Страница 167 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 6x + 3$ на промежутке $[-3; 4];$

2) $y = x^2 + 2x - 8$ на промежутке $[-3; 3].$

1) Для функции $y = 6x + 3$ на промежутке $[-3; 4]$.
Данная функция является линейной. Так как угловой коэффициент $k=6$ положителен ($6 > 0$), функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения, включая заданный промежуток.
Это означает, что свое наименьшее значение функция будет принимать на левой границе промежутка, а наибольшее — на правой.
Вычислим значения функции на концах промежутка:
Наименьшее значение при $x = -3$:
$y(-3) = 6 \cdot (-3) + 3 = -18 + 3 = -15$
Наибольшее значение при $x = 4$:
$y(4) = 6 \cdot 4 + 3 = 24 + 3 = 27$

Ответ: наименьшее значение функции равно -15, наибольшее значение равно 27.

2) Для функции $y = x^2 + 2x - 8$ на промежутке $[-3; 3]$.
Данная функция является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
Наименьшее или наибольшее значение на отрезке функция может принимать либо в своей вершине (если абсцисса вершины попадает в отрезок), либо на концах отрезка.
Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
Абсцисса вершины $x_0 = -1$ принадлежит заданному промежутку $[-3; 3]$.
Теперь необходимо вычислить значения функции в точке вершины и на концах промежутка:
1. Значение в вершине ($x=-1$):
$y(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$
2. Значение на левой границе промежутка ($x=-3$):
$y(-3) = (-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 8 = 9 - 6 - 8 = -5$
3. Значение на правой границе промежутка ($x=3$):
$y(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$
Сравним полученные значения: -9, -5, 7.
Наименьшее из этих значений равно -9, а наибольшее равно 7.

Ответ: наименьшее значение функции равно -9, наибольшее значение равно 7.

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = x^7 + 3x^3 + x;$

2) $y = x^8 - 6x^4 + 2;$

3) $y = \frac{x^2 - 8}{x^5};$

4) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}.$

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Важным условием для чётности или нечётности является симметричность области определения функции относительно точки $x=0$. Если область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

1) $y = x^7 + 3x^3 + x$

Обозначим функцию как $f(x) = x^7 + 3x^3 + x$.
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (-x)^7 + 3(-x)^3 + (-x) = -x^7 - 3x^3 - x$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^7 + 3x^3 + x) = -x^7 - 3x^3 - x$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

2) $y = x^8 - 6x^4 + 2$

Обозначим функцию как $f(x) = x^8 - 6x^4 + 2$.
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (-x)^8 - 6(-x)^4 + 2 = x^8 - 6x^4 + 2$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $y = \frac{x^2 - 8}{x^5}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x^2 - 8}{x^5}$.
1. Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x^5 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 8}{(-x)^5} = \frac{x^2 - 8}{-x^5} = -\frac{x^2 - 8}{x^5}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$-f(x) = -(\frac{x^2 - 8}{x^5}) = -\frac{x^2 - 8}{x^5}$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

4) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}$.
1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.
$D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
Эта область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, точка $x = -4$ принадлежит области определения, а точка $x = 4$ — не принадлежит.
Поскольку первое условие (симметричность области определения) не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида).

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Найдите функцию, обратную к функции $y = 5x - 10$.

Для нахождения функции, обратной к данной, необходимо выполнить следующие действия:

1. В исходной функции $y = 5x - 10$ поменять местами переменные $x$ и $y$. Этот шаг позволяет нам получить уравнение, связывающее новую переменную $y$ (значение обратной функции) с новой переменной $x$ (аргумент обратной функции).

$x = 5y - 10$

2. Выразить $y$ из полученного уравнения. Это и будет искомая обратная функция.

Сначала перенесем свободный член ($-10$) в левую часть уравнения, изменив его знак:

$x + 10 = 5y$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 5:

$y = \frac{x + 10}{5}$

Полученное выражение можно записать в стандартном виде линейной функции $y = kx + b$, разделив почленно числитель на знаменатель:

$y = \frac{x}{5} + \frac{10}{5}$

$y = \frac{1}{5}x + 2$

Таким образом, функция, обратная к $y = 5x - 10$, это $y = \frac{1}{5}x + 2$.

Ответ: $y = \frac{1}{5}x + 2$

4. Постройте график функции $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}x}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}x}$ выполним следующие шаги:

1. Найдём область определения функции

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Составим и решим соответствующее неравенство:

$2 + \frac{1}{2}x \ge 0$

$\frac{1}{2}x \ge -2$

$x \ge -4$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-4; +\infty)$. Это означает, что график функции будет расположен на координатной плоскости не левее прямой $x = -4$.

2. Найдём область значений функции

По определению, значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, следовательно, $y \ge 0$.

Область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$. Это означает, что график функции расположен не ниже оси абсцисс (оси Ox).

3. Вычислим координаты нескольких точек графика

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений, выбирая $x$ из области определения так, чтобы подкоренное выражение было удобно для вычислений (например, являлось полным квадратом).

• Если $x = -4$, то $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}(-4)} = \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = 0$. Это начальная точка графика: $(-4, 0)$.
• Если $x = -2$, то $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}(-2)} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-2, 1)$.
• Если $x = 0$, то $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}(0)} = \sqrt{2} \approx 1,41$. Это точка пересечения с осью ординат: $(0, \sqrt{2})$.
• Если $x = 4$, то $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}(4)} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.
• Если $x = 14$, то $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}(14)} = \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(14, 3)$.

4. Построим график

Отметим найденные точки $(-4, 0)$, $(-2, 1)$, $(0, \sqrt{2})$, $(4, 2)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. График функции представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке $(-4, 0)$ и уходит вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}x}$ является ветвью параболы, которая начинается в точке $(-4; 0)$ и проходит через точки, например, $(-2; 1)$, $(0; \sqrt{2})$ и $(4; 2)$, монотонно возрастая на всей области определения.

5. Являются ли равносильными уравнения:

1) $x^2 = 81$ и $x^2 + \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+9} + 81;$

2) $x^2 = 81$ и $x^2 + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{x-10} + 81?$

1)

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают (или если оба уравнения не имеют корней).

Найдем корни первого уравнения: $x^2 = 81$.
$x = \pm\sqrt{81}$, что дает корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -9$.
Множество корней первого уравнения: $\{-9, 9\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $x^2 + \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+9} + 81$.
Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x+9 \neq 0$, то есть $x \neq -9$.
При $x \neq -9$ мы можем вычесть из обеих частей уравнения слагаемое $\frac{1}{x+9}$, получив равносильное на ОДЗ уравнение:
$x^2 = 81$
Корни этого уравнения — $x=9$ и $x=-9$.
Сравнивая с ОДЗ, мы видим, что корень $x=-9$ не удовлетворяет условию $x \neq -9$, поэтому он является посторонним. Единственным корнем второго уравнения является $x=9$.
Множество корней второго уравнения: $\{9\}$.

Поскольку множества корней первого ($\{-9, 9\}$) и второго ($\{9\}$) уравнений не совпадают, уравнения не являются равносильными.
Ответ: нет, уравнения не являются равносильными.

2)

Первое уравнение, $x^2 = 81$, как мы уже определили, имеет множество корней $\{-9, 9\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $x^2 + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{x-10} + 81$.
ОДЗ этого уравнения: $x-10 \neq 0$, то есть $x \neq 10$.
На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению $x^2 = 81$, которое получается после вычитания $\frac{1}{x-10}$ из обеих частей.
Корни уравнения $x^2 = 81$ — это $x=9$ и $x=-9$.
Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ.
Для $x=9$: $9 \neq 10$. Корень подходит.
Для $x=-9$: $-9 \neq 10$. Корень подходит.
Таким образом, оба корня, $9$ и $-9$, являются решениями второго уравнения.
Множество корней второго уравнения: $\{-9, 9\}$.

Поскольку множества корней первого ($\{-9, 9\}$) и второго ($\{-9, 9\}$) уравнений совпадают, уравнения являются равносильными.
Ответ: да, уравнения являются равносильными.

6. На рисунке 32 изображена часть графика чётной функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-6; 6]$. Достройте график этой функции и найдите её наибольшее и наименьшее значения на промежутке $[-6; 6]$.

Рис. 32

По условию, функция $y = f(x)$ является чётной. Главное свойство чётной функции заключается в том, что её график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Постройте график этой функции
В задаче дан график функции на промежутке $[0; 6]$. Чтобы построить недостающую часть графика на промежутке $[-6; 0]$, необходимо симметрично отразить имеющуюся часть относительно оси $Oy$. Для этого определим координаты ключевых точек на исходном графике и найдём их симметричные аналоги:
• Точка $(0, 3)$, лежащая на оси симметрии, остаётся на месте.
• Точке локального минимума $(2, -1)$ будет соответствовать симметричная точка $(-2, -1)$.
• Точке локального максимума $(5, 5)$ будет соответствовать симметричная точка $(-5, 5)$.
• Конечной точке графика $(6, 4)$ будет соответствовать симметричная точка $(-6, 4)$.
Соединив полученные точки плавной кривой, которая будет зеркальным отражением исходной, мы получим полный график функции на всём промежутке $[-6; 6]$.
Ответ: График на промежутке $[-6; 0]$ является зеркальным отражением графика на промежутке $[0; 6]$ относительно оси $Oy$.

найдите её наибольшее и наименьшее значения на промежутке [-6; 6]
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции необходимо проанализировать весь построенный график на промежутке $[-6; 6]$.
Наибольшее значение функции ($y_{наиб}$) — это ордината самой высокой точки графика. На графике видно, что таких точек две: $(-5, 5)$ и $(5, 5)$. Следовательно, наибольшее значение функции равно 5.
Наименьшее значение функции ($y_{наим}$) — это ордината самой низкой точки графика. Таких точек также две: $(-2, -1)$ и $(2, -1)$. Следовательно, наименьшее значение функции равно -1.
Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке $[-6; 6]$ равно 5, наименьшее значение равно -1.