Номер 1, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 3x^6 + \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 5x;$

2) $f(x) = (2-5x)\sqrt{x};$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 2};$

4) $f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{5}{x^4}.$

1)

Дана функция $f(x) = 3x^6 + \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 5x$.

Для нахождения производной этой функции, которая является многочленом, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и степенной функцией $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

$(3x^6)' = 3 \cdot 6x^{6-1} = 18x^5$
$(\frac{x^4}{4})' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} = x^3$
$(-2x^2)' = -2 \cdot 2x^{2-1} = -4x$
$(5x)' = 5 \cdot 1x^{1-1} = 5 \cdot 1 = 5$

Сложим полученные производные, чтобы найти производную исходной функции:

$f'(x) = 18x^5 + x^3 - 4x + 5$.

Ответ: $f'(x) = 18x^5 + x^3 - 4x + 5$.

2)

Дана функция $f(x) = (2-5x)\sqrt{x}$.

Для нахождения производной можно применить правило производной произведения, но проще сначала упростить выражение. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и раскроем скобки:

$f(x) = (2-5x)x^{1/2} = 2x^{1/2} - 5x \cdot x^{1/2} = 2x^{1/2} - 5x^{3/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции:

$f'(x) = (2x^{1/2})' - (5x^{3/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 5 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1}$

$f'(x) = 1 \cdot x^{-1/2} - \frac{15}{2}x^{1/2}$.

Перепишем результат в виде выражения с корнями:

$f'(x) = \frac{1}{x^{1/2}} - \frac{15x^{1/2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{15\sqrt{x}}{2}$.

Можно привести выражение к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{x}} - \frac{15\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{2 - 15x}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2 - 15x}{2\sqrt{x}}$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x+2}$.

Это частное двух функций. Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, $u(x) = x^2 - 8x$ и $v(x) = x+2$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (x^2 - 8x)' = 2x - 8$

$v'(x) = (x+2)' = 1$

Подставим найденные значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(2x-8)(x+2) - (x^2 - 8x) \cdot 1}{(x+2)^2}$.

Упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 8x - 16 - x^2 + 8x}{(x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x^2 - x^2) + (4x - 8x + 8x) - 16}{(x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 16}{(x+2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 16}{(x+2)^2}$.

4)

Дана функция $f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{5}{x^4}$.

Чтобы упростить дифференцирование, перепишем функцию, используя степени с отрицательными показателями:

$f(x) = 4x^{-2} - 5x^{-4}$.

Теперь применим правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ к каждому слагаемому:

$f'(x) = (4x^{-2})' - (5x^{-4})' = 4 \cdot (-2)x^{-2-1} - 5 \cdot (-4)x^{-4-1}$

$f'(x) = -8x^{-3} + 20x^{-5}$.

Вернемся к записи в виде дробей:

$f'(x) = -\frac{8}{x^3} + \frac{20}{x^5}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{8}{x^3} + \frac{20}{x^5}$.