Номер 11, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых внутренних углов.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного и свойствами внешних углов выпуклого многоугольника.

Рассмотрим произвольный выпуклый n-угольник. Пусть его внутренние углы равны $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$. Внешний угол, смежный с внутренним углом $\alpha_i$, равен $\gamma_i = 180^\circ - \alpha_i$.

Ключевым свойством является то, что сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

$\sum_{i=1}^{n} \gamma_i = \gamma_1 + \gamma_2 + \dots + \gamma_n = 360^\circ$

Острый внутренний угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Если внутренний угол $\alpha_i$ является острым, то есть $\alpha_i < 90^\circ$, то соответствующий ему внешний угол $\gamma_i$ будет больше $90^\circ$:

$\gamma_i = 180^\circ - \alpha_i > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Теперь предположим, что у выпуклого многоугольника есть четыре или более острых внутренних угла. Пусть, для определённости, это будут первые четыре угла: $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$. Все они меньше $90^\circ$.

Тогда соответствующие им внешние углы $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4$ будут больше $90^\circ$.

Найдем сумму этих четырех внешних углов:

$\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 + \gamma_4 > 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

Мы получили, что сумма только четырех из $n$ внешних углов уже превышает $360^\circ$. Однако сумма всех $n$ внешних углов должна быть в точности равна $360^\circ$. Поскольку все внешние углы выпуклого многоугольника положительны, это создает противоречие. Невозможно, чтобы часть суммы была больше всей суммы.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. У выпуклого многоугольника не может быть четырех или более острых внутренних углов.

Таким образом, максимальное количество острых внутренних углов у выпуклого многоугольника равно трем. Примером такого многоугольника является любой остроугольный треугольник, у которого все три угла острые.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Каждому острому внутреннему углу (меньше $90^\circ$) соответствует внешний угол, который больше $90^\circ$. Если бы существовало четыре острых внутренних угла, то сумма соответствующих им четырех внешних углов была бы больше $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$, что противоречит свойству о сумме всех внешних углов. Следовательно, у выпуклого многоугольника не может быть более трех острых внутренних углов.