Номер 10, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех тупых внешних углов.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся фундаментальным свойством выпуклых многоугольников: сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует выпуклый многоугольник, у которого имеется четыре или более тупых внешних угла.

Тупым углом называется угол, градусная мера которого строго больше $90^\circ$. Пусть $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ — это четыре тупых внешних угла нашего предполагаемого многоугольника. Согласно определению тупого угла:
$\beta_1 > 90^\circ$
$\beta_2 > 90^\circ$
$\beta_3 > 90^\circ$
$\beta_4 > 90^\circ$

Найдем сумму величин этих четырех углов. Складывая левые и правые части неравенств, получаем:
$\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 > 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ$
Следовательно, их сумма $\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 > 360^\circ$.

Таким образом, мы получили, что сумма всего лишь четырех внешних углов уже превышает $360^\circ$. Однако, для выпуклого многоугольника все внешние углы являются положительными величинами, и их общая сумма должна быть в точности равна $360^\circ$. Мы пришли к противоречию, так как сумма части положительных слагаемых (в данном случае, четырех углов) не может быть больше, чем их полная сумма (сумма всех внешних углов).

Данное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, у выпуклого многоугольника не может быть четырех или более тупых внешних углов, что и доказывает, что их может быть не более трех.

Ответ: Утверждение доказано. Если бы у выпуклого многоугольника было 4 или более тупых внешних угла (каждый из которых больше $90^\circ$), их сумма превысила бы $360^\circ$. Это невозможно, так как сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$. Следовательно, у выпуклого многоугольника может быть не более трех тупых внешних углов.