Страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Точки $O(0; 0)$, $A(6; 2)$, $B(x; y)$ и $C(0; 6)$ являются последовательными вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки $B$.

Поскольку точки $O(0; 0)$, $A(6; 2)$, $B(x; y)$ и $C(0; 6)$ являются последовательными вершинами параллелограмма, его диагонали $OB$ и $AC$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что середина диагонали $OB$ совпадает с серединой диагонали $AC$.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находятся по формулам: $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Сначала найдем координаты середины диагонали $AC$, используя координаты точек $A(6; 2)$ и $C(0; 6)$:
Координата $x$ середины $AC$: $\frac{6 + 0}{2} = 3$
Координата $y$ середины $AC$: $\frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Таким образом, середина диагонали $AC$ имеет координаты $(3; 4)$.

Теперь выразим координаты середины диагонали $OB$ через неизвестные координаты точки $B(x; y)$ и известные координаты точки $O(0; 0)$:
Координата $x$ середины $OB$: $\frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$
Координата $y$ середины $OB$: $\frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$

Так как середины диагоналей совпадают, мы можем приравнять их соответствующие координаты и составить систему уравнений для нахождения $x$ и $y$:

$\frac{x}{2} = 3$

$\frac{y}{2} = 4$

Решая эту систему, получаем:

$x = 3 \cdot 2 = 6$

$y = 4 \cdot 2 = 8$

Следовательно, точка $B$ имеет координаты $(6; 8)$.

Ответ: $B(6; 8)$.

12. Точки $O(0; 0)$, $A(8; 2)$, $B(10; 8)$, $C(2; 6)$ являются вершинами четырехугольника. Найдите координаты точки $P$ пересечения его диагоналей.

Для нахождения координат точки $P$ пересечения диагоналей четырехугольника $OABC$ необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит обеим диагоналям. Диагоналями данного четырехугольника являются отрезки $OB$ и $AC$. Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Нахождение точки пересечения через уравнения прямых

Этот способ является универсальным для любого четырехугольника. Он заключается в том, чтобы составить уравнения прямых, на которых лежат диагонали, и затем найти их общую точку, решив систему этих уравнений.

1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки O(0; 0) и B(10; 8).

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Подставим координаты точек $O$ и $B$:

$\frac{x - 0}{10 - 0} = \frac{y - 0}{8 - 0}$

$\frac{x}{10} = \frac{y}{8}$

Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{8}{10}x$

$y = \frac{4}{5}x$

Это первое уравнение системы.

2. Составим уравнение прямой, проходящей через точки A(8; 2) и C(2; 6).

Подставим координаты точек $A$ и $C$ в ту же формулу:

$\frac{x - 8}{2 - 8} = \frac{y - 2}{6 - 2}$

$\frac{x - 8}{-6} = \frac{y - 2}{4}$

Умножим обе части уравнения на $-12$, чтобы избавиться от знаменателей:

$-12 \cdot \frac{x - 8}{-6} = -12 \cdot \frac{y - 2}{4}$

$2(x - 8) = -3(y - 2)$

$2x - 16 = -3y + 6$

$2x + 3y = 22$

Это второе уравнение системы.

3. Решим систему из двух полученных уравнений.

$\begin{cases} y = \frac{4}{5}x \\ 2x + 3y = 22 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$2x + 3 \left(\frac{4}{5}x\right) = 22$

$2x + \frac{12}{5}x = 22$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дроби:

$10x + 12x = 110$

$22x = 110$

$x = \frac{110}{22} = 5$

Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = \frac{4}{5} \cdot 5 = 4$

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей $P$ равны $(5; 4)$.

Способ 2: Использование свойства диагоналей параллелограмма

Можно проверить, не является ли данный четырехугольник параллелограммом. У параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей совпадают. Найдем координаты середин диагоналей $OB$ и $AC$.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находятся по формулам: $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

1. Найдем середину диагонали OB.

Координаты точек O(0; 0) и B(10; 8).

$x_P = \frac{0 + 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_P = \frac{0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Координаты середины диагонали $OB$ — (5; 4).

2. Найдем середину диагонали AC.

Координаты точек A(8; 2) и C(2; 6).

$x_P = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_P = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Координаты середины диагонали $AC$ — (5; 4).

Так как середины диагоналей $OB$ и $AC$ совпадают, то четырехугольник $OABC$ является параллелограммом, а точка пересечения его диагоналей $P$ имеет координаты, равные координатам середин диагоналей.

Ответ: Координаты точки $P$ пересечения диагоналей четырехугольника равны (5; 4).

13. Точки $O(0; 0)$, $A(8; 0)$, $B(7; 6)$ являются вершинами треугольника.

Найдите координаты точки $M$ пересечения его медиан.

Для нахождения координат точки M, являющейся точкой пересечения медиан треугольника OAB, используется свойство центроида. Координаты точки пересечения медиан треугольника равны среднему арифметическому соответствующих координат его вершин.

Пусть вершины треугольника имеют координаты O$(x_O, y_O)$, A$(x_A, y_A)$ и B$(x_B, y_B)$. Координаты точки пересечения медиан M$(x_M, y_M)$ находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_O + x_A + x_B}{3}$
$y_M = \frac{y_O + y_A + y_B}{3}$

В данной задаче координаты вершин треугольника следующие: O(0; 0), A(8; 0) и B(7; 6).
Подставим эти значения в формулы:
Абсцисса точки M:
$x_M = \frac{0 + 8 + 7}{3} = \frac{15}{3} = 5$
Ордината точки M:
$y_M = \frac{0 + 0 + 6}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Таким образом, координаты точки M пересечения медиан треугольника равны (5; 2).
Ответ: M(5; 2)

14. Рене Декарт — великий математик и мыслитель XVII века (www.math.ru).

Рене Декарт (1596–1650) — французский философ, математик, физик и физиолог, чьи труды ознаменовали собой революцию в науке и философии XVII века. Он по праву считается одним из отцов-основателей современной философии и аналитической геометрии, заложив основы рационализма и научного метода.

Вклад в математику. Главной заслугой Декарта в математике является создание аналитической геометрии, которая позволила связать воедино алгебру и геометрию. Он ввёл систему координат, названную впоследствии его именем — прямоугольная (декартова) система координат. Эта система устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками на плоскости (или в пространстве) и парами (или тройками) действительных чисел — их координатами. Благодаря этому стало возможным описывать геометрические фигуры и их свойства с помощью алгебраических уравнений. Например, окружность с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ может быть задана уравнением $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$. Этот подход открыл путь к развитию математического анализа. Декарт также внёс значительный вклад в математическую символику. Он предложил использовать последние буквы алфавита ($x, y, z$) для обозначения неизвестных переменных, а начальные ($a, b, c$) — для известных коэффициентов. Кроме того, он ввёл современную запись для степеней, используя надстрочные цифры (показатели степени), например, $x^3$ вместо $xxx$. Ещё одним важным вкладом является «правило знаков Декарта», которое позволяет оценить количество положительных и отрицательных корней многочлена.

Вклад в философию. Декарт является основоположником рационализма Нового времени. В поисках незыблемого фундамента для всего здания знания он использовал метод радикального сомнения: подвергал сомнению всё, что можно, включая данные органов чувств и даже существование внешнего мира. Единственное, в чём он не смог усомниться, — это в факте собственного мышления (и, следовательно, существования). Это привело его к знаменитому выводу: «Cogito, ergo sum» («Я мыслю, следовательно, я существую»). Этот тезис стал отправной точкой всей его философии. На основе этого фундамента Декарт построил свою метафизическую систему, доказывая существование Бога, который, как совершенное существо, не может быть обманщиком, что, в свою очередь, гарантирует истинность ясных и отчётливых идей нашего разума и реальность физического мира. Декарт также известен своим учением о дуализме — представлением о человеке как о единстве двух различных субстанций: мыслящей (души, res cogitans) и протяжённой (тела, res extensa). Вопрос о том, как эти две субстанции взаимодействуют, стал центральной проблемой для последующей философии (проблема души и тела).

Таким образом, Рене Декарт заложил основы для многих направлений современной науки и философии, определив вектор их развития на столетия вперёд. Его идеи о применении математического метода к познанию мира и акцент на разуме как главном инструменте познания стали краеугольным камнем эпохи Просвещения.

Ответ: Рене Декарт (1596–1650) был выдающимся французским учёным и философом, чей вклад оказал огромное влияние на развитие математики и философии. В математике он является создателем аналитической геометрии, которая соединила алгебру и геометрию через введение системы координат (декартовой системы). Это позволило описывать геометрические объекты алгебраическими уравнениями, например, уравнение окружности $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$. Он также усовершенствовал математическую нотацию, введя общепринятое обозначение степеней (например, $x^2$, $a^3$) и использование букв $x, y, z$ для переменных и $a, b, c$ для констант. В философии Декарт считается отцом современного рационализма. Его метод радикального сомнения привёл к знаменитому выводу «Я мыслю, следовательно, я существую» («Cogito, ergo sum»), который стал основой для его гносеологии. Он разработал учение о дуализме, разделив реальность на две субстанции: мыслящую (душа, сознание) и протяжённую (материя, тело), что породило классическую психофизическую проблему о взаимодействии души и тела.

15. Попробуйте найти формулу, выражающую расстояние между двумя точками $A_1(x_1; y_1)$, $A_2(x_2; y_2)$ через их координаты.

Для вывода формулы расстояния между двумя точками $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$ на координатной плоскости воспользуемся теоремой Пифагора.

Представим точки $A_1$ и $A_2$ в системе координат. Расстояние между ними — это длина отрезка $A_1A_2$. Чтобы найти эту длину, построим прямоугольный треугольник, для которого отрезок $A_1A_2$ будет гипотенузой, а катеты будут параллельны осям координат.

Проведем через точку $A_1$ прямую, параллельную оси абсцисс ($Ox$), а через точку $A_2$ — прямую, параллельную оси ординат ($Oy$). Точка их пересечения, обозначим ее $C$, будет иметь координаты $(x_2; y_1)$. Треугольник $A_1CA_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Длины катетов этого треугольника определяются разностью соответствующих координат:

• Длина катета $A_1C$, лежащего на горизонтальной прямой, равна модулю разности абсцисс: $|A_1C| = |x_2 - x_1|$.
• Длина катета $A_2C$, лежащего на вертикальной прямой, равна модулю разности ординат: $|A_2C| = |y_2 - y_1|$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Обозначим искомое расстояние (длину гипотенузы $A_1A_2$) как $d$. Тогда:

$d^2 = |A_1C|^2 + |A_2C|^2$

Подставив выражения для длин катетов, получим:

$d^2 = (|x_2 - x_1|)^2 + (|y_2 - y_1|)^2$

Поскольку квадрат модуля числа равен квадрату самого числа (то есть $(|a|)^2 = a^2$), мы можем убрать знаки модуля:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Чтобы найти расстояние $d$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей равенства. Так как расстояние — это всегда неотрицательная величина, мы берем положительное значение корня:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Это и есть формула, выражающая расстояние между двумя точками через их координаты.

Ответ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$