Номер 6, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Постройте график функции $f(x) = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, укажите промежутки её возрастания и убывания.

Построение графика

График функции $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ получается из графика основной тригонометрической функции $y = \sin(x)$ путем её параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Преобразование вида $f(x+a)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ на $a$ единиц влево, если $a > 0$, и вправо, если $a < 0$. В нашем случае $a = \frac{\pi}{6} > 0$, следовательно, график функции $y = \sin(x)$ необходимо сдвинуть на $\frac{\pi}{6}$ влево.

Алгоритм построения:

1. Сначала строим график функции $y = \sin(x)$. Это синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
2. Определяем ключевые точки графика $y = \sin(x)$ на одном периоде, например, $[0, 2\pi]$:
   • Точки пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$, $(\pi, 0)$, $(2\pi, 0)$.
   • Точка максимума: $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
   • Точка минимума: $(\frac{3\pi}{2}, -1)$.
3. Сдвигаем каждую из этих точек на $\frac{\pi}{6}$ влево, то есть вычитаем $\frac{\pi}{6}$ из каждой абсциссы:
   • Новые точки пересечения с осью $Ox$: $(0 - \frac{\pi}{6}, 0) = (-\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\pi - \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{5\pi}{6}, 0)$.
   • Новая точка максимума: $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, 1) = (\frac{3\pi - \pi}{6}, 1) = (\frac{2\pi}{6}, 1) = (\frac{\pi}{3}, 1)$.
   • Новая точка минимума: $(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, -1) = (\frac{9\pi - \pi}{6}, -1) = (\frac{8\pi}{6}, -1) = (\frac{4\pi}{3}, -1)$.
4. Соединяем полученные точки плавной кривой, продолжая её периодически влево и вправо.

Ответ: График функции $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ представляет собой синусоиду, смещенную на $\frac{\pi}{6}$ влево по оси $Ox$ относительно графика $y = \sin(x)$.

Промежутки возрастания и убывания

Для нахождения промежутков монотонности функции $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ воспользуемся свойствами базовой функции $y = \sin(t)$.

1. Промежутки возрастания.

Функция $y = \sin(t)$ возрастает, когда её аргумент $t$ принадлежит промежуткам $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{6}$. Составим и решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{3\pi+\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi-\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{4\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Таким образом, функция возрастает на промежутках $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Промежутки убывания.

Функция $y = \sin(t)$ убывает, когда её аргумент $t$ принадлежит промежуткам $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Аналогично, подставляем $t = x + \frac{\pi}{6}$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{3\pi-\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{9\pi-\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{2\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{8\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

Таким образом, функция убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Промежутки возрастания: $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.