Страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как выражается расстояние между точками через их координаты?

2. Каким уравнением задается окружность на координатной плоскости?

3. Каким неравенством задается круг на координатной плоскости?

1. Как выражается расстояние между точками через их координаты?

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости выводится из теоремы Пифагора. Рассмотрим две произвольные точки $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2)$. Мы можем построить прямоугольный треугольник, где отрезок $AB$ будет гипотенузой, а катеты будут параллельны осям координат. Длины катетов будут равны модулям разности соответствующих координат: $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$.
Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Обозначив расстояние между точками $A$ и $B$ как $d$, получим: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Чтобы найти само расстояние $d$, необходимо извлечь квадратный корень из правой части уравнения.
Ответ: Расстояние $d$ между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ выражается формулой: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

2. Каким уравнением задается окружность на координатной плоскости?

Окружность представляет собой множество всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии (называемом радиусом) от одной заданной точки (называемой центром).
Пусть центр окружности — это точка $C(x_0, y_0)$, а ее радиус равен $R$. Возьмем любую точку $M(x, y)$, которая лежит на этой окружности. По определению, расстояние между точками $M$ и $C$ должно быть равно $R$.
Используя формулу расстояния между двумя точками, мы можем записать это условие: $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = R$.
Для получения канонического вида уравнения окружности возведем обе части этого равенства в квадрат. Это является равносильным преобразованием, поскольку и расстояние, и радиус — неотрицательные величины.
Ответ: Окружность с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R > 0$ задается уравнением: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. В частном случае, если центр окружности находится в начале координат $(0, 0)$, уравнение упрощается до $x^2 + y^2 = R^2$.

3. Каким неравенством задается круг на координатной плоскости?

Круг — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки (центра) не превышает заданного неотрицательного числа (радиуса). Таким образом, круг включает в себя как точки внутри окружности, так и саму окружность.
Пусть центр круга — точка $C(x_0, y_0)$, а его радиус равен $R$. Для любой точки $M(x, y)$, принадлежащей кругу, расстояние от $M$ до $C$ должно быть меньше или равно $R$.
Запишем это условие с помощью формулы расстояния: $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \le R$.
Возводя обе неотрицательные части неравенства в квадрат, мы получаем неравенство, которое задает круг на координатной плоскости.
Ответ: Круг с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ задается неравенством: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2$.

1. Найдите расстояние между точками:
а) $A_1(1; 2)$ и $A_2(-1; 1)$;
б) $B_1(3; 4)$ и $B_2(3; -1)$.

Для нахождения расстояния $d$ между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ используется формула, основанная на теореме Пифагора:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

а) Найдем расстояние между точками $A_1(1; 2)$ и $A_2(-1; 1)$.

Применим формулу для координат данных точек:

$x_1 = 1, y_1 = 2$

$x_2 = -1, y_2 = 1$

Подставим эти значения в формулу расстояния:

$d = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

б) Найдем расстояние между точками $B_1(3; 4)$ и $B_2(3; -1)$.

Применим ту же формулу для координат этих точек:

$x_1 = 3, y_1 = 4$

$x_2 = 3, y_2 = -1$

Подставим значения в формулу:

$d = \sqrt{(3 - 3)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{0 + 25} = \sqrt{25} = 5$.

Так как абсциссы (координаты $x$) обеих точек одинаковы и равны 3, точки лежат на одной вертикальной прямой $x=3$. В этом частном случае расстояние можно найти проще, как модуль разности их ординат (координат $y$):

$d = |y_2 - y_1| = |-1 - 4| = |-5| = 5$.

Ответ: 5

2. Найдите расстояние от точки $A(2; 3)$ до осей:

а) $Ox$;

б) $Oy$.

Для нахождения расстояния от точки до координатных осей используется следующее правило: расстояние от точки $A(x; y)$ до оси абсцисс ($Ox$) равно модулю ее ординаты ($|y|$), а расстояние до оси ординат ($Oy$) равно модулю ее абсциссы ($|x|$).

Дана точка $A(2; 3)$.

а) Ox

Расстояние от точки $A(2; 3)$ до оси $Ox$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки A на ось $Ox$. Основанием этого перпендикуляра будет точка $P(2; 0)$. Расстояние между точками $A(2; 3)$ и $P(2; 0)$ равно модулю разности их ординат, так как абсциссы у них одинаковы.

Расстояние равно $|3 - 0| = 3$.

Согласно общему правилу, расстояние от точки $A(2; 3)$ до оси $Ox$ равно модулю ее y-координаты: $d = |3| = 3$.

Ответ: 3

б) Oy

Расстояние от точки $A(2; 3)$ до оси $Oy$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки A на ось $Oy$. Основанием этого перпендикуляра будет точка $Q(0; 3)$. Расстояние между точками $A(2; 3)$ и $Q(0; 3)$ равно модулю разности их абсцисс, так как ординаты у них одинаковы.

Расстояние равно $|2 - 0| = 2$.

Согласно общему правилу, расстояние от точки $A(2; 3)$ до оси $Oy$ равно модулю ее x-координаты: $d = |2| = 2$.

Ответ: 2

3. Какая из точек $A (2; 1)$ или $B (-2; 1)$ лежит ближе к началу координат?

Чтобы определить, какая из точек лежит ближе к началу координат, нужно вычислить расстояние от каждой точки до начала координат, которым является точка O(0; 0). Расстояние $d$ от точки с координатами $(x; y)$ до начала координат вычисляется по формуле, основанной на теореме Пифагора:

$d = \sqrt{x^2 + y^2}$

1. Вычислим расстояние от точки A(2; 1) до начала координат. Обозначим это расстояние $d_A$.

Для точки A имеем $x = 2$ и $y = 1$. Подставим эти значения в формулу:

$d_A = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

2. Вычислим расстояние от точки B(-2; 1) до начала координат. Обозначим это расстояние $d_B$.

Для точки B имеем $x = -2$ и $y = 1$. Подставим эти значения в формулу:

$d_B = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

3. Теперь сравним полученные расстояния $d_A$ и $d_B$.

$d_A = \sqrt{5}$

$d_B = \sqrt{5}$

Поскольку $d_A = d_B$, обе точки находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

Ответ: Точки A(2; 1) и B(-2; 1) лежат на одинаковом расстоянии от начала координат.

4. Найдите координаты центра C и радиус R окружности, заданной уравнением:

a) $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$

б) $x^2 + (y - 6)^2 = 16$

Общее уравнение окружности с центром в точке C с координатами $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Чтобы найти координаты центра и радиус для каждой окружности, необходимо привести ее уравнение к этому виду и сравнить.

а) Дано уравнение окружности $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$.

Сравним это уравнение с каноническим видом $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Из члена $(x - 2)^2$ следует, что абсцисса центра $x_0 = 2$.

Из члена $(y + 5)^2$, который можно записать как $(y - (-5))^2$, следует, что ордината центра $y_0 = -5$.

Следовательно, координаты центра окружности C: $(2, -5)$.

Правая часть уравнения представляет собой квадрат радиуса: $R^2 = 9$.

Отсюда находим радиус $R$ (так как радиус — величина неотрицательная): $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: Координаты центра C(2, -5), радиус $R = 3$.

б) Дано уравнение окружности $x^2 + (y - 6)^2 = 16$.

Сравним это уравнение с каноническим видом $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Член $x^2$ можно записать как $(x - 0)^2$, из чего следует, что абсцисса центра $x_0 = 0$.

Из члена $(y - 6)^2$ следует, что ордината центра $y_0 = 6$.

Следовательно, координаты центра окружности C: $(0, 6)$.

Правая часть уравнения представляет собой квадрат радиуса: $R^2 = 16$.

Отсюда находим радиус $R$: $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Координаты центра C(0, 6), радиус $R = 4$.

5. Напишите уравнение окружности:
а) с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом 1;
б) с центром в точке $C(1; -2)$ и радиусом 4.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

а) с центром в точке O(0; 0) и радиусом 1

В данном случае координаты центра окружности $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$, а радиус $r = 1$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения окружности:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$

После упрощения получаем:

$x^2 + y^2 = 1$

Ответ: $x^2 + y^2 = 1$

б) с центром в точке C(1; –2) и радиусом 4

Здесь координаты центра окружности $x_0 = 1$ и $y_0 = -2$, а радиус $r = 4$.

Подставим эти значения в общую формулу:

$(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 4^2$

После упрощения получаем искомое уравнение:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$

6. Выясните, как расположена точка относительно окружности, за- данной уравнением $x^2 + y^2 = 25$, если она имеет координаты:

а) (1; 2);

б) (3; 4);

в) (-4; 3);

г) (0; 5);

д) (5; -1).

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 25$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Чтобы определить, как расположена точка с координатами $(x_0, y_0)$ относительно этой окружности, необходимо подставить её координаты в левую часть уравнения и сравнить полученное значение с квадратом радиуса, то есть с 25.
- Если $x_0^2 + y_0^2 < 25$, то точка находится внутри окружности.
- Если $x_0^2 + y_0^2 = 25$, то точка лежит на окружности.
- Если $x_0^2 + y_0^2 > 25$, то точка находится вне окружности.

а) Проверим точку с координатами $(1; 2)$.
Подставим значения $x=1$ и $y=2$ в выражение $x^2 + y^2$:
$1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
Сравниваем результат с 25: $5 < 25$.
Следовательно, точка расположена внутри окружности.
Ответ: точка расположена внутри окружности.

б) Проверим точку с координатами $(3; 4)$.
Подставим значения $x=3$ и $y=4$:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка расположена на окружности.

в) Проверим точку с координатами $(-4; 3)$.
Подставим значения $x=-4$ и $y=3$:
$(-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка расположена на окружности.

г) Проверим точку с координатами $(0; 5)$.
Подставим значения $x=0$ и $y=5$:
$0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка расположена на окружности.

д) Проверим точку с координатами $(5; -1)$.
Подставим значения $x=5$ и $y=-1$:
$5^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26$.
Сравниваем результат с 25: $26 > 25$.
Следовательно, точка расположена вне окружности.
Ответ: точка расположена вне окружности.

7. Даны точки $M(1; -2)$, $N(-2; 3)$ и $K(3; 1)$. Найдите периметр треугольника MNK.

Чтобы найти периметр треугольника MNK, необходимо найти сумму длин всех его сторон: $P_{MNK} = MN + NK + KM$.

Длину каждой стороны вычислим по формуле расстояния между двумя точками с заданными координатами A($x_1; y_1$) и B($x_2; y_2$):

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Даны координаты вершин треугольника: M(1; -2), N(-2; 3) и K(3; 1).

1. Вычисление длины стороны MN

Подставляем координаты точек M(1; -2) и N(-2; 3) в формулу:

$MN = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (3 + 2)^2} = \sqrt{9 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

2. Вычисление длины стороны NK

Подставляем координаты точек N(-2; 3) и K(3; 1) в формулу:

$NK = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5^2 + 4} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$

3. Вычисление длины стороны KM

Подставляем координаты точек K(3; 1) и M(1; -2) в формулу:

$KM = \sqrt{(1 - 3)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

4. Вычисление периметра треугольника MNK

Периметр равен сумме длин всех сторон:

$P_{MNK} = MN + NK + KM = \sqrt{34} + \sqrt{29} + \sqrt{13}$

Ответ: $\sqrt{34} + \sqrt{29} + \sqrt{13}$

8. Определите вид треугольника $ABC$, если его вершины имеют координаты:

a) $A(-2; -1)$, $B(2; -1)$, $C(-2; 1);$

б) $A(-2; -2)$, $B(2; -2)$, $C(0; 1).$

Чтобы определить вид треугольника, необходимо найти длины его сторон и сравнить их, а также проверить, выполняется ли для них теорема Пифагора. Длину отрезка между точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ будем находить по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Для удобства будем вычислять квадраты длин сторон $d^2$.

а) Даны вершины треугольника A(-2; -1), B(2; -1), C(-2; 1).

1. Найдем квадрат длины стороны AB:

$AB^2 = (2 - (-2))^2 + (-1 - (-1))^2 = (2 + 2)^2 + (-1 + 1)^2 = 4^2 + 0^2 = 16$.

2. Найдем квадрат длины стороны AC:

$AC^2 = (-2 - (-2))^2 + (1 - (-1))^2 = (-2 + 2)^2 + (1 + 1)^2 = 0^2 + 2^2 = 4$.

3. Найдем квадрат длины стороны BC:

$BC^2 = (-2 - 2)^2 + (1 - (-1))^2 = (-4)^2 + (1 + 1)^2 = 16 + 2^2 = 16 + 4 = 20$.

Длины сторон равны $AB = \sqrt{16} = 4$, $AC = \sqrt{4} = 2$, $BC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Так как все стороны имеют разную длину, треугольник является разносторонним.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны:

$AB^2 + AC^2 = 16 + 4 = 20$.

Полученная сумма равна квадрату третьей стороны: $BC^2 = 20$.

Так как $AB^2 + AC^2 = BC^2$, треугольник ABC является прямоугольным. Прямой угол - это угол, противолежащий самой большой стороне (гипотенузе BC), то есть угол A.

Ответ: треугольник ABC - прямоугольный.

б) Даны вершины треугольника A(-2; -2), B(2; -2), C(0; 1).

1. Найдем квадрат длины стороны AB:

$AB^2 = (2 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2 = (2 + 2)^2 + (-2 + 2)^2 = 4^2 + 0^2 = 16$.

2. Найдем квадрат длины стороны AC:

$AC^2 = (0 - (-2))^2 + (1 - (-2))^2 = (0 + 2)^2 + (1 + 2)^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.

3. Найдем квадрат длины стороны BC:

$BC^2 = (0 - 2)^2 + (1 - (-2))^2 = (-2)^2 + (1 + 2)^2 = 4 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.

Мы видим, что квадраты длин сторон AC и BC равны: $AC^2 = BC^2 = 13$. Следовательно, равны и сами стороны: $AC = BC = \sqrt{13}$.

Так как две стороны треугольника равны, он является равнобедренным. Третья сторона (основание) $AB = \sqrt{16} = 4$.

Проверим, является ли он прямоугольным. Сумма квадратов двух равных сторон: $AC^2 + BC^2 = 13 + 13 = 26$. Квадрат третьей стороны $AB^2 = 16$. Так как ни одна из сумм квадратов двух сторон не равна квадрату третьей ($13+13 \neq 16$ и $16+13 \neq 13$), треугольник не является прямоугольным.

Ответ: треугольник ABC - равнобедренный.