Номер 7, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Постройте график функции $y=\sqrt{\sin 2x-1}-1$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{\sin 2x - 1}$ необходимо сначала определить ее область допустимых значений (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:

$\sin 2x - 1 \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть неравенства:

$\sin 2x \ge 1$

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что значение $\sin 2x$ не может быть больше 1. Следовательно, единственное возможное решение неравенства — это равенство:

$\sin 2x = 1$

Теперь найдем значения $x$, для которых это равенство выполняется. Общее решение для уравнения $\sin \theta = 1$ имеет вид $\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $\theta = 2x$, поэтому:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, функция определена не на непрерывном промежутке, а только в наборе изолированных точек.

Теперь найдем значение функции $y$ в этих точках. Так как во всех этих точках $\sin 2x = 1$, подставим это значение в исходную функцию:

$y = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$

Это означает, что для всех допустимых значений $x$, значение $y$ всегда равно 0.

Следовательно, график данной функции представляет собой бесконечный набор точек, лежащих на оси абсцисс (оси Ox). Координаты этих точек можно найти, подставляя различные целые значения $k$ в формулу для $x$.

Примеры нескольких точек графика:

• при $k = -2: x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$. Точка $(-\frac{7\pi}{4}, 0)$.
• при $k = -1: x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Точка $(-\frac{3\pi}{4}, 0)$.
• при $k = 0: x = \frac{\pi}{4}$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 0)$.
• при $k = 1: x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Точка $(\frac{5\pi}{4}, 0)$.
• при $k = 2: x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Точка $(\frac{9\pi}{4}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\sin 2x - 1}$ — это множество изолированных точек, лежащих на оси Ox с координатами $(\frac{\pi}{4} + \pi k, 0)$, где $k$ — любое целое число.