Номер 6, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Постройте график функции $f(x) = \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$, укажите промежутки её возрастания и убывания.

Построение графика функции $f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$

График функции $f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика базовой функции $y = \cos(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{6}$ вправо.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = [-1; 1]$.
• Функция является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.

Для построения графика определим положение ключевых точек на одном периоде, сдвинув соответствующие точки графика $y = \cos(x)$ на $\frac{\pi}{6}$ вправо:

• Точка максимума из $(0, 1)$ перемещается в $\left(0 + \frac{\pi}{6}, 1\right) = \left(\frac{\pi}{6}, 1\right)$.
• Точка пересечения с осью Ox из $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ перемещается в $\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, 0\right) = \left(\frac{2\pi}{3}, 0\right)$.
• Точка минимума из $(\pi, -1)$ перемещается в $\left(\pi + \frac{\pi}{6}, -1\right) = \left(\frac{7\pi}{6}, -1\right)$.
• Точка пересечения с осью Ox из $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$ перемещается в $\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, 0\right) = \left(\frac{5\pi}{3}, 0\right)$.
• Следующая точка максимума из $(2\pi, 1)$ перемещается в $\left(2\pi + \frac{\pi}{6}, 1\right) = \left(\frac{13\pi}{6}, 1\right)$.

Соединив эти точки плавной линией (косинусоидой) и продолжив ее периодически, получим искомый график.

Ответ: График функции $f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ представляет собой косинусоиду, полученную сдвигом графика функции $y=\cos(x)$ на $\frac{\pi}{6}$ вправо по оси Ox.

Промежутки возрастания и убывания

Для определения промежутков монотонности функции найдем ее производную:

$f'(x) = \left(\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)' = -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная $f'(x) > 0$.

$-\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) > 0 \implies \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) < 0$.

Это неравенство верно, когда аргумент синуса находится в III и IV координатных четвертях, то есть:

$\pi + 2\pi n < x - \frac{\pi}{6} < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{6}$:

$\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < 2\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает на тех промежутках, где ее производная $f'(x) < 0$.

$-\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) < 0 \implies \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) > 0$.

Это неравенство верно, когда аргумент синуса находится в I и II координатных четвертях, то есть:

$2\pi n < x - \frac{\pi}{6} < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{6}$:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой, концы промежутков можно включить в ответ.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $\left[\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$, и убывает на промежутках $\left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.