gdz.top
Номер 1, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 8. Тема. Применение производной - номер 1, страница 172.
№5
№1 (с. 172)
Условие. №1 (с. 172)
1. Докажите, что функция $f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+6x-20$ возрастает на множестве действительных чисел.
Решение. №1 (с. 172)
1.
Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 6x - 20$ возрастает на множестве действительных чисел, нужно показать, что ее производная $f'(x)$ положительна для всех действительных значений $x$.
1. Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 6x - 20)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - 2 \cdot (x^2)' + 6 \cdot (x)' - (20)'$
$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 6 \cdot 1 - 0 = x^2 - 4x + 6$
2. Теперь необходимо исследовать знак производной $f'(x) = x^2 - 4x + 6$ на всей числовой оси. Это квадратичная функция, график которой является параболой с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).
Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс (то есть, имеет ли производная нули), найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 6$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$
Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси $Ox$.
Следовательно, $f'(x) = x^2 - 4x + 6 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.
Альтернативный способ доказать положительность производной — выделить полный квадрат:
$f'(x) = x^2 - 4x + 6 = (x^2 - 4x + 4) + 2 = (x-2)^2 + 2$
Так как $(x-2)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $(x-2)^2 + 2 \ge 2$. Таким образом, $f'(x) > 0$ для всех $x$.
Поскольку производная функции положительна на всей области определения, функция $f(x)$ монотонно возрастает на множестве действительных чисел, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 172 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 172), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.