Номер 5, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Решите уравнение $\sin 6x + \sqrt{3} \cos 6x = -2 \cos 8x$.

Исходное уравнение: $\sin(6x) + \sqrt{3}\cos(6x) = -2\cos(8x)$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin(\alpha) + b\cos(\alpha)$ можно представить в виде $R\cos(\alpha - \beta)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем случае $a=1$, $b=\sqrt{3}$. Найдём $R$:$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем $2$ за скобки в левой части уравнения:$2(\frac{1}{2}\sin(6x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(6x)) = -2\cos(8x)$.

Заметим, что $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения:$2(\sin(\frac{\pi}{6})\sin(6x) + \cos(\frac{\pi}{6})\cos(6x)) = -2\cos(8x)$.

Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$:$2\cos(6x - \frac{\pi}{6}) = -2\cos(8x)$.

Разделим обе части уравнения на $2$:$\cos(6x - \frac{\pi}{6}) = -\cos(8x)$.

Перенесём все слагаемые в левую часть:$\cos(6x - \frac{\pi}{6}) + \cos(8x) = 0$.

Воспользуемся формулой суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:$2\cos\frac{8x + 6x - \frac{\pi}{6}}{2} \cos\frac{8x - (6x - \frac{\pi}{6})}{2} = 0$$2\cos(7x - \frac{\pi}{12}) \cos(x + \frac{\pi}{12}) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos(7x - \frac{\pi}{12}) = 0$

$7x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$7x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi k$

$7x = \frac{6\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \pi k$

$7x = \frac{7\pi}{12} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(x + \frac{\pi}{12}) = 0$

$x + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} + \pi n$

$x = \frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \pi n$

$x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.