Номер 1, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Решите уравнение:

1) $ \sin \left(8x - \frac{\pi}{3}\right) = 0; $

2) $ \cos \left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ \text{tg}^2 4x + \text{tg } 4x = 0. $

1) Решим уравнение $\sin(8x - \frac{\pi}{3}) = 0$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n$ — любое целое число.

$8x - \frac{\pi}{3} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь выразим $x$:

$8x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

$x = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right)$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{8}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{8}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{6} + \frac{\pi}{4}$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Разобьем решение на два случая:

Случай 1 (со знаком "+"):
$\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{x}{6} = 2\pi n$
$x = 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Случай 2 (со знаком "-"):
$\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{x}{6} = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = 6(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n)$
$x = -3\pi + 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 12\pi n$; $x = -3\pi + 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\tg^2 4x + \tg 4x = 0$.

Это уравнение является квадратным относительно $\tg 4x$. Вынесем общий множитель $\tg 4x$ за скобки:

$\tg 4x (\tg 4x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Область определения тангенса $4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Получаем два уравнения:

1) $\tg 4x = 0$
Это частный случай, решение которого:
$4x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tg 4x + 1 = 0$
$\tg 4x = -1$
$4x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$4x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$
$x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Оба набора решений удовлетворяют области определения тангенса.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}$; $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.