Номер 3, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Докажите тождество:

1) $\cot 2\beta - \cot 4\beta = \frac{1}{\sin 4\beta};$

2) $\frac{\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} - 5\alpha\right) - \sin(\pi + 3\alpha)\right)\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3\alpha\right) - \cos(\pi + 5\alpha)\right)}{1 + \cos(2\pi - 2\alpha)} = \sin 8\alpha.$

1)

Чтобы доказать тождество $ctg 2\beta - ctg 4\beta = \frac{1}{\sin 4\beta}$, преобразуем его левую часть.
Для начала представим котангенсы через отношение косинуса к синусу, используя формулу $ctg \ x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$ctg 2\beta - ctg 4\beta = \frac{\cos 2\beta}{\sin 2\beta} - \frac{\cos 4\beta}{\sin 4\beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin 2\beta \cdot \sin 4\beta$:
$\frac{\cos 2\beta \cdot \sin 4\beta - \cos 4\beta \cdot \sin 2\beta}{\sin 2\beta \cdot \sin 4\beta}$

Выражение в числителе соответствует формуле синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \gamma) = \sin \alpha \cos \gamma - \cos \alpha \sin \gamma$.
В нашем случае $\alpha = 4\beta$ и $\gamma = 2\beta$. Применим эту формулу:
$\frac{\sin(4\beta - 2\beta)}{\sin 2\beta \sin 4\beta} = \frac{\sin 2\beta}{\sin 2\beta \sin 4\beta}$

Сократим дробь на $\sin 2\beta$:
$\frac{1}{\sin 4\beta}$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Чтобы доказать тождество $\frac{(\cos(\frac{\pi}{2} - 5\alpha) - \sin(\pi + 3\alpha))(\sin(\frac{\pi}{2} + 3\alpha) - \cos(\pi + 5\alpha))}{1 + \cos(2\pi - 2\alpha)} = \sin 8\alpha$, преобразуем его левую часть, используя формулы приведения.

Шаг 1: Упростим выражения в числителе.
Для первой скобки:

• $\cos(\frac{\pi}{2} - 5\alpha) = \sin 5\alpha$
• $\sin(\pi + 3\alpha) = -\sin 3\alpha$

Таким образом, первая скобка равна: $\sin 5\alpha - (-\sin 3\alpha) = \sin 5\alpha + \sin 3\alpha$.
Для второй скобки:

• $\sin(\frac{\pi}{2} + 3\alpha) = \cos 3\alpha$
• $\cos(\pi + 5\alpha) = -\cos 5\alpha$

Таким образом, вторая скобка равна: $\cos 3\alpha - (-\cos 5\alpha) = \cos 3\alpha + \cos 5\alpha$.

Шаг 2: Упростим выражение в знаменателе.
$\cos(2\pi - 2\alpha) = \cos(-2\alpha) = \cos 2\alpha$ (так как косинус — четная функция).
Знаменатель равен $1 + \cos 2\alpha$.

Шаг 3: Подставим упрощенные выражения в исходную дробь.
$\frac{(\sin 5\alpha + \sin 3\alpha)(\cos 5\alpha + \cos 3\alpha)}{1 + \cos 2\alpha}$

Шаг 4: Применим формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.
Для числителя:

• $\sin 5\alpha + \sin 3\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin 4\alpha \cos \alpha$
• $\cos 5\alpha + \cos 3\alpha = 2\cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos 4\alpha \cos \alpha$

Для знаменателя используем формулу косинуса двойного угла: $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$.

Шаг 5: Подставим полученные произведения в дробь.
$\frac{(2\sin 4\alpha \cos \alpha)(2\cos 4\alpha \cos \alpha)}{2\cos^2 \alpha} = \frac{4\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha}$

Шаг 6: Сократим дробь на $2\cos^2 \alpha$.
$2\sin 4\alpha \cos 4\alpha$

Шаг 7: Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, где $x = 4\alpha$.
$2\sin 4\alpha \cos 4\alpha = \sin(2 \cdot 4\alpha) = \sin 8\alpha$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.