Страница 6 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. С помощью транспортира постройте углы величиной $10^\circ, 30^\circ, 70^\circ, 100^\circ, 150^\circ$.

Построение угла 10°
1. С помощью линейки начертите произвольный луч $OA$. Точка $O$ будет являться вершиной угла.
2. Приложите транспортир к лучу $OA$ так, чтобы его центр совпал с точкой $O$, а сам луч прошел через отметку $0°$ на шкале транспортира.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $10°$ и поставьте в этом месте точку $B$.
4. Уберите транспортир и с помощью линейки проведите луч $OB$, соединив точку $O$ с точкой $B$.
Полученный угол $\angle AOB$ является искомым.
Ответ: Построен угол $\angle AOB = 10°$.

Построение угла 30°
1. С помощью линейки начертите произвольный луч $OC$. Точка $O$ будет являться вершиной угла.
2. Приложите транспортир к лучу $OC$ так, чтобы его центр совпал с точкой $O$, а сам луч прошел через отметку $0°$ на шкале транспортира.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $30°$ и поставьте в этом месте точку $D$.
4. Уберите транспортир и с помощью линейки проведите луч $OD$, соединив точку $O$ с точкой $D$.
Полученный угол $\angle COD$ является искомым.
Ответ: Построен угол $\angle COD = 30°$.

Построение угла 70°
1. С помощью линейки начертите произвольный луч $OE$. Точка $O$ будет являться вершиной угла.
2. Приложите транспортир к лучу $OE$ так, чтобы его центр совпал с точкой $O$, а сам луч прошел через отметку $0°$ на шкале транспортира.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $70°$ и поставьте в этом месте точку $F$.
4. Уберите транспортир и с помощью линейки проведите луч $OF$, соединив точку $O$ с точкой $F$.
Полученный угол $\angle EOF$ является искомым.
Ответ: Построен угол $\angle EOF = 70°$.

Построение угла 100°
1. С помощью линейки начертите произвольный луч $OG$. Точка $O$ будет являться вершиной угла.
2. Приложите транспортир к лучу $OG$ так, чтобы его центр совпал с точкой $O$, а сам луч прошел через отметку $0°$ на шкале транспортира.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $100°$ и поставьте в этом месте точку $H$.
4. Уберите транспортир и с помощью линейки проведите луч $OH$, соединив точку $O$ с точкой $H$.
Полученный тупой угол $\angle GOH$ является искомым.
Ответ: Построен угол $\angle GOH = 100°$.

Построение угла 150°
1. С помощью линейки начертите произвольный луч $OK$. Точка $O$ будет являться вершиной угла.
2. Приложите транспортир к лучу $OK$ так, чтобы его центр совпал с точкой $O$, а сам луч прошел через отметку $0°$ на шкале транспортира.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $150°$ и поставьте в этом месте точку $L$.
4. Уберите транспортир и с помощью линейки проведите луч $OL$, соединив точку $O$ с точкой $L$.
Полученный тупой угол $\angle KOL$ является искомым.
Ответ: Построен угол $\angle KOL = 150°$.

10. Некоторый угол равен $38^\circ$. Чему равен смежный с ним угол?

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой. Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна развёрнутому углу, то есть $180^\circ$.

Пусть данный в условии угол равен $\alpha$, а смежный с ним угол, который необходимо найти, — $\beta$.

По условию задачи нам известно, что $\alpha = 38^\circ$.

Используя свойство о сумме смежных углов, запишем равенство:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Чтобы найти величину угла $\beta$, выразим его из этого уравнения:

$\beta = 180^\circ - \alpha$

Теперь подставим известное значение $\alpha$ и произведем вычисление:

$\beta = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$

Таким образом, величина смежного угла составляет $142^\circ$.

Ответ: $142^\circ$

20. Найдите градусные величины двух смежных углов, если один из них в два раза больше другого.

Решение:
По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой, дополняя друг друга до развернутого угла. Ключевое свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.
Пусть градусная мера меньшего угла равна $x$.
Согласно условию задачи, второй угол в два раза больше первого. Следовательно, его градусная мера будет равна $2x$.
Используя свойство о сумме смежных углов, составим уравнение:
$x + 2x = 180^\circ$
Теперь решим полученное уравнение:
$3x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{3}$
$x = 60^\circ$
Таким образом, мы нашли градусную меру меньшего угла — она составляет $60^\circ$.
Теперь найдем градусную меру второго, большего угла:
$2x = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$
Проверим наше решение: сумма углов $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$, и один угол ($120^\circ$) ровно в два раза больше другого ($60^\circ$). Условия задачи полностью выполнены.
Ответ: 60°, 120°.

21. Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, равного $60^\circ$. Найдите угол $AOC$, если он на $30^\circ$ больше угла $BOC$.

Согласно условию задачи, луч ОС проходит внутри угла АОВ. Это означает, что угол АОВ разделен на два смежных угла: АОС и ВОС. Сумма этих двух углов равна величине исходного угла АОВ.

Математически это можно записать как:

$ \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC $

Нам дано, что $ \angle AOB = 60^\circ $. Следовательно, уравнение принимает вид:

$ \angle AOC + \angle BOC = 60^\circ $

Также в условии сказано, что угол АОС на $30^\circ$ больше угла ВОС. Запишем это в виде еще одного уравнения:

$ \angle AOC = \angle BOC + 30^\circ $

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Для ее решения воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $ \angle AOC $ из второго уравнения в первое:

$ (\angle BOC + 30^\circ) + \angle BOC = 60^\circ $

Обозначим величину угла ВОС переменной $x$, то есть $ \angle BOC = x $. Тогда $ \angle AOC = x + 30^\circ $. Наше уравнение примет вид:

$ (x + 30^\circ) + x = 60^\circ $

Решим полученное линейное уравнение:

$ 2x + 30^\circ = 60^\circ $

$ 2x = 60^\circ - 30^\circ $

$ 2x = 30^\circ $

$ x = \frac{30^\circ}{2} $

$ x = 15^\circ $

Таким образом, мы нашли величину угла ВОС: $ \angle BOC = 15^\circ $.

Теперь, зная $ \angle BOC $, мы можем найти искомую величину угла АОС:

$ \angle AOC = \angle BOC + 30^\circ = 15^\circ + 30^\circ = 45^\circ $

Ответ: 45°.

22. Колесо имеет:
а) 10 спиц;
б) 12 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

а) Спицы в колесе расположены равномерно и делят полный круг, составляющий $360^\circ$, на равные секторы. Количество таких секторов равно количеству спиц. Чтобы найти величину угла между двумя соседними спицами, необходимо полный угол разделить на количество спиц. Для колеса с 10 спицами вычисление будет следующим: $ \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ $.Ответ: $36^\circ$.

б) По аналогии с предыдущим пунктом, для колеса с 12 спицами мы также делим полный угол $360^\circ$ на количество спиц. Вычисление будет таким: $ \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ $.Ответ: $30^\circ$.

23. Чему равен угол между минутной и часовой стрелками на часах в:

а) 3 ч;

б) 6 ч;

в) 5 ч?

Для определения угла между стрелками часов воспользуемся тем, что полный круг циферблата составляет $360^\circ$. На циферблате 12 часовых делений, значит, угол между двумя соседними делениями равен $360^\circ / 12 = 30^\circ$. Во всех случаях, когда время ровное (например, 3:00, 6:00), минутная стрелка указывает на 12. Примем это положение за $0^\circ$.

а) 3 ч

В 3 часа ровно минутная стрелка указывает на "12" (положение $0^\circ$), а часовая стрелка указывает ровно на "3". Чтобы найти угол, нужно посчитать количество часовых делений между стрелками и умножить на $30^\circ$. Между "12" и "3" находятся 3 часовых деления.

Угол равен: $3 \times 30^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) 6 ч

В 6 часов ровно минутная стрелка указывает на "12" (положение $0^\circ$), а часовая стрелка указывает ровно на "6". Между "12" и "6" находятся 6 часовых делений.

Угол равен: $6 \times 30^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

в) 5 ч

В 5 часов ровно минутная стрелка указывает на "12" (положение $0^\circ$), а часовая стрелка указывает ровно на "5". Между "12" и "5" находятся 5 часовых делений.

Угол равен: $5 \times 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.

21. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Дано:

Пусть даны два смежных угла, $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Их общая вершина — точка $O$, общая сторона — луч $OC$, а стороны $OA$ и $OB$ являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой $AB$.
Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно: $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$.
Пусть луч $OM$ — биссектриса угла $\angle AOC$.
Пусть луч $ON$ — биссектриса угла $\angle BOC$.

Доказать:

Биссектрисы $OM$ и $ON$ перпендикулярны, то есть угол между ними $\angle MON$ равен $90^\circ$.

Доказательство:

1. По определению биссектрисы угла, луч $OM$ делит угол $\angle AOC$ на два равных угла. Следовательно, величина угла $\angle MOC$ равна половине величины угла $\angle AOC$:
$\angle MOC = \frac{1}{2}\angle AOC$.

2. Аналогично, по определению биссектрисы, луч $ON$ делит угол $\angle BOC$ на два равных угла. Следовательно, величина угла $\angle CON$ равна половине величины угла $\angle BOC$:
$\angle CON = \frac{1}{2}\angle BOC$.

3. Угол $\angle MON$, образованный биссектрисами $OM$ и $ON$, складывается из углов $\angle MOC$ и $\angle CON$, так как луч $OC$ проходит между лучами $OM$ и $ON$. Таким образом, величина угла $\angle MON$ равна сумме величин этих углов:
$\angle MON = \angle MOC + \angle CON$.

4. Подставим в это равенство выражения для $\angle MOC$ и $\angle CON$ из пунктов 1 и 2:
$\angle MON = \frac{1}{2}\angle AOC + \frac{1}{2}\angle BOC$.

5. Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle MON = \frac{1}{2}(\angle AOC + \angle BOC)$.

6. Как было указано в условии, сумма смежных углов $\angle AOC$ и $\angle BOC$ равна $180^\circ$. Подставим это значение в полученное выражение:
$\angle MON = \frac{1}{2}(180^\circ)$.

7. Выполним вычисление:
$\angle MON = 90^\circ$.

Так как угол между биссектрисами $OM$ и $ON$ равен $90^\circ$, эти биссектрисы перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Угол между биссектрисами смежных углов равен половине суммы этих углов. Поскольку сумма смежных углов всегда составляет $180^\circ$, угол между их биссектрисами равен $\frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Следовательно, биссектрисы смежных углов всегда перпендикулярны.

1. Треугольники $ABC$ и $EFG$ равны. Известно, что $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $AC = 7$ см. Найдите стороны треугольника $EFG$.

По определению равных треугольников, у них равны все соответствующие элементы: стороны и углы. В условии сказано, что треугольники $ABC$ и $EFG$ равны, что можно записать как $\triangle ABC = \triangle EFG$.

Порядок вершин в записи равенства треугольников указывает на соответствие их сторон. Это означает, что сторона, соединяющая первую и вторую вершины в первом треугольнике ($AB$), равна стороне, соединяющей первую и вторую вершины во втором треугольнике ($EF$). Аналогично для других сторон:

Сторона $AB$ соответствует стороне $EF$, следовательно, $EF = AB$.
Сторона $BC$ соответствует стороне $FG$, следовательно, $FG = BC$.
Сторона $AC$ соответствует стороне $EG$, следовательно, $EG = AC$.

Из условия задачи нам известны длины сторон треугольника $ABC$: $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $AC = 7$ см.

Используя эти данные, находим длины сторон треугольника $EFG$:

$EF = AB = 5$ см.
$FG = BC = 6$ см.
$EG = AC = 7$ см.

Ответ: $EF = 5$ см, $FG = 6$ см, $EG = 7$ см.

2. Треугольники $ABC$ и $EFG$ равны. Известно, что $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 80^\circ$. Найдите углы треугольника $EFG$.

По условию задачи треугольники $ABC$ и $EFG$ равны. Равенство треугольников, записанное как $\triangle ABC = \triangle EFG$, означает, что их соответствующие элементы (углы и стороны) равны. Порядок букв в названии треугольников указывает на соответствие вершин:

- Вершина $A$ соответствует вершине $E$.
- Вершина $B$ соответствует вершине $F$.
- Вершина $C$ соответствует вершине $G$.

Следовательно, соответствующие углы этих треугольников равны:
$\angle E = \angle A$
$\angle F = \angle B$
$\angle G = \angle C$

В условии даны значения углов треугольника $ABC$: $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 80^\circ$.

Подставив эти значения, мы можем найти углы треугольника $EFG$:
$\angle E = \angle A = 40^\circ$
$\angle F = \angle B = 60^\circ$
$\angle G = \angle C = 80^\circ$

Для проверки можно сложить углы треугольника $EFG$: $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$. Сумма углов в треугольнике должна быть равна $180^\circ$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $\angle E = 40^\circ$, $\angle F = 60^\circ$, $\angle G = 80^\circ$.

3. Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна 17 см. Сторона $AC$ вдвое больше стороны $AB$, сторона $BC$ на 10 см меньше стороны $AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Для того чтобы найти периметр треугольника $ABC$, необходимо последовательно найти длины всех его сторон, а затем сложить их.

1. По условию задачи, длина стороны $AB$ известна:

$AB = 17$ см.

2. Сторона $AC$ вдвое больше стороны $AB$. Вычислим ее длину, умножив длину $AB$ на 2:

$AC = 2 \times AB = 2 \times 17 = 34$ см.

3. Сторона $BC$ на 10 см меньше стороны $AC$. Вычислим ее длину, вычтя 10 см из длины $AC$:

$BC = AC - 10 = 34 - 10 = 24$ см.

4. Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Найдем периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = AB + AC + BC$

Подставим найденные значения длин сторон в формулу:

$P_{ABC} = 17 + 34 + 24 = 75$ см.

Ответ: 75 см.

4. Периметр треугольника равен 48 см, одна из сторон равна 18 см.
Найдите две другие стороны, если их разность равна 10 см.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, периметр треугольника $P$ равен 48 см, одна из сторон, которую мы обозначим как $a$, равна 18 см. Разность двух других сторон, $b$ и $c$, равна 10 см.

Запишем данные в виде математических выражений:
1. Периметр: $P = a + b + c = 48$ см.
2. Длина известной стороны: $a = 18$ см.
3. Разность двух других сторон: $b - c = 10$ см (предположим, что сторона $b$ больше стороны $c$).

Для начала найдем сумму двух неизвестных сторон ($b+c$), вычтя из общего периметра длину известной стороны $a$:
$b + c = P - a$
$b + c = 48 - 18 = 30$ см.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$b + c = 30$
$b - c = 10$

Для решения этой системы сложим оба уравнения. Это позволит нам исключить переменную $c$:
$(b + c) + (b - c) = 30 + 10$
$2b = 40$
$b = \frac{40}{2}$
$b = 20$ см.

Теперь, зная длину стороны $b$, мы можем найти длину стороны $c$, подставив значение $b$ в любое из уравнений системы. Воспользуемся первым уравнением:
$b + c = 30$
$20 + c = 30$
$c = 30 - 20$
$c = 10$ см.

Таким образом, мы нашли длины двух других сторон: 20 см и 10 см.

Проверим правильность решения. Периметр треугольника со сторонами 18 см, 20 см и 10 см равен $18 + 20 + 10 = 48$ см. Разность найденных сторон равна $20 - 10 = 10$ см. Все условия задачи выполнены.

Ответ: две другие стороны треугольника равны 20 см и 10 см.

5. Периметр треугольника равен 54 см. Найдите его стороны, если они относятся как $2:3:4$.

5. Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Периметр треугольника, по определению, равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$.

По условию задачи, периметр $P = 54$ см, а стороны относятся как $2:3:4$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить следующим образом:

• Первая сторона: $a = 2x$
• Вторая сторона: $b = 3x$
• Третья сторона: $c = 4x$

Теперь составим уравнение, используя известное значение периметра: $a + b + c = 54$

Подставим выражения для сторон через $x$: $2x + 3x + 4x = 54$

Сложим все члены с $x$ в левой части уравнения: $9x = 54$

Найдем значение $x$: $x = \frac{54}{9}$ $x = 6$

Зная коэффициент пропорциональности, можем найти длины каждой стороны треугольника:

• Первая сторона: $a = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см
• Вторая сторона: $b = 3x = 3 \cdot 6 = 18$ см
• Третья сторона: $c = 4x = 4 \cdot 6 = 24$ см

Проверим, что сумма найденных сторон равна заданному периметру: $12 + 18 + 24 = 30 + 24 = 54$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 12 см, 18 см и 24 см.

6. Докажите, что если прямая пересекает одну сторону треугольника и не проходит через его вершины, то она пересекает и одну из двух других его сторон.

Это утверждение известно в геометрии как аксиома Паша. Докажем его, используя свойство прямой разделять плоскость на две полуплоскости.

Дано:
- Треугольник $ABC$.
- Прямая $a$, которая не проходит через вершины $A$, $B$, $C$.
- Прямая $a$ пересекает сторону $BC$ в некоторой точке $M$.

Доказать:
Прямая $a$ пересекает ровно одну из двух других сторон: либо $AB$, либо $AC$.

Доказательство:

1. Разделение плоскости. Согласно аксиоме о расположении точек на прямой и плоскости, любая прямая (в нашем случае прямая $a$) делит плоскость на две открытые полуплоскости. Назовем их $P_1$ и $P_2$.

2. Расположение вершин $B$ и $C$. По условию, прямая $a$ пересекает отрезок $BC$ в точке $M$, лежащей между $B$ и $C$. Это означает, что концы отрезка, то есть вершины $B$ и $C$, лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $a$. Без ограничения общности, предположим, что вершина $B$ лежит в полуплоскости $P_1$, а вершина $C$ — в полуплоскости $P_2$.

3. Расположение вершины $A$. По условию, прямая $a$ не проходит через вершину $A$. Следовательно, точка $A$ должна принадлежать одной из двух полуплоскостей: либо $P_1$, либо $P_2$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Вершина $A$ лежит в полуплоскости $P_1$.
В этом случае вершины $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости ($P_1$), а вершины $A$ и $C$ — в разных ($A$ находится в $P_1$, а $C$ — в $P_2$).

• По свойству полуплоскостей, отрезок $AB$, концы которого ($A$ и $B$) лежат в одной полуплоскости, не пересекает прямую $a$.
• Отрезок $AC$, концы которого ($A$ и $C$) лежат в разных полуплоскостях, обязательно пересекает прямую $a$.

Случай 2: Вершина $A$ лежит в полуплоскости $P_2$.
В этом случае вершины $A$ и $C$ лежат в одной полуплоскости ($P_2$), а вершины $A$ и $B$ — в разных ($A$ находится в $P_2$, а $B$ — в $P_1$).

• Отрезок $AC$, концы которого ($A$ и $C$) лежат в одной полуплоскости, не пересекает прямую $a$.
• Отрезок $AB$, концы которого ($A$ и $B$) лежат в разных полуплоскостях, обязательно пересекает прямую $a$.

В обоих возможных случаях прямая $a$ пересекает ровно одну из двух других сторон треугольника (либо $AB$, либо $AC$), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая пересекает одну сторону треугольника (не в вершине), она разделяет вершины этой стороны по разным полуплоскостям. Третья вершина оказывается в одной из этих двух полуплоскостей. Следовательно, одна из двух оставшихся сторон будет соединять вершины в разных полуплоскостях (и будет пересечена прямой), а другая — в одной (и не будет пересечена).

7. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие медианы.

Дано:
Пусть даны два равных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
Из условия равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$) следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, равны соответствующие стороны и углы:
$AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, и $\angle A = \angle A_1$.
Проведем в этих треугольниках соответствующие медианы $BM$ и $B_1M_1$ из вершин $B$ и $B_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно.

Доказать:
Необходимо доказать, что соответствующие медианы равны, то есть $BM = B_1M_1$.

Доказательство:
Для доказательства равенства отрезков $BM$ и $B_1M_1$ рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$, образованные сторонами исходных треугольников и их медианами.
Сравним эти треугольники:
1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABM$ равна стороне $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1M_1$ ($AB = A_1B_1$), так как это соответствующие стороны в равных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
2. Угол $\angle A$ треугольника $\triangle ABM$ равен углу $\angle A_1$ треугольника $\triangle A_1B_1M_1$ ($\angle A = \angle A_1$), так как это соответствующие углы в равных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
3. Сторона $AM$ треугольника $\triangle ABM$ равна стороне $A_1M_1$ треугольника $\triangle A_1B_1M_1$. Это следует из того, что $BM$ и $B_1M_1$ – медианы. По определению медианы, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$. Так как по условию $AC = A_1C_1$, то и их половины равны: $AM = A_1M_1$.

Таким образом, мы установили, что две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABM$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle A_1B_1M_1$.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$.
Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие против равных углов. Сторона $BM$ лежит против угла $\angle A$, а сторона $B_1M_1$ — против угла $\angle A_1$. Поскольку $\angle A = \angle A_1$, стороны $BM$ и $B_1M_1$ являются соответствующими.
Значит, $BM = B_1M_1$.
Аналогичное доказательство можно провести для двух других пар соответствующих медиан.
Ответ: Что и требовалось доказать.

8. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие биссектрисы.

Пусть даны два равных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По определению равных треугольников, их соответствующие стороны и углы равны:

$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Проведём в этих треугольниках соответствующие биссектрисы, например, $BD$ из вершины $B$ в $\triangle ABC$ и $B_1D_1$ из вершины $B_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$, а точка $D_1$ — на стороне $A_1C_1$. Требуется доказать, что биссектрисы $BD$ и $B_1D_1$ равны.

Для доказательства этого рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. Сравним эти два треугольника.

Во-первых, сторона $AB$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1D_1$, так как это соответствующие стороны в равных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Во-вторых, угол $\angle A$ треугольника $\triangle ABD$ равен углу $\angle A_1$ треугольника $\triangle A_1B_1D_1$ по той же причине.

В-третьих, рассмотрим углы $\angle ABD$ и $\angle A_1B_1D_1$. Так как $BD$ — это биссектриса угла $\angle B$, то $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$. Аналогично, $B_1D_1$ — это биссектриса угла $\angle B_1$, поэтому $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$. Поскольку по условию $\angle B = \angle B_1$, то равны и их половины: $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Таким образом, мы установили, что в треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AB$, $\angle A$ и $\angle ABD$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($A_1B_1$, $\angle A_1$ и $\angle A_1B_1D_1$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $BD$ в $\triangle ABD$ является соответственной для стороны $B_1D_1$ в $\triangle A_1B_1D_1$. Значит, $BD = B_1D_1$.

Аналогичное доказательство можно провести для биссектрис, проведённых из двух других пар соответствующих вершин. Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: В равных треугольниках соответствующие биссектрисы равны.

9. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если:

а) основание меньше боковой стороны на 3 м;

б) основание больше боковой стороны на 3 м.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $a$ м, а основание равно $b$ м. Так как треугольник равнобедренный, две его стороны (боковые) равны. Периметр $P$ — это сумма длин всех сторон: $P = a + a + b = 2a + b$. По условию, периметр равен $15,6$ м.

а) основание меньше боковой стороны на 3 м;

Согласно этому условию, мы можем выразить основание через боковую сторону: $b = a - 3$.

Подставим это выражение и значение периметра в формулу:

$15,6 = 2a + (a - 3)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$15,6 = 3a - 3$

$15,6 + 3 = 3a$

$18,6 = 3a$

$a = 18,6 / 3$

$a = 6,2$

Длина боковой стороны равна $6,2$ м.

Теперь найдем длину основания:

$b = a - 3 = 6,2 - 3 = 3,2$

Длина основания равна $3,2$ м.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника (сумма двух сторон должна быть больше третьей): $6,2 + 6,2 > 3,2$ (верно) и $6,2 + 3,2 > 6,2$ (верно). Условия выполняются.

Ответ: боковые стороны по 6,2 м, основание 3,2 м.

б) основание больше боковой стороны на 3 м.

Согласно этому условию, выражение для основания будет следующим: $b = a + 3$.

Снова подставим его в формулу периметра:

$15,6 = 2a + (a + 3)$

Решим это уравнение:

$15,6 = 3a + 3$

$15,6 - 3 = 3a$

$12,6 = 3a$

$a = 12,6 / 3$

$a = 4,2$

Длина боковой стороны равна $4,2$ м.

Теперь найдем длину основания:

$b = a + 3 = 4,2 + 3 = 7,2$

Длина основания равна $7,2$ м.

Проверим неравенство треугольника: $4,2 + 4,2 > 7,2$ (верно, так как $8,4 > 7,2$) и $4,2 + 7,2 > 4,2$ (верно). Условия выполняются.

Ответ: боковые стороны по 4,2 м, основание 7,2 м.

10. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника относятся как 3 : 8. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 38 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны, а третья сторона является основанием.

По условию задачи, отношение длины основания к длине боковой стороны составляет $3:8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длина основания треугольника будет равна $3x$ см, а длина каждой из двух равных боковых сторон — $8x$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Периметр $P$ нашего треугольника можно выразить формулой:

$P = \text{основание} + \text{боковая сторона} + \text{боковая сторона}$

Подставим в формулу выражения для сторон через $x$:

$P = 3x + 8x + 8x$

Известно, что периметр равен 38 см. Составим и решим уравнение:

$3x + 8x + 8x = 38$

$19x = 38$

$x = \frac{38}{19}$

$x = 2$

Теперь найдем длины сторон, подставив значение $x=2$:

Длина основания: $3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Длина боковой стороны: $8x = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 6 см, 16 см и 16 см.

Проверим выполнение неравенства треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей стороны.

$6 + 16 > 16 \implies 22 > 16$ (верно)

$16 + 16 > 6 \implies 32 > 6$ (верно)

Условие выполняется.

Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 16 см и 16 см.

11. Докажите, что если биссектриса треугольника является высотой, то треугольник равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором отрезок $BD$, проведенный из вершины $B$ к стороне $AC$, является одновременно и биссектрисой, и высотой.

Поскольку $BD$ является биссектрисой, она делит угол $\angle B$ на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.

Поскольку $BD$ является высотой, она перпендикулярна стороне $AC$ ($BD \perp AC$). Это означает, что углы при основании высоты являются прямыми: $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $BD$ делит исходный треугольник: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сравним эти два треугольника:

1. Сторона $BD$ у них общая.

2. Угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CBD$ (так как $BD$ — биссектриса).

3. Угол $\angle BDA$ равен углу $\angle BDC$ (так как $BD$ — высота и оба угла прямые).

Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle CBD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона $AB$ в $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle BDA$, а сторона $BC$ в $\triangle CBD$ лежит напротив равного ему угла $\angle BDC$. Следовательно, $AB = BC$.

Треугольник, у которого две стороны равны, по определению является равнобедренным. Так как мы доказали, что $AB = BC$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если биссектриса треугольника является его высотой, то такой треугольник является равнобедренным.

12. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), а $AC$ — основание. Проведем медианы $AM$ к боковой стороне $BC$ и $CN$ к боковой стороне $AB$. Требуется доказать, что медианы $AM$ и $CN$ равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$.

1. Стороны $AB$ и $CB$ равны по определению равнобедренного треугольника ($AB = CB$).

2. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

3. Поскольку $AM$ является медианой, проведенной к стороне $BC$, она делит эту сторону пополам. Следовательно, $BM = \frac{1}{2}BC$.

4. Аналогично, поскольку $CN$ является медианой, проведенной к стороне $AB$, она делит эту сторону пополам. Следовательно, $BN = \frac{1}{2}AB$.

5. Так как боковые стороны $AB$ и $BC$ равны, то равны и их половины: $BN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = BM$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$ мы имеем:

- сторона $AB$ равна стороне $CB$;

- сторона $BM$ равна стороне $BN$;

- угол $\angle B$ между этими сторонами — общий.

Следовательно, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AM$ в треугольнике $\triangle ABM$ лежит напротив угла $\angle ABN$, а сторона $CN$ в треугольнике $\triangle CBN$ лежит напротив угла $\angle CBM$. Так как это один и тот же угол ($\angle B$), то стороны $AM$ и $CN$ являются соответствующими и, следовательно, равны: $AM = CN$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны. Это следует из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$, которое доказывается по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).