Номер 4, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $4\sin2\alpha\cot\alpha - 1$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $4\sin(2\alpha)\ctg(\alpha) - 1$ необходимо сначала его упростить и определить область значений.

1. Упрощение выражения.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения определяется условием существования котангенса, то есть $\sin(\alpha) \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq k\pi$, где $k$ – любое целое число.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и определение котангенса $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$4\sin(2\alpha)\ctg\alpha - 1 = 4(2\sin\alpha\cos\alpha)\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) - 1$

На ОДЗ ($\sin\alpha \neq 0$) мы можем сократить $\sin\alpha$:

$8\cos\alpha\cos\alpha - 1 = 8\cos^2\alpha - 1$

Далее применим формулу понижения степени для косинуса $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$:

$8\cos^2\alpha - 1 = 4(2\cos^2\alpha) - 1 = 4(1 + \cos(2\alpha)) - 1 = 4 + 4\cos(2\alpha) - 1 = 4\cos(2\alpha) + 3$

Таким образом, исходное выражение на его области определения равно $4\cos(2\alpha) + 3$.

2. Нахождение множества значений.

Функция $\cos(2\alpha)$ принимает значения из отрезка $[-1, 1]$. Однако необходимо учесть ОДЗ: $\alpha \neq k\pi$. Если $\alpha = k\pi$, то $2\alpha = 2k\pi$, и $\cos(2\alpha) = \cos(2k\pi) = 1$. Поскольку эти значения $\alpha$ исключены из ОДЗ, значение $\cos(2\alpha)=1$ недостижимо. Следовательно, для нашего выражения множество значений $\cos(2\alpha)$ есть полуинтервал $[-1, 1)$.

Найдем множество значений для выражения $4\cos(2\alpha) + 3$, зная, что $-1 \le \cos(2\alpha) < 1$:

Умножим неравенство на 4:

$-4 \le 4\cos(2\alpha) < 4$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-4 + 3 \le 4\cos(2\alpha) + 3 < 4 + 3$

$-1 \le 4\cos(2\alpha) + 3 < 7$

Итак, множество значений исходного выражения – это полуинтервал $[-1, 7)$.

Наименьшее значение

Наименьшее значение выражения равно нижней границе полученного промежутка, то есть -1. Это значение достигается, когда $\cos(2\alpha) = -1$. Это возможно, например, при $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$. При этих значениях $\sin\alpha = \pm 1 \neq 0$, следовательно, они входят в ОДЗ. Таким образом, наименьшее значение выражения существует и равно -1.

Ответ: -1.

Наибольшее значение

Из полученного множества значений $[-1, 7)$ видно, что значения выражения могут быть сколь угодно близки к 7, но никогда не достигают этого числа, так как неравенство строгое ($< 7$). Следовательно, наибольшего значения у выражения не существует.

Ответ: не существует.