Страница 164 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Дано: $ \text{tg } \alpha = 5 $, $ \text{tg } \beta = 1,5 $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $. Найдите $ \alpha + \beta $.

Для нахождения суммы $\alpha + \beta$ воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:
$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$
Подставим в эту формулу заданные значения $tg\alpha = 5$ и $tg\beta = 1,5$:
$tg(\alpha + \beta) = \frac{5 + 1,5}{1 - 5 \cdot 1,5} = \frac{6,5}{1 - 7,5} = \frac{6,5}{-6,5} = -1$
Теперь нам нужно найти значение суммы $\alpha + \beta$. Мы знаем, что $tg(\alpha + \beta) = -1$.
Общее решение для уравнения $tg(x) = -1$ имеет вид $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ – любое целое число.
Следовательно, $\alpha + \beta = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.
Чтобы найти единственное верное значение, используем ограничения, данные в условии: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.
Сложив эти неравенства, получим диапазон для суммы $\alpha + \beta$:
$0 + 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$
$0 < \alpha + \beta < \pi$
Теперь подберем такое целое значение $n$, чтобы $\alpha + \beta$ попало в интервал $(0; \pi)$.
При $n=1$: $\alpha + \beta = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$.
Значение $\frac{3\pi}{4}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{3\pi}{4} < \pi$. При других целых значениях $n$ результат не будет входить в данный интервал.
Следовательно, искомая сумма углов равна $\frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

3. Докажите тождество:

1) $\cot 2\beta - \cot 4\beta = \frac{1}{\sin 4\beta};$

2) $\frac{\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} - 5\alpha\right) - \sin(\pi + 3\alpha)\right)\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3\alpha\right) - \cos(\pi + 5\alpha)\right)}{1 + \cos(2\pi - 2\alpha)} = \sin 8\alpha.$

1)

Чтобы доказать тождество $ctg 2\beta - ctg 4\beta = \frac{1}{\sin 4\beta}$, преобразуем его левую часть.
Для начала представим котангенсы через отношение косинуса к синусу, используя формулу $ctg \ x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$ctg 2\beta - ctg 4\beta = \frac{\cos 2\beta}{\sin 2\beta} - \frac{\cos 4\beta}{\sin 4\beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin 2\beta \cdot \sin 4\beta$:
$\frac{\cos 2\beta \cdot \sin 4\beta - \cos 4\beta \cdot \sin 2\beta}{\sin 2\beta \cdot \sin 4\beta}$

Выражение в числителе соответствует формуле синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \gamma) = \sin \alpha \cos \gamma - \cos \alpha \sin \gamma$.
В нашем случае $\alpha = 4\beta$ и $\gamma = 2\beta$. Применим эту формулу:
$\frac{\sin(4\beta - 2\beta)}{\sin 2\beta \sin 4\beta} = \frac{\sin 2\beta}{\sin 2\beta \sin 4\beta}$

Сократим дробь на $\sin 2\beta$:
$\frac{1}{\sin 4\beta}$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Чтобы доказать тождество $\frac{(\cos(\frac{\pi}{2} - 5\alpha) - \sin(\pi + 3\alpha))(\sin(\frac{\pi}{2} + 3\alpha) - \cos(\pi + 5\alpha))}{1 + \cos(2\pi - 2\alpha)} = \sin 8\alpha$, преобразуем его левую часть, используя формулы приведения.

Шаг 1: Упростим выражения в числителе.
Для первой скобки:

• $\cos(\frac{\pi}{2} - 5\alpha) = \sin 5\alpha$
• $\sin(\pi + 3\alpha) = -\sin 3\alpha$

Таким образом, первая скобка равна: $\sin 5\alpha - (-\sin 3\alpha) = \sin 5\alpha + \sin 3\alpha$.
Для второй скобки:

• $\sin(\frac{\pi}{2} + 3\alpha) = \cos 3\alpha$
• $\cos(\pi + 5\alpha) = -\cos 5\alpha$

Таким образом, вторая скобка равна: $\cos 3\alpha - (-\cos 5\alpha) = \cos 3\alpha + \cos 5\alpha$.

Шаг 2: Упростим выражение в знаменателе.
$\cos(2\pi - 2\alpha) = \cos(-2\alpha) = \cos 2\alpha$ (так как косинус — четная функция).
Знаменатель равен $1 + \cos 2\alpha$.

Шаг 3: Подставим упрощенные выражения в исходную дробь.
$\frac{(\sin 5\alpha + \sin 3\alpha)(\cos 5\alpha + \cos 3\alpha)}{1 + \cos 2\alpha}$

Шаг 4: Применим формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.
Для числителя:

• $\sin 5\alpha + \sin 3\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin 4\alpha \cos \alpha$
• $\cos 5\alpha + \cos 3\alpha = 2\cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos 4\alpha \cos \alpha$

Для знаменателя используем формулу косинуса двойного угла: $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$.

Шаг 5: Подставим полученные произведения в дробь.
$\frac{(2\sin 4\alpha \cos \alpha)(2\cos 4\alpha \cos \alpha)}{2\cos^2 \alpha} = \frac{4\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha}$

Шаг 6: Сократим дробь на $2\cos^2 \alpha$.
$2\sin 4\alpha \cos 4\alpha$

Шаг 7: Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, где $x = 4\alpha$.
$2\sin 4\alpha \cos 4\alpha = \sin(2 \cdot 4\alpha) = \sin 8\alpha$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $4\sin2\alpha\cot\alpha - 1$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $4\sin(2\alpha)\ctg(\alpha) - 1$ необходимо сначала его упростить и определить область значений.

1. Упрощение выражения.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения определяется условием существования котангенса, то есть $\sin(\alpha) \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq k\pi$, где $k$ – любое целое число.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и определение котангенса $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$4\sin(2\alpha)\ctg\alpha - 1 = 4(2\sin\alpha\cos\alpha)\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) - 1$

На ОДЗ ($\sin\alpha \neq 0$) мы можем сократить $\sin\alpha$:

$8\cos\alpha\cos\alpha - 1 = 8\cos^2\alpha - 1$

Далее применим формулу понижения степени для косинуса $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$:

$8\cos^2\alpha - 1 = 4(2\cos^2\alpha) - 1 = 4(1 + \cos(2\alpha)) - 1 = 4 + 4\cos(2\alpha) - 1 = 4\cos(2\alpha) + 3$

Таким образом, исходное выражение на его области определения равно $4\cos(2\alpha) + 3$.

2. Нахождение множества значений.

Функция $\cos(2\alpha)$ принимает значения из отрезка $[-1, 1]$. Однако необходимо учесть ОДЗ: $\alpha \neq k\pi$. Если $\alpha = k\pi$, то $2\alpha = 2k\pi$, и $\cos(2\alpha) = \cos(2k\pi) = 1$. Поскольку эти значения $\alpha$ исключены из ОДЗ, значение $\cos(2\alpha)=1$ недостижимо. Следовательно, для нашего выражения множество значений $\cos(2\alpha)$ есть полуинтервал $[-1, 1)$.

Найдем множество значений для выражения $4\cos(2\alpha) + 3$, зная, что $-1 \le \cos(2\alpha) < 1$:

Умножим неравенство на 4:

$-4 \le 4\cos(2\alpha) < 4$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-4 + 3 \le 4\cos(2\alpha) + 3 < 4 + 3$

$-1 \le 4\cos(2\alpha) + 3 < 7$

Итак, множество значений исходного выражения – это полуинтервал $[-1, 7)$.

Наименьшее значение

Наименьшее значение выражения равно нижней границе полученного промежутка, то есть -1. Это значение достигается, когда $\cos(2\alpha) = -1$. Это возможно, например, при $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$. При этих значениях $\sin\alpha = \pm 1 \neq 0$, следовательно, они входят в ОДЗ. Таким образом, наименьшее значение выражения существует и равно -1.

Ответ: -1.

Наибольшее значение

Из полученного множества значений $[-1, 7)$ видно, что значения выражения могут быть сколь угодно близки к 7, но никогда не достигают этого числа, так как неравенство строгое ($< 7$). Следовательно, наибольшего значения у выражения не существует.

Ответ: не существует.

1. Решите уравнение:

1) $ \sin \left(8x - \frac{\pi}{3}\right) = 0; $

2) $ \cos \left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ \text{tg}^2 4x + \text{tg } 4x = 0. $

1) Решим уравнение $\sin(8x - \frac{\pi}{3}) = 0$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n$ — любое целое число.

$8x - \frac{\pi}{3} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь выразим $x$:

$8x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

$x = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right)$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{8}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{8}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{6} + \frac{\pi}{4}$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Разобьем решение на два случая:

Случай 1 (со знаком "+"):
$\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{x}{6} = 2\pi n$
$x = 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Случай 2 (со знаком "-"):
$\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{x}{6} = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = 6(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n)$
$x = -3\pi + 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 12\pi n$; $x = -3\pi + 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\tg^2 4x + \tg 4x = 0$.

Это уравнение является квадратным относительно $\tg 4x$. Вынесем общий множитель $\tg 4x$ за скобки:

$\tg 4x (\tg 4x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Область определения тангенса $4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Получаем два уравнения:

1) $\tg 4x = 0$
Это частный случай, решение которого:
$4x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tg 4x + 1 = 0$
$\tg 4x = -1$
$4x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$4x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$
$x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Оба набора решений удовлетворяют области определения тангенса.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}$; $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

2. Решите неравенство:

1) $\cos \frac{x}{7} \leqslant \frac{1}{2}$;

2) $\operatorname{ctg}\left(7x + \frac{2\pi}{3}\right) > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) $ \cos\frac{x}{7} \le \frac{1}{2} $

Для решения неравенства введём новую переменную. Пусть $ t = \frac{x}{7} $. Неравенство примет вид:

$ \cos t \le \frac{1}{2} $

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Найдём на единичной окружности точки, для которых абсцисса (косинус) меньше или равна $ \frac{1}{2} $.

Сначала решим уравнение $ \cos t = \frac{1}{2} $. Корни этого уравнения: $ t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

На единичной окружности этим углам соответствуют точки, лежащие на вертикальной прямой $ x = \frac{1}{2} $. Неравенству $ \cos t \le \frac{1}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге окружности, расположенные левее этой прямой. Если рассматривать один оборот (от $0$ до $2\pi$), то это будет дуга от $ \frac{\pi}{3} $ до $ 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $.

С учётом периодичности функции косинуса, решение для $t$ записывается в виде двойного неравенства:

$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь выполним обратную замену, подставив $ t = \frac{x}{7} $:

$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le \frac{x}{7} \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $

Чтобы найти $x$, умножим все части этого двойного неравенства на 7:

$ 7 \cdot \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) \le x \le 7 \cdot \left( \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \right) $

$ \frac{7\pi}{3} + 14\pi n \le x \le \frac{35\pi}{3} + 14\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left[ \frac{7\pi}{3} + 14\pi n; \frac{35\pi}{3} + 14\pi n \right], n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \ctg \left(7x + \frac{2\pi}{3}\right) > -\frac{\sqrt{3}}{3} $

Введём новую переменную. Пусть $ t = 7x + \frac{2\pi}{3} $. Неравенство примет вид:

$ \ctg t > -\frac{\sqrt{3}}{3} $

Сначала решим уравнение $ \ctg t = -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Решением является $ t = \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n $. Так как $ \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $, то $ t = \frac{2\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Функция котангенс является периодической с периодом $ \pi $ и убывающей на каждом интервале своей области определения. Область определения функции $ y = \ctg t $ - все действительные числа, кроме $ t = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Неравенство $ \ctg t > -\frac{\sqrt{3}}{3} $ выполняется для углов $t$, которые лежат в интервале от точки разрыва до точки, где котангенс равен $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$ \pi n < t < \frac{2\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Выполним обратную замену, подставив $ t = 7x + \frac{2\pi}{3} $:

$ \pi n < 7x + \frac{2\pi}{3} < \frac{2\pi}{3} + \pi n $

Чтобы найти $x$, сначала вычтем $ \frac{2\pi}{3} $ из всех частей двойного неравенства:

$ \pi n - \frac{2\pi}{3} < 7x < \frac{2\pi}{3} + \pi n - \frac{2\pi}{3} $

$ -\frac{2\pi}{3} + \pi n < 7x < \pi n $

Теперь разделим все части двойного неравенства на 7:

$ \frac{-\frac{2\pi}{3} + \pi n}{7} < x < \frac{\pi n}{7} $

$ -\frac{2\pi}{21} + \frac{\pi n}{7} < x < \frac{\pi n}{7} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left( -\frac{2\pi}{21} + \frac{\pi n}{7}; \frac{\pi n}{7} \right), n \in \mathbb{Z} $.

3. Решите уравнение:

1) $4\cos^2 x + 4\sin x - 1 = 0$;

2) $3\sin^2 3x - 2.5\sin 6x + 1 = 0$;

3) $\sin 9x + \sin 8x + \sin 7x = 0$.

1) $4\cos^2 x + 4\sin x - 1 = 0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$4(1 - \sin^2 x) + 4\sin x - 1 = 0$
$4 - 4\sin^2 x + 4\sin x - 1 = 0$
$-4\sin^2 x + 4\sin x + 3 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1:
$4\sin^2 x - 4\sin x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, имеем $-1 \le t \le 1$. Уравнение принимает вид:
$4t^2 - 4t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8}$
$t_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$
$t_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к замене $t = \sin x$.
1. $\sin x = 1.5$. Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le \sin x \le 1$, следовательно, решений в этом случае нет.
2. $\sin x = -\frac{1}{2}$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решения:
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3\sin^2 3x - 2,5\sin 6x + 1 = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае $\sin 6x = \sin(2 \cdot 3x) = 2\sin 3x \cos 3x$:
$3\sin^2 3x - 2.5(2\sin 3x \cos 3x) + 1 = 0$
$3\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + 1 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество, представив 1 как $\sin^2 3x + \cos^2 3x$:
$3\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + (\sin^2 3x + \cos^2 3x) = 0$
Приведем подобные члены:
$4\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + \cos^2 3x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, не является ли $\cos 3x = 0$ решением. Если $\cos 3x = 0$, то из уравнения следует, что $4\sin^2 3x = 0$, то есть $\sin 3x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно ($\sin^2 3x + \cos^2 3x = 1$). Следовательно, $\cos 3x \ne 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 3x$:
$\frac{4\sin^2 3x}{\cos^2 3x} - \frac{5\sin 3x \cos 3x}{\cos^2 3x} + \frac{\cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0$
$4\tan^2 3x - 5\tan 3x + 1 = 0$

Сделаем замену $y = \tan 3x$:
$4y^2 - 5y + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$
$y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{5 \pm 3}{8}$
$y_1 = \frac{5+3}{8} = 1$
$y_2 = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Вернемся к замене $y = \tan 3x$:
1. $\tan 3x = 1$
$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$
2. $\tan 3x = \frac{1}{4}$
$3x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin 9x + \sin 8x + \sin 7x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
$(\sin 9x + \sin 7x) + \sin 8x = 0$
$2\sin\left(\frac{9x+7x}{2}\right)\cos\left(\frac{9x-7x}{2}\right) + \sin 8x = 0$
$2\sin\left(\frac{16x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x}{2}\right) + \sin 8x = 0$
$2\sin 8x \cos x + \sin 8x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 8x$ за скобки:
$\sin 8x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Разобьем на два случая:
1. $\sin 8x = 0$
$8x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$
2. $2\cos x + 1 = 0$
$2\cos x = -1$
$\cos x = -\frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.