Номер 3, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Решите уравнение:

1) $4\sin^2 x - 8\cos x + 1 = 0;$

2) $2\cos^2 2x - 2\sin 4x + 1 = 0;$

3) $\cos 7x + \cos 8x + \cos 9x = 0.$

1) $4\sin^2 x - 8\cos x + 1 = 0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4(1 - \cos^2 x) - 8\cos x + 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4 - 4\cos^2 x - 8\cos x + 1 = 0$

$-4\cos^2 x - 8\cos x + 5 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$4\cos^2 x + 8\cos x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, при этом необходимо учесть, что $-1 \le t \le 1$. Уравнение примет вид:

$4t^2 + 8t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$

Теперь вернемся к замене $t = \cos x$ и рассмотрим два случая:

1. $\cos x = \frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Решения этого уравнения:

$x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in Z$

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$

2. $\cos x = -\frac{5}{2} = -2.5$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.

2) $2\cos^2 2x - 2\sin 4x + 1 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$, тогда $2\cos^2 2x = 1 + \cos(4x)$. Подставим это в уравнение:

$(1 + \cos 4x) - 2\sin 4x + 1 = 0$

$\cos 4x - 2\sin 4x + 2 = 0$

Применим универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть $t = \tan(2x)$. Тогда $\cos 4x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ и $\sin 4x = \frac{2t}{1+t^2}$.

$\frac{1-t^2}{1+t^2} - 2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда положительно):

$(1-t^2) - 4t + 2(1+t^2) = 0$

$1 - t^2 - 4t + 2 + 2t^2 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Вернемся к замене $t = \tan(2x)$:

1. $\tan(2x) = 1$

$2x = \arctan(1) + \pi n, n \in Z$

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$

2. $\tan(2x) = 3$

$2x = \arctan(3) + \pi n, n \in Z$

$x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

3) $\cos 7x + \cos 8x + \cos 9x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$(\cos 9x + \cos 7x) + \cos 8x = 0$

$2\cos\frac{9x+7x}{2}\cos\frac{9x-7x}{2} + \cos 8x = 0$

$2\cos(8x)\cos(x) + \cos 8x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 8x$ за скобки:

$\cos 8x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1. $\cos 8x = 0$

$8x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in Z$

2. $2\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

$x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in Z$

$x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in Z$.