Номер 9, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите угол, образованный диагоналя-
ми:

а) $AD$ и $AE$;

б) $AE$ и $AC$;

в) $AE$ и $CF$
правильного шестиугольника $ABCDEF$
(рис. 3.4).

Рис. 3.4

а) AD и AE

Угол между диагоналями AD и AE — это угол $\angle DAE$. Для нахождения этого угла можно использовать свойства правильного шестиугольника, вписанного в окружность.

Способ 1: Через вписанный угол

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF, вписанный в окружность с центром в точке O. Каждая сторона шестиугольника стягивает в центре окружности угол, равный $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Угол $\angle DAE$ является вписанным углом, который опирается на дугу DE. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, — это $\angle DOE$, и его величина равна $60^\circ$. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$\angle DAE = \frac{1}{2} \angle DOE = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$.

Способ 2: Через прямоугольный треугольник

Большая диагональ AD правильного шестиугольника проходит через центр описанной окружности O и является её диаметром. Треугольник $\triangle ADE$ вписан в эту окружность, и одна из его сторон (AD) — диаметр. Следовательно, $\triangle ADE$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине, лежащей на окружности, то есть $\angle AED = 90^\circ$.

Пусть сторона шестиугольника равна $a$. Тогда $DE = a$. Длина большой диагонали $AD$ равна двум радиусам описанной окружности, а радиус равен стороне, то есть $AD = 2a$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADE$ отношение противолежащего катета к гипотенузе для угла $\angle DAE$ равно:

$\sin(\angle DAE) = \frac{DE}{AD} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, $\angle DAE = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

б) AE и AC

Угол между диагоналями AE и AC — это угол $\angle CAE$.

Способ 1: Через вписанный угол

Угол $\angle CAE$ является вписанным углом, опирающимся на дугу CE. Эта дуга состоит из двух дуг, стягиваемых сторонами: дуги CD и дуги DE. Центральный угол $\angle COE$, опирающийся на дугу CE, равен сумме центральных углов, опирающихся на дуги CD и DE:

$\angle COE = \angle COD + \angle DOE = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Вписанный угол $\angle CAE$ равен половине центрального угла $\angle COE$:

$\angle CAE = \frac{1}{2} \angle COE = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$.

Способ 2: Через разбиение угла при вершине

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, то есть $\angle FAB = 120^\circ$. Диагонали, выходящие из вершины A (AC, AD, AE), делят этот угол на четыре части: $\angle BAC, \angle CAD, \angle DAE, \angle EAF$.

1. В $\triangle ABC$ стороны $AB=BC$, а $\angle ABC = 120^\circ$. Треугольник равнобедренный, углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

2. Аналогично, в равнобедренном $\triangle AFE$ ($AF=FE$, $\angle AFE = 120^\circ$) угол $\angle FAE = 30^\circ$.

3. Из пункта а) известно, что $\angle DAE = 30^\circ$.

4. Угол $\angle CAD$ можно найти, вычтя из полного угла $\angle FAB$ уже найденные углы: $\angle CAD = \angle FAB - \angle BAC - \angle DAE - \angle EAF = 120^\circ - 30^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Искомый угол $\angle CAE$ является суммой углов $\angle CAD$ и $\angle DAE$:

$\angle CAE = \angle CAD + \angle DAE = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

в) AE и CF

Диагонали AE и CF пересекаются внутри шестиугольника. Необходимо найти угол между ними.

Способ 1: Через угол между пересекающимися хордами

Рассмотрим шестиугольник, вписанный в окружность. Диагонали AE и CF являются хордами этой окружности. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключенных между ними.

Пусть P — точка пересечения AE и CF. Угол $\angle FPE$ и вертикальный ему угол $\angle CPA$ опираются на дуги FE и CA соответственно. Величина угла между хордами вычисляется по формуле:

$\text{Угол} = \frac{1}{2} (\text{дуга } FE + \text{дуга } CA)$

Угловая величина дуги FE равна центральному углу $\angle FOE = 60^\circ$.

Угловая величина дуги CA равна сумме центральных углов $\angle COB + \angle BOA = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\text{Угол} = \frac{1}{2} (60^\circ + 120^\circ) = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, диагонали AE и CF пересекаются под прямым углом.

Способ 2: Через параллельные прямые

В правильном шестиугольнике диагональ CF параллельна стороне AB. Следовательно, угол между диагоналями AE и CF равен углу между прямой AE и стороной AB, то есть углу $\angle BAE$.

Полный угол при вершине A, $\angle FAB$, равен $120^\circ$. Как было показано в решении пункта б), угол $\angle FAE = 30^\circ$.

Тогда искомый угол $\angle BAE$ можно найти как разность:

$\angle BAE = \angle FAB - \angle FAE = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.