Страница 114 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Изобразите прямую. Отметьте на ней точку O. Отложите на этой прямой отрезок OE, который принимается за единичный отрезок. Как можно установить соответствие между числами и точками на этой прямой?

Изобразите прямую. Отметьте на ней точку О. Отложите на этой прямой отрезок ОЕ, который принимается за единичный отрезок.

Для выполнения этого задания необходимо выполнить следующие шаги:
1. С помощью линейки нарисуем произвольную прямую линию.
2. Выберем на этой прямой любую точку и обозначим её буквой О. Эта точка будет называться началом отсчета.
3. Выберем одно из двух направлений на прямой, идущих от точки О. Это направление будем считать положительным. Обычно его отмечают стрелкой.
4. От точки О в положительном направлении отложим отрезок некоторой длины. Второй конец этого отрезка обозначим буквой Е.
5. Полученный отрезок ОЕ называется единичным отрезком. Его длина принимается за единицу измерения (1). Таким образом, точка О соответствует числу 0, а точка Е — числу 1.

Ответ: Прямая с выбранной на ней точкой О (началом отсчета), единичным отрезком ОЕ и заданным положительным направлением (от О к Е) является координатной прямой.

Как можно установить соответствие между числами и точками на этой прямой?

Установить взаимно однозначное соответствие между всеми действительными числами и всеми точками на построенной прямой можно следующим образом. Прямая с началом отсчета, единичным отрезком и направлением называется координатной прямой или числовой осью.

1. От точки к числу: Каждой точке М на прямой ставится в соответствие число, называемое её координатой.
- Точке О соответствует число 0.
- Если точка М лежит на луче ОЕ (в положительном направлении), то её координата — это положительное число, равное отношению длины отрезка ОМ к длине единичного отрезка ОЕ. Координата точки M: $x_M = \frac{OM}{OE}$.
- Если точка N лежит на луче, противоположном лучу ОЕ (в отрицательном направлении), то её координата — это отрицательное число, модуль которого равен отношению длины отрезка ON к длине единичного отрезка ОЕ. Координата точки N: $x_N = -\frac{ON}{OE}$.

2. От числа к точке: Каждому действительному числу ставится в соответствие единственная точка на прямой.
- Положительному числу $k$ соответствует точка P, которая находится на расстоянии, равном $k$ длин единичного отрезка ($OP = k \cdot OE$), от точки О в положительном направлении.
- Отрицательному числу $-k$ (где $k > 0$) соответствует точка Q, которая находится на расстоянии, равном $k$ длин единичного отрезка ($OQ = k \cdot OE$), от точки О в отрицательном направлении.
- Числу 0 соответствует точка О.

Таким образом, каждой точке на прямой соответствует единственное действительное число, и каждому действительному числу — единственная точка на прямой.

Ответ: Соответствие между числами и точками на прямой устанавливается путем присвоения каждой точке координаты. Координата точки — это число, показывающее расстояние от начала отсчета до этой точки в единицах измерения (длинах единичного отрезка), взятое со знаком «+», если точка находится в положительном направлении от начала отсчета, и со знаком «-», если в отрицательном.

1. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 4 см и 6 см, а один из углов равен $30^\circ$:

А. 3 $\text{см}^2$. В. 12 $\text{см}^2$. С. 24 $\text{см}^2$. D. 48 $\text{см}^2$.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле, использующей длины двух его смежных сторон и синус угла между ними. Формула имеет вид:
$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$
где $a$ и $b$ — это длины сторон параллелограмма, а $\alpha$ — это угол между этими сторонами.
Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:
Сторона $a = 4$ см.
Сторона $b = 6$ см.
Угол $\alpha = 30^\circ$.
Синус угла $30^\circ$ — это известное тригонометрическое значение:
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
Теперь подставим все значения в формулу для площади:
$S = 4 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$
Проведем вычисления:
$S = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \text{ см}^2$.
Площадь параллелограмма составляет 12 см$^2$. Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту B.
Ответ: B. 12 см$^2$.

2. Площадь параллелограмма равна 24 $ \text{см}^2$. Найдите расстояние между его сторонами, равными 8 см:

А. 3 см.

В. 4 см.

С. 8 см.

D. 12 см.

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется по формуле произведения его стороны ($a$) на высоту ($h$), опущенную на эту сторону. Расстояние между параллельными сторонами и является высотой. Формула площади: $S = a \cdot h$.

Согласно условию задачи, нам даны:
Площадь $S = 24$ см².
Длина стороны $a = 8$ см.

Необходимо найти высоту $h$, которая и является искомым расстоянием. Для этого подставим известные значения в формулу площади:
$24 = 8 \cdot h$

Теперь выразим высоту $h$, разделив площадь на длину стороны:
$h = \frac{24}{8}$
$h = 3$ см.

Следовательно, расстояние между сторонами, равными 8 см, составляет 3 см.
Ответ: А. 3 см.

3. В параллелограмме, площадь которого равна $72 \text{ дм}^2$, стороны равны 6 дм и 10 дм. Найдите его высоты:

A. 1,2 дм, 1,5 дм.

B. 1,5 дм, 18 дм.

C. 72 см, 120 см.

D. 720 дм, 12 дм.

Для решения этой задачи используется формула площади параллелограмма: $S = a \cdot h$, где $S$ — это площадь, $a$ — длина стороны, а $h$ — высота, проведенная к этой стороне.

У нас есть параллелограмм с площадью $S = 72 \text{ дм}^2$ и сторонами $a_1 = 6$ дм и $a_2 = 10$ дм. К каждой из этих сторон проведена своя высота.

Сначала найдем высоту $h_1$, проведенную к стороне $a_1 = 6$ дм. Для этого выразим высоту из формулы площади: $h_1 = \frac{S}{a_1}$.

Подставляем известные значения:

$h_1 = \frac{72 \text{ дм}^2}{6 \text{ дм}} = 12$ дм.

Теперь найдем высоту $h_2$, проведенную к стороне $a_2 = 10$ дм, по той же логике: $h_2 = \frac{S}{a_2}$.

Подставляем значения:

$h_2 = \frac{72 \text{ дм}^2}{10 \text{ дм}} = 7,2$ дм.

Итак, высоты параллелограмма равны 12 дм и 7,2 дм.

Теперь необходимо сравнить полученные результаты с предложенными вариантами ответов. Заметим, что вариант C указан в сантиметрах. Переведем наши значения в сантиметры, зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

$h_1 = 12 \text{ дм} = 12 \times 10 \text{ см} = 120 \text{ см}$.

$h_2 = 7,2 \text{ дм} = 7,2 \times 10 \text{ см} = 72 \text{ см}$.

Полученные высоты — 72 см и 120 см, что в точности соответствует варианту C.

Ответ: C. 72 см, 120 см.

4. Площадь параллелограмма равна $36 \text{ см}^2$. Расстояния от точки пересечения диагоналей до его сторон равны 2 см и 3 см. Найдите периметр параллелограмма:
A. 7,2 см. B. 15 см. C. 30 см. D. 60 см.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S = a \cdot h_a$ или $S = b \cdot h_b$, где $h_a$ и $h_b$ — высоты, проведенные к сторонам $a$ и $b$ соответственно. По условию, $S = 36$ см².

Точка пересечения диагоналей в параллелограмме является его центром симметрии. Это означает, что расстояние от этой точки до одной из сторон равно половине соответствующей высоты параллелограмма. В задаче даны расстояния от точки пересечения диагоналей до его сторон — 2 см и 3 см. Это половины высот $h_a$ и $h_b$.

Найдем высоты параллелограмма:
$h_a = 2 \cdot 2 = 4$ см
$h_b = 2 \cdot 3 = 6$ см

Теперь, используя формулу площади, мы можем найти длины сторон параллелограмма:
$a = \frac{S}{h_a} = \frac{36}{4} = 9$ см
$b = \frac{S}{h_b} = \frac{36}{6} = 6$ см

Периметр параллелограмма ($P$) равен удвоенной сумме его смежных сторон:
$P = 2 \cdot (a + b)$
$P = 2 \cdot (9 + 6) = 2 \cdot 15 = 30$ см

Ответ: C. 30 см.

5. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 2 : 5, а его площадь равна $400 \text{ см}^2$:

A. 10 см, 40 см.

B. $4\sqrt{10} \text{ см}$, $10\sqrt{10} \text{ см}$.

C. 16 см, 25 см.

D. $8\sqrt{5} \text{ см}$, $20\sqrt{5} \text{ см}$.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $a$, а большая сторона равна $b$.

Согласно условию задачи, стороны относятся как $2:5$. Чтобы найти сами стороны, введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда стороны можно выразить как $a = 2x$ и $b = 5x$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, площадь равна $400 \text{ см}^2$.

Подставим выражения для сторон в формулу площади:

$S = (2x) \cdot (5x) = 10x^2$

Теперь приравняем это выражение к известной площади и решим уравнение относительно $x$:

$10x^2 = 400$

Разделим обе части уравнения на 10:

$x^2 = \frac{400}{10}$

$x^2 = 40$

Поскольку $x$ - это коэффициент для длины, он должен быть положительным числом. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt{40}$

Упростим значение корня: $x = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$.

Теперь, зная коэффициент $x$, мы можем найти длины сторон прямоугольника:

Меньшая сторона: $a = 2x = 2 \cdot (2\sqrt{10}) = 4\sqrt{10}$ см.

Большая сторона: $b = 5x = 5 \cdot (2\sqrt{10}) = 10\sqrt{10}$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны $4\sqrt{10}$ см и $10\sqrt{10}$ см. Этот результат соответствует варианту B.

Ответ: B. $4\sqrt{10}$ см, $10\sqrt{10}$ см.

6. Площадь прямоугольника равна 400 $см^2$. Одну из его сторон увеличили в 2 раза, а другую уменьшили в 4 раза. Найдите площадь получившегося прямоугольника:

A. 50 $см^2$.

B. 80 $см^2$.

C. 100 $см^2$.

D. 200 $см^2$.

Обозначим исходные стороны прямоугольника как $a$ и $b$. Его площадь $S_{исх}$ вычисляется как произведение сторон: $S_{исх} = a \cdot b$. Согласно условию, $S_{исх} = 400 \text{ см}^2$. После того как одну сторону увеличили в 2 раза, а другую уменьшили в 4 раза, новые стороны стали $a' = 2 \cdot a$ и $b' = \frac{b}{4}$. Площадь нового прямоугольника $S_{нов}$ будет равна произведению новых сторон: $S_{нов} = a' \cdot b'$. Подставим выражения для новых сторон в формулу площади: $S_{нов} = (2 \cdot a) \cdot \left(\frac{b}{4}\right)$. Перегруппируем множители: $S_{нов} = (a \cdot b) \cdot \frac{2}{4}$. Поскольку $a \cdot b$ это исходная площадь $S_{исх}$, а дробь $\frac{2}{4}$ можно сократить до $\frac{1}{2}$, получаем: $S_{нов} = S_{исх} \cdot \frac{1}{2}$. Подставив известное значение $S_{исх}$, находим новую площадь: $S_{нов} = 400 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2} = 200 \text{ см}^2$. Ответ: 200 см².

7. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 6 см и 8 см:

A. 12 $cm^2$.

B. 24 $cm^2$.

C. 28 $cm^2$.

D. 48 $cm^2$.

Для нахождения площади ромба, если известны длины его диагоналей, используется следующая формула:
$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$
где $S$ — это площадь ромба, а $d_1$ и $d_2$ — это длины его диагоналей.
По условию задачи, нам даны длины диагоналей:
$d_1 = 6$ см
$d_2 = 8$ см
Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{6 \cdot 8}{2}$
Сначала вычислим произведение диагоналей:
$6 \cdot 8 = 48$
Теперь разделим полученный результат на 2:
$S = \frac{48}{2} = 24$
Таким образом, площадь ромба равна 24 см². Этот результат соответствует варианту B.
Ответ: 24 см².

8. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна $d$:

A. $d^2$.

B. $2d^2$.

C. $\frac{d^2}{4}$.

D. $\frac{d^2}{2}$.

Пусть сторона квадрата равна $a$, а его диагональ — $d$. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. Диагональ квадрата делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике стороны квадрата $a$ являются катетами, а диагональ $d$ — гипотенузой. Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = d^2$
Поскольку площадь квадрата равна $S = a^2$, мы можем выразить её из полученного уравнения:
$a^2 = \frac{d^2}{2}$
Следовательно, площадь квадрата через его диагональ выражается как $S = \frac{d^2}{2}$.
Другой способ — использовать формулу площади для ромба (квадрат является его частным случаем), которая равна половине произведения его диагоналей. Диагонали квадрата равны друг другу, поэтому $d_1 = d_2 = d$. Тогда площадь:
$S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} d \cdot d = \frac{d^2}{2}$.
Оба способа дают одинаковый результат. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ находится под буквой D.
Ответ: D. $\frac{d^2}{2}$

9. Площадь ромба равна $2 \text{ м}^2$, тупой угол равен $150^\circ$. Найдите периметр ромба:

А. 1 м.

В. 2 м.

С. 8 м.

D. 16 м.

Пусть $a$ – сторона ромба, $S$ – его площадь. По условию дано, что площадь ромба $S = 2$ м², а его тупой угол равен $150^\circ$.
Сумма соседних углов в ромбе составляет $180^\circ$. Следовательно, острый угол ромба $\alpha$ будет равен:$ \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $.
Площадь ромба можно найти по формуле, использующей сторону и угол между сторонами: $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$.
Подставим известные нам значения в эту формулу:$ 2 = a^2 \cdot \sin(30^\circ) $.
Мы знаем, что значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$.
Тогда уравнение примет вид:$ 2 = a^2 \cdot \frac{1}{2} $.
Выразим из этого уравнения $a^2$:$ a^2 = 2 \cdot 2 = 4 $.
Теперь найдем длину стороны $a$. Поскольку длина стороны должна быть положительной, извлекаем квадратный корень:$ a = \sqrt{4} = 2 $ м.
Периметр ромба ($P$) равен произведению длины его стороны на 4, так как все стороны ромба равны:$ P = 4a $.
Подставим найденное значение стороны $a$:$ P = 4 \cdot 2 = 8 $ м.
Ответ: C. 8 м.