка является средней, нужно применить аксиому о расположении точек на прямой: длина отрезка, соединяющего две крайние точки, равна сумме длин отрезков, соединяющих крайние точки со средней. Иными словами, нужно проверить, сумма длин каких двух отрезков равна длине третьего.
Нам даны длины отрезков: $AB = 4$ см, $AC = 7$ см и $BC = 3$ см.
Рассмотрим три возможных варианта:
1. Предположим, что точка B лежит между точками A и C. В этом случае должно выполняться равенство $AB + BC = AC$. Подставим числовые значения: $4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$. Равенство $7 = 7$ является верным. Это означает, что такое расположение точек возможно.
2. Предположим, что точка A лежит между точками B и C. В этом случае должно выполняться равенство $BA + AC = BC$. Подставим значения: $4 \text{ см} + 7 \text{ см} = 3 \text{ см}$. Равенство $11 = 3$ является неверным. Следовательно, точка A не может лежать между B и C.
3. Предположим, что точка C лежит между точками A и B. В этом случае должно выполняться равенство $AC + CB = AB$. Подставим значения: $7 \text{ см} + 3 \text{ см} = 4 \text{ см}$. Равенство $10 = 4$ является неверным. Значит, и этот вариант невозможен.
Единственный случай, который удовлетворяет условию задачи, — это первый.
Ответ: Точка B лежит между двумя другими.

8. Могут ли точки $A$, $B$, $C$ принадлежать одной прямой, если $AB = 2 \text{ см}$, $BC = 3 \text{ см}$, $AC = 4 \text{ см}$?

Для того чтобы три точки $A$, $B$ и $C$ принадлежали одной прямой, необходимо, чтобы одна из точек лежала между двумя другими. Если одна точка лежит между двумя другими, то расстояние между крайними точками равно сумме расстояний от них до средней точки. Иначе говоря, длина наибольшего отрезка должна быть равна сумме длин двух других.

В нашем случае даны длины отрезков: $AB = 2$ см, $BC = 3$ см, $AC = 4$ см.

Проверим все возможные варианты расположения точек на одной прямой:

1. Точка B лежит между A и C. В этом случае должно выполняться равенство $AB + BC = AC$.
Подставляем значения: $2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Сравниваем полученную сумму с длиной отрезка $AC$: $5 \text{ см} \neq 4 \text{ см}$.
Это условие не выполняется.

2. Точка A лежит между B и C. В этом случае должно выполняться равенство $BA + AC = BC$.
Подставляем значения: $2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 6 \text{ см}$.
Сравниваем полученную сумму с длиной отрезка $BC$: $6 \text{ см} \neq 3 \text{ см}$.
Это условие также не выполняется.

3. Точка C лежит между A и B. В этом случае должно выполняться равенство $AC + CB = AB$.
Подставляем значения: $4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.
Сравниваем полученную сумму с длиной отрезка $AB$: $7 \text{ см} \neq 2 \text{ см}$.
Это условие тоже не выполняется.

Поскольку ни одно из условий, необходимых для принадлежности трех точек одной прямой, не выполнено, точки $A$, $B$ и $C$ не могут лежать на одной прямой. Эти точки образуют вершины треугольника, так как для данных длин отрезков выполняется неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон больше третьей: $2+3>4$, $2+4>3$, $3+4>2$).

Ответ: Нет, не могут.

9. На прямой последовательно отложены три отрезка: $AB$, $BC$ и $CD$ так, что $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $CD = 4$ см. Найдите расстояние между серединами отрезков $AB$ и $CD$.

Пусть на прямой последовательно расположены точки A, B, C и D. По условию задачи известны длины отрезков: $AB = 3$ см, $BC = 5$ см и $CD = 4$ см.

Необходимо найти расстояние между серединами отрезков AB и CD. Обозначим середину отрезка AB точкой M, а середину отрезка CD точкой N. Искомое расстояние — это длина отрезка MN.

Так как точки A, B, C, D расположены последовательно, то точки M и N также будут расположены на этой прямой. Расстояние MN будет складываться из трех частей: второй половины отрезка AB (отрезок MB), всего отрезка BC и первой половины отрезка CD (отрезок CN). Математически это можно записать так: $MN = MB + BC + CN$.

1. Найдем длину отрезка MB. Точка M является серединой отрезка AB, следовательно, она делит его на две равные части. Длина отрезка MB равна половине длины отрезка AB:$MB = \frac{AB}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$ см.

2. Найдем длину отрезка CN. Точка N является серединой отрезка CD, следовательно, она делит его на две равные части. Длина отрезка CN равна половине длины отрезка CD:$CN = \frac{CD}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

3. Теперь вычислим искомое расстояние MN, сложив длины отрезков MB, BC и CN. Длина отрезка BC дана по условию и равна 5 см.$MN = MB + BC + CN = 1,5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 2 \text{ см} = 8,5$ см.

Ответ: 8,5 см.

10. Сколько имеется углов, смежных данному?

Сколько имеется углов, смежных данному?

Для ответа на этот вопрос, давайте вспомним определение смежных углов и проанализируем, как они образуются.

Смежными углами называются два угла, у которых одна сторона является общей, а две другие стороны лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами). Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Теперь рассмотрим любой заданный угол. Назовем его $\angle AOB$, где $O$ — вершина, а $OA$ и $OB$ — его стороны (лучи).

Чтобы построить угол, смежный с $\angle AOB$, нам нужно выполнить следующие действия:

1. Выбрать одну из сторон данного угла, например, сторону $OA$.
2. Продолжить эту сторону за вершину $O$, получив новый луч, скажем, $OC$. Лучи $OA$ и $OC$ вместе образуют прямую линию.
3. Угол, образованный общей стороной $OB$ и новым лучом $OC$, то есть $\angle BOC$, будет смежным с исходным углом $\angle AOB$. Это первый смежный угол.

У нашего исходного угла $\angle AOB$ есть и вторая сторона — $OB$. Мы можем проделать ту же операцию и с ней:

1. Выбрать сторону $OB$.
2. Продолжить ее за вершину $O$, получив новый луч $OD$. Лучи $OB$ и $OD$ вместе образуют прямую линию.
3. Угол, образованный общей стороной $OA$ и новым лучом $OD$, то есть $\angle AOD$, также будет смежным с исходным углом $\angle AOB$. Это второй смежный угол.

Таким образом, у любого заданного угла есть ровно две стороны. Каждую из этих сторон можно продлить, чтобы образовать смежный угол. Следовательно, для любого данного угла существует ровно два смежных ему угла.

Стоит отметить, что эти два смежных угла ($\angle BOC$ и $\angle AOD$ в нашем примере) являются вертикальными друг другу, а значит, они равны.

Ответ: 2.

11. Сколько имеется углов, вертикальных с данным?

Вертикальные углы — это пара углов, которые образуются при пересечении двух прямых. Стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Такие углы всегда равны между собой.

Если рассмотреть пересечение двух прямых, то в точке их пересечения образуется четыре угла. Эти углы можно разбить на две пары вертикальных углов. Для любого выбранного из этих четырех углов существует только один угол, который расположен напротив него и является ему вертикальным. Два других угла являются для него смежными (в сумме с каждым из них он составляет $180^\circ$).

Следовательно, для любого данного угла существует только один вертикальный ему угол.

Ответ: 1

12. Изобразите три попарно пересекающиеся прямые, не пересекающиеся в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

Для решения задачи необходимо сначала представить, как расположены три прямые, удовлетворяющие заданным условиям, а затем подсчитать количество частей, на которые они делят плоскость.

Описание расположения прямых

Условие "попарно пересекающиеся прямые" означает, что никакие две из трех прямых не параллельны друг другу. Каждая прямая пересекает две другие. Условие "не пересекающиеся в одной точке" означает, что три точки пересечения (по одной для каждой пары прямых) не совпадают. Такое расположение прямых на плоскости образует треугольник, ограниченный отрезками этих прямых.

Подсчет количества частей плоскости

Подсчитать количество частей, на которые прямые разбивают плоскость, можно несколькими способами.

Способ 1: Пошаговое добавление прямых
1. Проведем первую прямую. Она делит плоскость на 2 части.
2. Проведем вторую прямую так, чтобы она пересекала первую. Вторая прямая проходит через 2 уже существующие части и делит каждую из них надвое. Таким образом, добавляется 2 новые части. Общее количество частей становится $2 + 2 = 4$.
3. Проведем третью прямую. Согласно условию, она должна пересечь первые две прямые в двух разных точках. Проходя по плоскости, она пересекает 3 из 4 существующих областей. Каждую из этих трех областей она делит на две, следовательно, добавляет 3 новые части. Итоговое количество частей: $4 + 3 = 7$.

Способ 2: Использование общей формулы
Существует общая формула для нахождения максимального числа областей $L_n$, на которые $n$ прямых могут разделить плоскость. Этот случай как раз соответствует "общему положению" прямых: никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Формула выглядит так:
$L_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$
Для нашего случая, где количество прямых $n=3$:
$L_3 = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{3 \cdot 4}{2} + 1 = \frac{12}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату. Три прямые, расположенные указанным образом, делят плоскость на 7 частей: одна ограниченная область (внутренний треугольник) и шесть неограниченных областей.

Ответ: 7.

13. Один из углов, который получается при пересечении двух прямых, равен $30^\circ$. Чему равны остальные углы?

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Пусть данный по условию угол равен $30°$. Обозначим его как $\angle 1$.

При пересечении двух прямых образуются пары вертикальных и смежных углов.

Вертикальные углы — это углы, которые находятся друг напротив друга. Они всегда равны. Угол, вертикальный к $\angle 1$, назовем его $\angle 3$. Его величина будет такой же, как и у $\angle 1$.

$\angle 3 = \angle 1 = 30°$

Смежные углы — это углы, которые имеют общую сторону, а две другие их стороны лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180°$. Углы, смежные с $\angle 1$, обозначим как $\angle 2$ и $\angle 4$.

Найдем величину угла $\angle 2$:

$\angle 1 + \angle 2 = 180°$

$\angle 2 = 180° - \angle 1 = 180° - 30° = 150°$

Угол $\angle 4$ также является смежным к $\angle 1$, поэтому его величина тоже $150°$. Кроме того, $\angle 4$ является вертикальным углом к $\angle 2$, поэтому они равны.

$\angle 4 = \angle 2 = 150°$

Таким образом, остальные три угла, образовавшиеся при пересечении прямых, равны $30°$, $150°$ и $150°$.

Ответ: $30°, 150°, 150°$.

14. Один из двух углов, образованных при пересечении двух прямых, на $20^\circ$ меньше другого. Найдите эти углы.

При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны друг другу. Смежные углы в сумме составляют 180°. Поскольку в условии задачи говорится об углах разной величины, речь идет о смежных углах.

Пусть $x$ — величина большего из двух смежных углов.

Тогда, согласно условию, величина меньшего угла будет $x - 20°$.

Сумма смежных углов равна 180°, поэтому мы можем составить уравнение:

$x + (x - 20°) = 180°$

Решим это уравнение:

$2x - 20° = 180°$

$2x = 180° + 20°$

$2x = 200°$

$x = \frac{200°}{2}$

$x = 100°$

Мы нашли величину большего угла, она равна 100°.

Теперь найдем величину меньшего угла:

$100° - 20° = 80°$

Таким образом, два искомых угла равны 100° и 80°.

Ответ: 80° и 100°.

15. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в четыре раза больше другого. Найдите эти углы.

При пересечении двух прямых образуются две пары углов: смежные и вертикальные. Вертикальные углы равны между собой, а сумма смежных углов всегда составляет $180^\circ$.
В условии задачи сказано, что один из углов в четыре раза больше другого. Если бы это были вертикальные углы, они были бы равны, что противоречит условию. Следовательно, речь идет о смежных углах.
Пусть величина меньшего угла равна $x$. Тогда величина большего угла будет $4x$.
Так как эти углы смежные, их сумма равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:
$x + 4x = 180^\circ$
$5x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{5}$
$x = 36^\circ$
Итак, меньший угол равен $36^\circ$. Теперь найдем больший угол:
$4x = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$
При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов. Это означает, что два угла из четырех, образованных при пересечении, равны $36^\circ$, а два других равны $144^\circ$.
Проверим: $36^\circ + 144^\circ = 180^\circ$. Условие о смежных углах выполняется.
Ответ: Два угла равны $36^\circ$, два других угла равны $144^\circ$.

16. Сумма трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 306°. Найдите больший из них.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла, сумма которых составляет полный угол, то есть $360^\circ$.

Обозначим эти четыре угла как $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$. По условию задачи, сумма трех из них равна $306^\circ$. Пусть, для определенности, это будут $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$.

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 306^\circ$

Зная, что сумма всех четырех углов равна $360^\circ$, мы можем найти величину четвертого угла, $\angle 4$:

$\angle 4 = 360^\circ - (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3)$

$\angle 4 = 360^\circ - 306^\circ = 54^\circ$

При пересечении двух прямых образуются две пары равных между собой вертикальных углов. Также образуются смежные углы, сумма которых равна $180^\circ$.

Мы нашли, что один из углов равен $54^\circ$. Угол, вертикальный ему, также будет равен $54^\circ$. Таким образом, у нас есть два угла по $54^\circ$.

Оставшиеся два угла являются смежными к углам в $54^\circ$. Найдем величину одного из них:

$180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$

Второй из оставшихся углов является вертикальным к найденному, поэтому он также равен $126^\circ$.

Итак, при пересечении двух прямых образовались углы: $54^\circ$, $126^\circ$, $54^\circ$ и $126^\circ$.

Проверим исходное условие: сумма трех углов должна быть $306^\circ$. Это могут быть только два больших угла и один малый: $126^\circ + 126^\circ + 54^\circ = 306^\circ$. Условие выполняется.

Требуется найти больший из этих углов. Сравнивая $54^\circ$ и $126^\circ$, видим, что больший угол равен $126^\circ$.

Ответ: 126.

17. Докажите, что если два угла равны, то равны и смежные им углы.

Пусть даны два равных угла, обозначим их как $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $. По условию задачи $ \angle 1 = \angle 2 $. Пусть $ \angle 3 $ — это угол, смежный с углом $ \angle 1 $, а $ \angle 4 $ — это угол, смежный с углом $ \angle 2 $. По определению смежных углов, их сумма равна $ 180^\circ $. Следовательно, мы можем записать следующие равенства: $ \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ $ и $ \angle 2 + \angle 4 = 180^\circ $. Выразим из этих равенств величины смежных углов $ \angle 3 $ и $ \angle 4 $: $ \angle 3 = 180^\circ - \angle 1 $ и $ \angle 4 = 180^\circ - \angle 2 $. Так как по условию $ \angle 1 = \angle 2 $, то правые части этих двух выражений равны, поскольку от $ 180^\circ $ вычитаются равные величины. Из этого следует, что и левые части выражений также равны, то есть $ \angle 3 = \angle 4 $. Таким образом, доказано, что если два угла равны, то и смежные им углы равны. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.