Номер 8, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Докажите, что сумма внутренних углов невыпуклого четырехугольника равна $360^\circ$ (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Для доказательства того, что сумма внутренних углов невыпуклого четырехугольника равна $360^\circ$, воспользуемся методом, который применим к любому простому многоугольнику.

Пусть нам дан невыпуклый четырехугольник ABCD, в котором один из внутренних углов, например, при вершине D, является рефлексным, то есть его градусная мера больше $180^\circ$.

1. Выберем произвольную точку O, расположенную внутри четырехугольника.

2. Соединим точку O отрезками со всеми четырьмя вершинами четырехугольника: A, B, C и D. В результате наш четырехугольник будет разделен на четыре треугольника: $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCD$ и $\triangle ODA$.

3. Известно, что сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, общая сумма углов во всех четырех созданных треугольниках будет равна: $4 \times 180^\circ = 720^\circ$.

4. Эта общая сумма в $720^\circ$ состоит из двух частей:

• Суммы всех внутренних углов четырехугольника ABCD. Каждый внутренний угол четырехугольника складывается из двух углов прилегающих к нему треугольников. Например, угол при вершине A, $\angle A$, равен сумме углов $\angle OAB$ и $\angle OAD$. Это верно для всех вершин, включая и вогнутую вершину D, где внутренний рефлексный угол $\angle D$ равен сумме углов $\angle ODC$ и $\angle ODA$.
• Суммы всех углов, сходящихся в центральной точке O. Углы $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$ и $\angle DOA$ образуют полный круг, и их сумма равна $360^\circ$.

5. Теперь мы можем составить уравнение. Сумма углов четырех треугольников равна сумме внутренних углов четырехугольника плюс сумма углов вокруг точки O. $(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D) + (\angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOA) = 720^\circ$

6. Подставим известное значение суммы углов вокруг точки O: $(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D) + 360^\circ = 720^\circ$

7. Найдем сумму углов четырехугольника: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 720^\circ - 360^\circ$ $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Таким образом, мы доказали, что сумма внутренних углов невыпуклого четырехугольника, как и выпуклого, равна $360^\circ$.

Ответ: Доказано, что сумма внутренних углов невыпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.