gdz.top
Номер 4, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 9. Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 4, страница 173.
№3
№4 (с. 173)
Условие. №4 (с. 173)
4. Докажите тождество
$(\frac{\cos 7\alpha}{\sin 3\alpha} + \frac{\sin 7\alpha}{\cos 3\alpha}) \cdot \frac{\cos 7\alpha - \cos 5\alpha}{\cos 4\alpha} = -4 \sin \alpha.$
Решение. №4 (с. 173)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{\cos(7\alpha)}{\sin(3\alpha)} + \frac{\sin(7\alpha)}{\cos(3\alpha)} = \frac{\cos(7\alpha)\cos(3\alpha) + \sin(7\alpha)\sin(3\alpha)}{\sin(3\alpha)\cos(3\alpha)}$
В числителе полученной дроби применим формулу косинуса разности: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.
$\cos(7\alpha)\cos(3\alpha) + \sin(7\alpha)\sin(3\alpha) = \cos(7\alpha - 3\alpha) = \cos(4\alpha)$
В знаменателе применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.
$\sin(3\alpha)\cos(3\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2} \sin(6\alpha)$
Таким образом, первый множитель (выражение в скобках) равен:
$\frac{\cos(4\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(6\alpha)} = \frac{2\cos(4\alpha)}{\sin(6\alpha)}$
Теперь преобразуем второй множитель $\frac{\cos(7\alpha) - \cos(5\alpha)}{\cos(4\alpha)}$. Для числителя используем формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})$.
$\cos(7\alpha) - \cos(5\alpha) = -2\sin(\frac{7\alpha+5\alpha}{2})\sin(\frac{7\alpha-5\alpha}{2}) = -2\sin(6\alpha)\sin(\alpha)$
Следовательно, второй множитель равен:
$\frac{-2\sin(6\alpha)\sin(\alpha)}{\cos(4\alpha)}$
Перемножим преобразованные выражения:
$(\frac{2\cos(4\alpha)}{\sin(6\alpha)}) \cdot (\frac{-2\sin(6\alpha)\sin(\alpha)}{\cos(4\alpha)})$
Сократим общие множители $\cos(4\alpha)$ и $\sin(6\alpha)$ в числителе и знаменателе:
$2 \cdot (-2\sin(\alpha)) = -4\sin(\alpha)$
В результате преобразования левая часть тождества оказалась равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 173 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 173), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.