Номер 1, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Решите уравнение:

1) $\cos \left(\frac{x}{8}+\frac{\pi}{4}\right)=1;$

2) $\sin \left(6 x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2};$

3) $\operatorname{ctg}^{2} 5 x-\operatorname{ctg} 5 x=0.$

1) Исходное уравнение: $cos(\frac{x}{8} + \frac{\pi}{4}) = 1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения вида $cos(t) = 1$ записывается формулой $t = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном уравнении $t = \frac{x}{8} + \frac{\pi}{4}$.
Приравняем аргумент косинуса к $2\pi k$:
$\frac{x}{8} + \frac{\pi}{4} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим переменную $x$:
$\frac{x}{8} = 2\pi k - \frac{\pi}{4}$
Умножим обе части уравнения на 8:
$x = 8 \cdot (2\pi k - \frac{\pi}{4})$
$x = 16\pi k - \frac{8\pi}{4}$
$x = 16\pi k - 2\pi$
Ответ: $x = -2\pi + 16\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin(6x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Общее решение уравнения вида $sin(t) = a$ (при $|a| \le 1$) имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 6x - \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{1}{2}$.
Находим значение арксинуса: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем это значение в общую формулу решения:
$6x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим $x$:
$6x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = \frac{1}{6} \cdot (\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n)$
$x = \frac{\pi}{36} + (-1)^n \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}$
Этот ответ можно также представить в виде двух серий корней, рассмотрев случаи для четных и нечетных $n$.
а) Для четных $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$.
б) Для нечетных $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{36} + (-1)^n \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $ctg^2 5x - ctg 5x = 0$.
Это уравнение можно решить, вынеся общий множитель за скобки. Вынесем $ctg 5x$:
$ctg 5x (ctg 5x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум отдельным уравнениям:
а) $ctg 5x = 0$
Решением этого уравнения является серия корней:
$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
б) $ctg 5x - 1 = 0 \implies ctg 5x = 1$
Решением этого уравнения является серия корней:
$5x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Оба набора решений входят в область допустимых значений котангенса ($5x \neq \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$; $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.