Номер 5, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Решите уравнение

$ \sin 10x + \cos 10x = -\sqrt{2} \sin 8x. $

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ можно свернуть по формуле $ \sqrt{a^2+b^2} \sin(\alpha + \varphi) $, где $ \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $ и $ \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $.

Для выражения $ \sin(10x) + \cos(10x) $ имеем $a=1$ и $b=1$. Тогда $ \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $.

Получаем:

$ \sin(10x) + \cos(10x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(10x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(10x)\right) $

Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, можем записать:

$ \sqrt{2}\left(\sin(10x)\cos\frac{\pi}{4} + \cos(10x)\sin\frac{\pi}{4}\right) $

Используя формулу синуса суммы $ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $, получаем:

$ \sqrt{2}\sin\left(10x + \frac{\pi}{4}\right) $

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \sqrt{2}\sin\left(10x + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\sin(8x) $

Разделим обе части на $ \sqrt{2} $:

$ \sin\left(10x + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin(8x) $

Используя свойство нечетности функции синус, $ -\sin\alpha = \sin(-\alpha) $, перепишем уравнение:

$ \sin\left(10x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin(-8x) $

Равенство синусов $ \sin A = \sin B $ выполняется в двух случаях:

1) $ A = B + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$

$ 10x + \frac{\pi}{4} = -8x + 2\pi k $

$ 18x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{72} + \frac{2\pi k}{18} $

$ x = -\frac{\pi}{72} + \frac{\pi k}{9}, \quad k \in \mathbb{Z} $

2) $ A = \pi - B + 2\pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$

$ 10x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-8x) + 2\pi n $

$ 10x + \frac{\pi}{4} = \pi + 8x + 2\pi n $

$ 2x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

$ 2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

$ x = \frac{3\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{72} + \frac{\pi k}{9}; \quad x = \frac{3\pi}{8} + \pi n, $ где $k, n \in \mathbb{Z}$.