Номер 6, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 0.5x^2$ и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 0,5x^2$ по стандартному алгоритму.

1. Область определения

Функция $f(x)$ является многочленом, который определен для всех действительных значений $x$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Проверим функцию на четность и нечетность. Для этого найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 - 0,5(-x)^2 = -x^3 - 0,5x^2$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = -x^3 - 0,5x^2 \neq f(x) = x^3 - 0,5x^2$

$f(-x) = -x^3 - 0,5x^2 \neq -f(x) = -(x^3 - 0,5x^2) = -x^3 + 0,5x^2$

Поскольку условия $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$ не выполняются, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy:

Для нахождения точки пересечения с осью ординат, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$f(0) = 0^3 - 0,5 \cdot 0^2 = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

С осью Ox:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс, решим уравнение $f(x)=0$:

$x^3 - 0,5x^2 = 0$

$x^2(x - 0,5) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 0,5$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(0,5; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями: $(0, 0)$ и $(0,5; 0)$.

4. Асимптоты

Вертикальные асимптоты:

Так как функция является многочленом и определена на всей числовой оси, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Горизонтальные и наклонные асимптоты:

Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 0,5x^2) = \lim_{x \to +\infty} x^3(1 - \frac{0,5}{x}) = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 0,5x^2) = \lim_{x \to -\infty} x^3(1 - \frac{0,5}{x}) = -\infty$

Так как пределы бесконечны, горизонтальные асимптоты отсутствуют. Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = kx + b$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 0,5x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 0,5x) = +\infty$

Так как предел $k$ не является конечным числом, наклонные асимптоты также отсутствуют.

Ответ: Асимптоты у графика функции отсутствуют.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 0,5x^2)' = 3x^2 - x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$3x^2 - x = 0$

$x(3x - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{3}$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$:

• При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$, $f'(-1) = 3(-1)^2 - (-1) = 4 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0, \frac{1}{3})$, например $x=0,1$, $f'(0,1) = 3(0,1)^2 - 0,1 = 0,03 - 0,1 = -0,07 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$, например $x=1$, $f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2 > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f(0)=0$.

В точке $x=\frac{1}{3}$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 0,5(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{27} - \frac{0,5}{9} = \frac{1}{27} - \frac{1}{18} = \frac{2-3}{54} = -\frac{1}{54}$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[\frac{1}{3}, +\infty)$, убывает на промежутке $[0, \frac{1}{3}]$. Точка максимума $(0, 0)$, точка минимума $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{54})$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$f''(x) = (3x^2 - x)' = 6x - 1$.

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:

$6x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{6}$.

Исследуем знак второй производной на интервалах $(-\infty, \frac{1}{6})$ и $(\frac{1}{6}, +\infty)$:

• При $x \in (-\infty, \frac{1}{6})$, например $x=0$, $f''(0) = 6(0) - 1 = -1 < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
• При $x \in (\frac{1}{6}, +\infty)$, например $x=1$, $f''(1) = 6(1) - 1 = 5 > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=\frac{1}{6}$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. Найдем значение функции в этой точке:

$f(\frac{1}{6}) = (\frac{1}{6})^3 - 0,5(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{216} - \frac{0,5}{36} = \frac{1}{216} - \frac{1}{72} = \frac{1-3}{216} = -\frac{2}{216} = -\frac{1}{108}$.

Ответ: График функции является выпуклым вверх на промежутке $(-\infty, \frac{1}{6})$ и выпуклым вниз на промежутке $(\frac{1}{6}, +\infty)$. Точка перегиба $(\frac{1}{6}, -\frac{1}{108})$.

7. Построение графика

Сведем полученные данные в таблицу:

Используя полученные данные (точки пересечения с осями, точки экстремумов, точку перегиба и интервалы монотонности и выпуклости), строим график функции:

Ответ: График функции построен на основании проведенного исследования.