Страница 170 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Определите знак выражения:

1) $cos156^\circ \sin(-350^\circ)\text{ctg}230^\circ;$

2) $\sin \frac{9\pi}{5} \text{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right)$.

1) Чтобы определить знак выражения $cos156^\circ \cdot sin(-350^\circ) \cdot ctg230^\circ$, определим знак каждого множителя по отдельности.

• Угол $156^\circ$ находится во второй координатной четверти (так как $90^\circ < 156^\circ < 180^\circ$). Косинус во второй четверти имеет знак минус (-). Следовательно, $cos156^\circ < 0$.
• Функция синус является нечетной, поэтому $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Таким образом, $sin(-350^\circ) = -sin(350^\circ)$. Угол $350^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 350^\circ < 360^\circ$), где синус имеет знак минус (-). Значит, $sin(350^\circ) < 0$. Тогда $sin(-350^\circ) = -(\text{отрицательное число}) > 0$. Знак — плюс (+).
• Угол $230^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 230^\circ < 270^\circ$). Котангенс в третьей четверти имеет знак плюс (+). Следовательно, $ctg230^\circ > 0$.

Теперь определим знак всего выражения, перемножив знаки множителей:
$(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Результат отрицательный.

Ответ: знак минус (-).

2) Чтобы определить знак выражения $sin\frac{9\pi}{5} \cdot ctg(-\frac{8\pi}{7})$, определим знак каждого множителя.

• Определим, в какой четверти находится угол $\frac{9\pi}{5}$. Границы четвертей: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. Сравним: $\frac{3\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{5}$ и $2\pi = \frac{10\pi}{5}$. Так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{9\pi}{5} < 2\pi$, угол находится в четвертой четверти. Синус в четвертой четверти имеет знак минус (-). Следовательно, $sin\frac{9\pi}{5} < 0$.
• Функция котангенс является нечетной, поэтому $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. Таким образом, $ctg(-\frac{8\pi}{7}) = -ctg(\frac{8\pi}{7})$. Определим, в какой четверти находится угол $\frac{8\pi}{7}$. Сравним: $\pi = \frac{7\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7}$. Так как $\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$, угол находится в третьей четверти. Котангенс в третьей четверти имеет знак плюс (+), значит $ctg(\frac{8\pi}{7}) > 0$. Тогда $ctg(-\frac{8\pi}{7}) = -(\text{положительное число}) < 0$. Знак — минус (-).

Теперь определим знак всего выражения, перемножив знаки множителей:
$(-) \cdot (-) = (+)$.
Результат положительный.

Ответ: знак плюс (+).

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = x^5 - 3\sin^3 3x \cos x;$

2) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}{\sin x}.$

1) $f(x) = x^5 - 3\sin^3(3x)\cos(x)$

Для исследования функции на чётность, необходимо проверить два условия: область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат, и должно выполняться одно из равенств: $f(-x) = f(x)$ (чётная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечётная функция) для всех $x$ из области определения.

1. Найдём область определения $D(f)$. Функции $x^5$, $\sin(3x)$ и $\cos(x)$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения всей функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Это множество является симметричным относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в выражение функции:

$f(-x) = (-x)^5 - 3\sin^3(3(-x))\cos(-x)$

Воспользуемся свойствами чётности и нечётности функций:

- Степенная функция с нечётным показателем является нечётной: $(-x)^5 = -x^5$.
- Функция синус является нечётной: $\sin(-z) = -\sin(z)$, поэтому $\sin(3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin(3x)$.
- Тогда $\sin^3(3(-x)) = (\sin(3(-x)))^3 = (-\sin(3x))^3 = -\sin^3(3x)$.
- Функция косинус является чётной: $\cos(-z) = \cos(z)$, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$.

Подставим эти выражения обратно в формулу для $f(-x)$:

$f(-x) = -x^5 - 3(-\sin^3(3x))(\cos(x)) = -x^5 + 3\sin^3(3x)\cos(x)$

Теперь сравним полученное выражение с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = x^5 - 3\sin^3(3x)\cos(x)$

$-f(x) = -(x^5 - 3\sin^3(3x)\cos(x)) = -x^5 + 3\sin^3(3x)\cos(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

2) $f(x) = \frac{\tg x + \ctg x}{\sin x}$

1. Найдём область определения функции $D(f)$. Функция определена, когда все входящие в неё выражения имеют смысл и знаменатель не равен нулю.

- $\tg x$ определён, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- $\ctg x$ определён, когда $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
- Знаменатель дроби $\sin x$ не равен нулю, то есть $x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все условия, получаем, что область определения состоит из всех $x$, для которых $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$. Это эквивалентно условию $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\tg(-x) + \ctg(-x)}{\sin(-x)}$

Используем свойства нечётности тригонометрических функций: $\tg(-x) = -\tg x$, $\ctg(-x) = -\ctg x$, $\sin(-x) = -\sin x$.

Подставим эти выражения в формулу для $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{-\tg x - \ctg x}{-\sin x} = \frac{-(\tg x + \ctg x)}{-\sin x} = \frac{\tg x + \ctg x}{\sin x}$

Мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.

Альтернативный способ:

Упростим исходное выражение для $f(x)$:

$f(x) = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x} = \frac{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\sin x} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\sin x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos x}$

Теперь исследуем на чётность упрощённую функцию:

$f(-x) = \frac{1}{\sin^2(-x) \cos(-x)}$

Так как $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$ и $\cos(-x) = \cos x$, получаем:

$f(-x) = \frac{1}{\sin^2 x \cos x} = f(x)$

Результат подтвердился: функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

4. Найдите значение выражения:

1) $\sin \frac{19\pi}{3}$;

2) $\operatorname{ctg}(-765^{\circ}).$

1) Чтобы найти значение $ \sin\frac{19\pi}{3} $, воспользуемся свойством периодичности функции синус. Период функции синус равен $ 2\pi $, поэтому $ \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) $ для любого целого $ k $.

Представим аргумент $ \frac{19\pi}{3} $ в виде суммы, выделив целое число периодов. Для этого разделим 19 на 3 с остатком, умноженным на 2 (так как в знаменателе 3, а период $ 2\pi = \frac{6\pi}{3} $):

$ \frac{19\pi}{3} = \frac{18\pi + \pi}{3} = \frac{18\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3} $.

Так как $ 6\pi = 3 \cdot 2\pi $, это соответствует трем полным оборотам на тригонометрической окружности. Мы можем отбросить эти полные обороты, так как значение синуса от этого не изменится:

$ \sin\frac{19\pi}{3} = \sin(6\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} $.

Значение $ \sin\frac{\pi}{3} $ является табличным и равно:

$ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

2) Для нахождения значения $ \mathrm{ctg}(-765^\circ) $ воспользуемся свойствами тригонометрических функций.

Во-первых, котангенс является нечетной функцией, то есть $ \mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg}(x) $. Применим это свойство:

$ \mathrm{ctg}(-765^\circ) = -\mathrm{ctg}(765^\circ) $.

Во-вторых, функция котангенс периодична. Ее основной период равен $ 180^\circ $, но также можно использовать период $ 360^\circ $ (так как $ 360^\circ = 2 \cdot 180^\circ $). Выделим целое число полных оборотов ($ k \cdot 360^\circ $) из угла $ 765^\circ $:

$ 765^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 45^\circ = 720^\circ + 45^\circ $.

Используя периодичность, отбросим полные обороты:

$ \mathrm{ctg}(765^\circ) = \mathrm{ctg}(2 \cdot 360^\circ + 45^\circ) = \mathrm{ctg}(45^\circ) $.

Теперь подставим полученный результат в наше выражение:

$ -\mathrm{ctg}(765^\circ) = -\mathrm{ctg}(45^\circ) $.

Значение $ \mathrm{ctg}(45^\circ) $ является табличным:

$ \mathrm{ctg}(45^\circ) = 1 $.

Следовательно, итоговое значение выражения:

$ \mathrm{ctg}(-765^\circ) = -1 $.

Ответ: $ -1 $

5. Сравните значения выражений:

1) $\text{tg} \frac{20\pi}{19}$ и $\text{tg} \frac{21\pi}{20}$;

2) $\cos \left(-\frac{16\pi}{33}\right)$ и $\cos \left(-\frac{17\pi}{35}\right)$.

1) Сравним $tg\frac{20\pi}{19}$ и $tg\frac{21\pi}{20}$.
Для начала преобразуем аргументы тангенсов, используя свойство периодичности функции тангенса, период которой равен $\pi$. То есть $tg(x+\pi k) = tg(x)$, где $k$ — целое число.
Для первого выражения:
$tg\frac{20\pi}{19} = tg(\frac{19\pi+\pi}{19}) = tg(\pi + \frac{\pi}{19})$.
Так как период тангенса равен $\pi$, то $tg(\pi + \frac{\pi}{19}) = tg\frac{\pi}{19}$.
Для второго выражения:
$tg\frac{21\pi}{20} = tg(\frac{20\pi+\pi}{20}) = tg(\pi + \frac{\pi}{20})$.
Аналогично, $tg(\pi + \frac{\pi}{20}) = tg\frac{\pi}{20}$.
Теперь задача сводится к сравнению значений $tg\frac{\pi}{19}$ и $tg\frac{\pi}{20}$.
Сравним аргументы (углы) $\frac{\pi}{19}$ и $\frac{\pi}{20}$.
Поскольку знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй ($19 < 20$), то значение первой дроби больше значения второй, т.е. $\frac{1}{19} > \frac{1}{20}$.
Следовательно, $\frac{\pi}{19} > \frac{\pi}{20}$.
Оба угла, $\frac{\pi}{19}$ и $\frac{\pi}{20}$, находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то есть в первой координатной четверти. На этом интервале функция $y = tg(x)$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Так как $\frac{\pi}{19} > \frac{\pi}{20}$, то $tg\frac{\pi}{19} > tg\frac{\pi}{20}$.
Соответственно, $tg\frac{20\pi}{19} > tg\frac{21\pi}{20}$.
Ответ: $tg\frac{20\pi}{19} > tg\frac{21\pi}{20}$.

2) Сравним $cos(-\frac{16\pi}{33})$ и $cos(-\frac{17\pi}{35})$.
Функция косинуса является четной, что означает $cos(-x) = cos(x)$ для любого $x$.
Поэтому:
$cos(-\frac{16\pi}{33}) = cos(\frac{16\pi}{33})$
$cos(-\frac{17\pi}{35}) = cos(\frac{17\pi}{35})$
Задача сводится к сравнению $cos(\frac{16\pi}{33})$ и $cos(\frac{17\pi}{35})$.
Определим, в какой четверти находятся углы $\frac{16\pi}{33}$ и $\frac{17\pi}{35}$. Для этого сравним их с $\frac{\pi}{2}$.
Сравним $\frac{16}{33}$ и $\frac{1}{2}$. Так как $16 \cdot 2 = 32$ и $33 \cdot 1 = 33$, то $32 < 33$, следовательно $\frac{16}{33} < \frac{1}{2}$, а значит $0 < \frac{16\pi}{33} < \frac{\pi}{2}$.
Сравним $\frac{17}{35}$ и $\frac{1}{2}$. Так как $17 \cdot 2 = 34$ и $35 \cdot 1 = 35$, то $34 < 35$, следовательно $\frac{17}{35} < \frac{1}{2}$, а значит $0 < \frac{17\pi}{35} < \frac{\pi}{2}$.
Оба угла находятся в первой четверти.
Теперь сравним сами углы $\frac{16\pi}{33}$ и $\frac{17\pi}{35}$. Для этого сравним дроби $\frac{16}{33}$ и $\frac{17}{35}$. Воспользуемся перекрестным умножением:
$16 \cdot 35 = 560$
$17 \cdot 33 = 561$
Поскольку $560 < 561$, то $\frac{16}{33} < \frac{17}{35}$, и, следовательно, $\frac{16\pi}{33} < \frac{17\pi}{35}$.
Функция $y = cos(x)$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Так как $\frac{16\pi}{33} < \frac{17\pi}{35}$, то для значений косинусов неравенство будет обратным: $cos(\frac{16\pi}{33}) > cos(\frac{17\pi}{35})$.
Таким образом, $cos(-\frac{16\pi}{33}) > cos(-\frac{17\pi}{35})$.
Ответ: $cos(-\frac{16\pi}{33}) > cos(-\frac{17\pi}{35})$.

6. Постройте график функции $f(x) = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, укажите промежутки её возрастания и убывания.

Построение графика

График функции $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ получается из графика основной тригонометрической функции $y = \sin(x)$ путем её параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Преобразование вида $f(x+a)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ на $a$ единиц влево, если $a > 0$, и вправо, если $a < 0$. В нашем случае $a = \frac{\pi}{6} > 0$, следовательно, график функции $y = \sin(x)$ необходимо сдвинуть на $\frac{\pi}{6}$ влево.

Алгоритм построения:

1. Сначала строим график функции $y = \sin(x)$. Это синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
2. Определяем ключевые точки графика $y = \sin(x)$ на одном периоде, например, $[0, 2\pi]$:
   • Точки пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$, $(\pi, 0)$, $(2\pi, 0)$.
   • Точка максимума: $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
   • Точка минимума: $(\frac{3\pi}{2}, -1)$.
3. Сдвигаем каждую из этих точек на $\frac{\pi}{6}$ влево, то есть вычитаем $\frac{\pi}{6}$ из каждой абсциссы:
   • Новые точки пересечения с осью $Ox$: $(0 - \frac{\pi}{6}, 0) = (-\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\pi - \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{5\pi}{6}, 0)$.
   • Новая точка максимума: $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, 1) = (\frac{3\pi - \pi}{6}, 1) = (\frac{2\pi}{6}, 1) = (\frac{\pi}{3}, 1)$.
   • Новая точка минимума: $(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, -1) = (\frac{9\pi - \pi}{6}, -1) = (\frac{8\pi}{6}, -1) = (\frac{4\pi}{3}, -1)$.
4. Соединяем полученные точки плавной кривой, продолжая её периодически влево и вправо.

Ответ: График функции $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ представляет собой синусоиду, смещенную на $\frac{\pi}{6}$ влево по оси $Ox$ относительно графика $y = \sin(x)$.

Промежутки возрастания и убывания

Для нахождения промежутков монотонности функции $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ воспользуемся свойствами базовой функции $y = \sin(t)$.

1. Промежутки возрастания.

Функция $y = \sin(t)$ возрастает, когда её аргумент $t$ принадлежит промежуткам $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{6}$. Составим и решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{3\pi+\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi-\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{4\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Таким образом, функция возрастает на промежутках $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Промежутки убывания.

Функция $y = \sin(t)$ убывает, когда её аргумент $t$ принадлежит промежуткам $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Аналогично, подставляем $t = x + \frac{\pi}{6}$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{3\pi-\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{9\pi-\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{2\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{8\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

Таким образом, функция убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Промежутки возрастания: $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

7. Постройте график функции $y = \sqrt{\cos \frac{1}{2}x - 1} + 1$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{\cos\frac{1}{2}x - 1} + 1$ необходимо сначала найти ее область определения.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:

$\cos\frac{1}{2}x - 1 \ge 0$

Из этого неравенства следует, что $\cos\frac{1}{2}x \ge 1$.

Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ справедливо неравенство $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Таким образом, для выражения $\cos\frac{1}{2}x$ должны одновременно выполняться два условия:

1. $\cos\frac{1}{2}x \ge 1$ (согласно области определения корня)

2. $\cos\frac{1}{2}x \le 1$ (согласно свойству функции косинус)

Единственное значение, которое удовлетворяет обоим этим условиям, — это $\cos\frac{1}{2}x = 1$.

Теперь найдем значения $x$, для которых это равенство верно. Равенство $\cos\alpha = 1$ выполняется, когда $\alpha = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $\alpha = \frac{1}{2}x$, следовательно:

$\frac{1}{2}x = 2\pi k$

Домножив обе части на 2, получаем:

$x = 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Итак, область определения функции состоит из дискретного набора точек: $\dots, -8\pi, -4\pi, 0, 4\pi, 8\pi, \dots$.

Теперь найдем значение функции $y$ в этих точках. Подставим $\cos\frac{1}{2}x = 1$ в исходное уравнение функции:

$y = \sqrt{1 - 1} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1$.

Это означает, что во всех точках, где функция определена, ее значение равно 1.

Следовательно, график данной функции представляет собой бесконечный набор изолированных точек, лежащих на прямой $y=1$. Координаты этих точек имеют вид $(4\pi k, 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\cos\frac{1}{2}x - 1} + 1$ представляет собой множество изолированных точек с координатами $(4\pi k, 1)$, где $k$ — любое целое число.

1. Упростите выражение:

1) $\frac{1 - \sin^2 8\alpha}{\cos^2 8\alpha - 1} - \text{tg } 11\alpha \text{ctg } 11\alpha$

2) $\cos 3\beta \cos 5\beta - \sin 3\beta \sin 5\beta$

3) $\frac{6 \sin^2 10\alpha}{\sin 20\alpha}$;

4) $\frac{\sin 12\alpha + \sin 8\alpha}{\cos 11\alpha + \cos 7\alpha}$;

5) $\sin^2 (\pi + 2\alpha) - \sin^2 \left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right)$;

6) $2\sin 11\alpha \cos 5\alpha - \sin 6\alpha$

1) Для упрощения выражения $\frac{1 - \sin^2 8\alpha}{\cos^2 8\alpha - 1} - \tan 11\alpha \cot 11\alpha$ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $1 - \sin^2 8\alpha = \cos^2 8\alpha$ и $\cos^2 8\alpha - 1 = - (1 - \cos^2 8\alpha) = -\sin^2 8\alpha$.
Также известно, что $\tan x \cdot \cot x = 1$.
Подставим эти преобразования в исходное выражение:
$\frac{\cos^2 8\alpha}{-\sin^2 8\alpha} - 1 = -\cot^2 8\alpha - 1$.
Используя тождество $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$, получаем:
$-(\cot^2 8\alpha + 1) = -\frac{1}{\sin^2 8\alpha}$.
Ответ: $-\frac{1}{\sin^2 8\alpha}$.

2) Выражение $\cos 3\beta \cos 5\beta - \sin 3\beta \sin 5\beta$ соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
В данном случае $A = 3\beta$ и $B = 5\beta$.
Следовательно, выражение равно $\cos(3\beta + 5\beta) = \cos(8\beta)$.
Ответ: $\cos 8\beta$.

3) Для упрощения дроби $\frac{6 \sin^2 10\alpha}{\sin 20\alpha}$ применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.
Применим ее к знаменателю, где $x = 10\alpha$: $\sin 20\alpha = \sin(2 \cdot 10\alpha) = 2 \sin 10\alpha \cos 10\alpha$.
Подставим в дробь:
$\frac{6 \sin^2 10\alpha}{2 \sin 10\alpha \cos 10\alpha}$.
Сократим числитель и знаменатель на $2 \sin 10\alpha$:
$\frac{3 \sin 10\alpha}{\cos 10\alpha} = 3 \tan 10\alpha$.
Ответ: $3 \tan 10\alpha$.

4) Для упрощения выражения $\frac{\sin 12\alpha + \sin 8\alpha}{\cos 11\alpha + \cos 7\alpha}$ используем формулы преобразования суммы в произведение.
Для числителя: $\sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.
$\sin 12\alpha + \sin 8\alpha = 2 \sin\frac{12\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{12\alpha-8\alpha}{2} = 2 \sin 10\alpha \cos 2\alpha$.
Для знаменателя: $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.
$\cos 11\alpha + \cos 7\alpha = 2 \cos\frac{11\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{11\alpha-7\alpha}{2} = 2 \cos 9\alpha \cos 2\alpha$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{2 \sin 10\alpha \cos 2\alpha}{2 \cos 9\alpha \cos 2\alpha}$.
Сокращаем на $2$ и на $\cos 2\alpha$ (при условии $\cos 2\alpha \neq 0$):
$\frac{\sin 10\alpha}{\cos 9\alpha}$.
Ответ: $\frac{\sin 10\alpha}{\cos 9\alpha}$.

5) Для упрощения выражения $\sin^2(\pi + 2\alpha) - \sin^2(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha)$ применим формулы приведения.
$\sin(\pi + x) = -\sin x$, следовательно $\sin(\pi + 2\alpha) = -\sin 2\alpha$.
$\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x$, следовательно $\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha) = -\cos 2\alpha$.
Подставляем в исходное выражение:
$(-\sin 2\alpha)^2 - (-\cos 2\alpha)^2 = \sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
$\sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha = -(\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha) = -\cos(2 \cdot 2\alpha) = -\cos(4\alpha)$.
Ответ: $-\cos 4\alpha$.

6) Рассмотрим выражение $2 \sin 11\alpha \cos 5\alpha - \sin 6\alpha$.
Для первого слагаемого применим формулу преобразования произведения в сумму: $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.
В нашем случае $A = 11\alpha$ и $B = 5\alpha$.
$2 \sin 11\alpha \cos 5\alpha = \sin(11\alpha + 5\alpha) + \sin(11\alpha - 5\alpha) = \sin 16\alpha + \sin 6\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\sin 16\alpha + \sin 6\alpha) - \sin 6\alpha = \sin 16\alpha + \sin 6\alpha - \sin 6\alpha = \sin 16\alpha$.
Ответ: $\sin 16\alpha$.