Номер 7, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Решите неравенство $\sqrt{5x-6} > x$.

Для решения иррационального неравенства $\sqrt{5x-6} > x$ необходимо рассмотреть два случая, которые в совокупности дают полное решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} 5x-6 \ge 0 \\ x < 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \ge 0 \\ 5x-6 > x^2 \end{cases}$

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} 5x \ge 6 \\ x < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{6}{5} \\ x < 0 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше нуля и больше или равно $\frac{6}{5}$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 5x-6 > x^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы: $5x-6 > x^2$. Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$x^2 - 5x + 6 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Для этого можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть $2 < x < 3$.

Теперь необходимо учесть первое условие второй системы: $x \ge 0$. Найдем пересечение решений:

$\begin{cases} 2 < x < 3 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $(2; 3)$.

Итоговое решение исходного неравенства является объединением решений обеих систем. Так как первая система не имеет решений, а решением второй является интервал $(2; 3)$, то общее решение совпадает с решением второй системы.

Ответ: $(2; 3)$.