Номер 3, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Найдите производную данной функции и вычислите её значение в данной точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{3x + 1}, x_0 = 5$;

2) $f(x) = \sin^5 x, x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1) $f(x) = \sqrt{3x + 1}, x_0 = 5;$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Представим функцию в виде $f(x) = (3x+1)^{1/2}$.

Пусть внутренняя функция $u(x) = 3x+1$, а внешняя функция $g(u) = u^{1/2}$.

Производная внутренней функции: $u'(x) = (3x+1)' = 3$.

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

По правилу производной сложной функции, $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 5$:

$f'(5) = \frac{3}{2\sqrt{3 \cdot 5 + 1}} = \frac{3}{2\sqrt{15+1}} = \frac{3}{2\sqrt{16}} = \frac{3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$; $f'(5) = \frac{3}{8}$.

2) $f(x) = \sin^5 x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

Данная функция также является сложной. Представим её как $f(x) = (\sin x)^5$.

Пусть внутренняя функция $u(x) = \sin x$, а внешняя функция $g(u) = u^5$.

Производная внутренней функции: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^5)' = 5u^4$.

Применяя цепное правило, $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$, получаем:

$f'(x) = 5(\sin x)^4 \cdot \cos x = 5\sin^4 x \cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = 5\sin^4(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{3})$.

Нам известны значения синуса и косинуса для данного угла: $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{3}) = 5 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4 \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{(\sqrt{3})^4}{2^4} \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{45}{32}$.

Ответ: $f'(x) = 5\sin^4 x \cos x$; $f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{45}{32}$.